Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

jimmy007 · 14-11-09

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Δεν την εχω κοιταξει πολυ αλλα τι εννοεις εκει στο οριο με το =|<0 ?!

Ότι το όριο αυτό είναι αρνητικός πραγματικός αριθμός. Το l ένας απλός συμβολισμός είναι.

H άσκηση λύνεται και χωρίς αυτό το όριο. Ίσως βέβαια μερικούς τους βοηθήσει..

coheNakatos · 14-11-09

Αρχική Δημοσίευση από jimmy007:
Ότι το όριο αυτό είναι αρνητικός πραγματικός αριθμός. Το l ένας απλός συμβολισμός είναι.

H άσκηση λύνεται και χωρίς αυτό το όριο. Ίσως βέβαια μερικούς τους βοηθήσει..

ηταν σαν καθετος γιαυτο ρε

jimmy007 · 14-11-09

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
ηταν σαν καθετος γιαυτο ρε

Ναι το κατάλαβα...

ahvasilhs · 14-11-09

το i^4/2 ΕΙΝΑΙ ακεραιος εκθετης...
-----------------------------------------
νομιζω ειναι λαθος το βημα απο το 4ο μερος στο 5ο διοτι πρεπει να κανεις (i^4)^1/2 , το οποιο δεν οριζεται γιατι ο εκθετης πρεπει να ειναι ακεραιος...

coheNakatos · 14-11-09

Δεν εχω κανει πολυ απο παραγωγους αλλα μεχρι αυτα που εχω κανει μπορω να σου οτι η f ειναι γν.φθινουσα , f([a,b])=[a,b] και καποια αλλα ακομα πραγματα δεν ξερω βεβαια αν βοηθανε..

jimmy007 · 14-11-09

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Δεν εχω κανει πολυ απο παραγωγους αλλα μεχρι αυτα που εχω κανει μπορω να σου οτι η f ειναι γν.φθινουσα , f([a,b])=[a,b] και καποια αλλα ακομα πραγματα δεν ξερω βεβαια αν βοηθανε..

Δεν χρειάζεσαι κάτι άλλο απο παραγώγους...
Βοηθάνε αυτά...

Δεν έχει βρει κανένας τίποτα??

protodesmitis · 18-11-09

Γεια σας. Θα ήθελα να ρωτήσω ποιες από τις Γενικές Ασκήσεις των μιγαδικών στις σελίδες 123-124 του σχολικού βιβλίου είναι στην ύλη. Ευχαριστώ.

coheNakatos · 19-11-09

Παρτε 2 καλες

Θεμα 1ο
g:R->R συνεχης και γν.αυξουσα

$g(g(x))=x-4$ και $g(1)=3$ , $g(2)=4$
Nδο
1)η g αντιστρεφεται και ${g}^{-1}(x)=g(x)+4$
2)Αν $z\in C$ και $|z+4i|=2$ να βρεθουν η μεγιστη και η ελαχιστη τιμη του $|z-3|$
3)Θεωρουμε τη συναρτηση :
$f(x)=|z-3|x+{g}^{-1}(x)-14$ , δειξτε οτι η $f(x)=0$ εχει μια τουλαχιστον ριζα στο $[1,2]$
4)Νδο η γραφικη παρασταση την ${g}^{-1}$ εχει ενα μονο κοινο σημειο με την ευθεια $y=-4x+12$ στο $(1,2)$

Θεμα 2ο
Εστω ${z}_{1}$ , ${z}_{2} \in C$ με ${z}_{1}=a+bi$ , ${z}_{2}=a+ci$ με $b<c$ και $a\neq 0$ για τους οποιους ισχυει :
$|{z}_{1}+{z}_{2}|=|{z}_{1}-{z}_{2}|$
Eπισης θεωρουμε συναρτηση f με πεδιο ορισμου και συνολο τιμων το $[b,c]$ συνεχης και γν.αυξουσα

Δειξτε οτι :
α) ${a}^{2}+bc=0$
b) Η εξισωση : $\frac{x+f(b)}{x-b}+\frac{x+f(c)}{x-c}=-3$ εχει ακριβως 2 ριζες στο $(b,c)$
γ) $\lim_{x->+oo}=\frac{b{x}^{3}+c{x}^{2}+\eta \mu \frac{c}{x}}{c{x}^{2}}=-oo$

Good luck

jimmy007 · 19-11-09

Kαι άλλη μία
αν f(x)+f(x)(στην τρίτη)=x(στην 5η) +x+1, x Ε R
να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R.

Sorry που δεν ξέρω να γράφω με σύμβολα στο pc..

coheNakatos · 19-11-09

ειναι σιγουρα 2 ισοτητες εκει ή πηγες να γραψεις ισον ?

jimmy007 · 19-11-09

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
ειναι σιγουρα 2 ισοτητες εκει ή πηγες να γραψεις ισον ?

Την διόρθωσα

Metal-Militiaman · 19-11-09

Αρχική Δημοσίευση από jimmy007:
Kαι άλλη μία
αν f(x)+{f}^{3}(x)={x}^{5} +x+1, x E R
να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R.

Sorry που δεν ξέρω να γράφω με σύμβολα στο pc..

Η λύση βρίσκεται παρακάτω.

ledzeppelinick · 20-11-09

Έστω ${x}_{0}\in R$ τότε :
$f({x}_{0})+{f}^{3}({x}_{0})={{x}_{0}}^{5} +{x}_{0}+1\Leftrightarrow f(x)+{f}^{3}(x)-(f({x}_{0})+{f}^{3}({x}_{0})={x}^{5} +x+1-({{x}_{0}}^{5} +{x}_{0}+1)\Leftrightarrow [{f}^{3}(x)-{f}^{3}({x}_{0})]+[f(x)-f({x}_{0})]=({x}^{5}-{{x}_{0}}^{5})+(x-{x}_{0})\Leftrightarrow (f(x)-f({x}_{0}))({f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0}))+1))=({x}^{5}-{{x}_{0}}^{5})+(x-{x}_{0})\Leftrightarrow (f(x)-f({x}_{0}))=\frac{(x-{x}_{0})({x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4}}{{f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1}$

Διότι για την εξίσωση ${f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1=0$ είναι $\Delta ={f}^{2}({x}_{0})-4({f}^{2}({x}_{0})+1)=-(3{f}^{2}({x}_{0})+4)<0$ .

Οπότε $\left| f(x)-f({x}_{0})\right|=\frac{\left| x-{x}_{0}\right|\left| {x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4}\right|}{\left| {f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1)\right|}$

Όμως $\left| {f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+f(x)-f({x}_{0})\right|$
-----------------------------------------
Μάλλον έτσι ήθελες να τα γράψεις.. στο τέλος τι εννοείς?

coheNakatos · 20-11-09

ριξτε μια ματια μια σελιδα πισω στις 2 ασκησεις που εδωσα αξιζουν

Metal-Militiaman · 20-11-09

Αρχική Δημοσίευση από jimmy007:
Kαι άλλη μία
αν f(x)+f(x)(στην τρίτη)=x(στην 5η) +x+1, x Ε R
να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R.

Sorry που δεν ξέρω να γράφω με σύμβολα στο pc..

$f(x)+{f}^{3}(x)={x}^{5} +x+1$ , για κάθε $x\in R$

Έστω ${x}_{0}\in R$ τότε :

$f({x}_{0})+{f}^{3}({x}_{0})={{x}_{0}}^{5} +{x}_{0}+1$

$(f(x)+{f}^{3}(x))-(f({x}_{0})+{f}^{3}({x}_{0}))=({x}^{5} +x+1)-({{x}_{0}}^{5} +{x}_{0}+1)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow [{f}^{3}(x)-{f}^{3}({x}_{0})]+[f(x)-f({x}_{0})]=({x}^{5}-{{x}_{0}}^{5})+(x-{x}_{0})\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow (f(x)-f({x}_{0}))({f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1))=({x}^{5}-{{x}_{0}}^{5})+(x-{x}_{0})\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(x)-f({x}_{0})=\frac{(x-{x}_{0})({x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4})}{{f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1}$ $\mathbf{(1)}$

Διότι για την εξίσωση ${f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1=0$

είναι

$\Delta ={f}^{2}({x}_{0})-4({f}^{2}({x}_{0})+1)=-(3{f}^{2}({x}_{0})+4)<0 .$

Οπότε $\left| f(x)-f({x}_{0})\right|=\frac{\left| x-{x}_{0}\right|\left| {x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4}\right|}{\left| {f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1 \right|}$

Όμως

$\left| {f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1 \right|\geq \left|\left|{f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0}) \right|-\left|1 \right| \right|\geq \left|0-1 \right|\geq 1$

Άρα

$\left| f(x)-f({x}_{0})\right|=\frac{\left| x-{x}_{0}\right|\left| {x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4}\right|}{\left| {f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1 \right|}\leq \left| x-{x}_{0}\right|\left| {x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4}\right|$

$\Leftrightarrow-(x-{x}_{0})( {x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4})\leq f(x)-f({x}_{0})\leq ( x-{x}_{0})({x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4})$

$\lim_{x\rightarrow{x}_{0} }( x-{x}_{0})( {x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4})=$
$({x}_{0}-{x}_{0})({{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4})=0$

και

$\lim_{x\rightarrow{x}_{0} }-( x-{x}_{0})( {x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4})=$
$-({x}_{0}-{x}_{0})({{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4})=0$

Σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής παίρνουμε $\lim_{x\rightarrow{x}_{0} }f(x)-f({x}_{0})=0$

$\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow{x}_{0} }f(x)=f({x}_{0})$ .
Επομένως $f$ συνεχής στο $R$

extra:
Η f είναι και συνεχής και παραγωγίσιμη δίοτι από την $\mathbf{(1)}$ για τυχαίο ${x}_{0}\in R$ παίρνουμε:

$\Leftrightarrow \frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}=\frac{{x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4}}{{f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1}$ , $x\neq {x}_{0}$

$\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow {x}_{0}}\frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}=\lim_{x\rightarrow {x}_{0}}\frac{{x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4}}{{f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1}=\frac{5{{x}_{0}}^4}{3{f}^{2}({x}_{0})+1}$

${f} '({x}_{0})=\frac{5{{x}_{0}}^4}{3{f}^{2}({x}_{0})+1}$

δηλαδή ${f} '(x)=\frac{5{x}^4}{3{f}^{2}(x)+1}$

(ledzeppelinick πάτησα κατά λάθος ''καταχώρηση απάντησης'' γι 'αυτό εμφανίστηκε αυτό το χάος.)

metalmaniac · 20-11-09

Εστω lim(f(2x)-f(x))/x)=λ ανήκει R το χ τείνει στο ο
Αν η φ είναι παραγωγίσιμη στο 0 δείξτε οτι f'(0)=λ

jimmy007 · 20-11-09

Αρχική Δημοσίευση από Metal-Militiaman:
$f(x)+{f}^{3}(x)={x}^{5} +x+1$ , για κάθε $xin R$

Έστω ${x}_{0}in R$ τότε :

$f({x}_{0})+{f}^{3}({x}_{0})={{x}_{0}}^{5} +{x}_{0}+1$

$(f(x)+{f}^{3}(x))-(f({x}_{0})+{f}^{3}({x}_{0}))=({x}^{5} +x+1)-({{x}_{0}}^{5} +{x}_{0}+1)Leftrightarrow$

$Leftrightarrow [{f}^{3}(x)-{f}^{3}({x}_{0})]+[f(x)-f({x}_{0})]=({x}^{5}-{{x}_{0}}^{5})+(x-{x}_{0})Leftrightarrow$

$Leftrightarrow (f(x)-f({x}_{0}))({f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1))=({x}^{5}-{{x}_{0}}^{5})+(x-{x}_{0})Leftrightarrow$

$Leftrightarrow f(x)-f({x}_{0})=frac{(x-{x}_{0})({x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4})}{{f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1}$ $mathbf{(1)}$

Διότι για την εξίσωση ${f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1=0$

είναι

$Delta ={f}^{2}({x}_{0})-4({f}^{2}({x}_{0})+1)=-(3{f}^{2}({x}_{0})+4)<0 .$

Οπότε $left| f(x)-f({x}_{0})right|=frac{left| x-{x}_{0}right|left| {x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4}right|}{left| {f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1 right|}$

Όμως

$left| {f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1 right|geq left|left|{f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0}) right|-left|1 right| right|geq left|0-1 right|geq 1$

Άρα

$left| f(x)-f({x}_{0})right|=frac{left| x-{x}_{0}right|left| {x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4}right|}{left| {f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1 right|}leq left| x-{x}_{0}right|left| {x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4}right|$

$Leftrightarrow-(x-{x}_{0})( {x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4})leq f(x)-f({x}_{0})leq ( x-{x}_{0})({x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4})$

$lim_{xrightarrow{x}_{0} }( x-{x}_{0})( {x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4})=$
$({x}_{0}-{x}_{0})({{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4})=0$

και

$lim_{xrightarrow{x}_{0} }-( x-{x}_{0})( {x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4})=$
$-({x}_{0}-{x}_{0})({{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4}+{{x}_{0}}^{4})=0$

Σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής παίρνουμε $lim_{xrightarrow{x}_{0} }f(x)-f({x}_{0})=0$

$Leftrightarrow lim_{xrightarrow{x}_{0} }f(x)=f({x}_{0})$ .
Επομένως $f$ συνεχής στο $R$

extra:
Η f είναι και συνεχής και παραγωγίσιμη δίοτι από την $mathbf{(1)}$ για τυχαίο ${x}_{0}in R$ παίρνουμε:

$Leftrightarrow frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}=frac{{x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4}}{{f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1}$ , $xneq {x}_{0}$

$Leftrightarrow lim_{xrightarrow {x}_{0}}frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}=lim_{xrightarrow {x}_{0}}frac{{x}^{4}+{x}^{3}{x}_{0}+{x}^{2}{{x}_{0}}^{2}+x{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{4}}{{f}^{2}(x)+f(x)f({x}_{0})+{f}^{2}({x}_{0})+1}=frac{5{{x}_{0}}^4}{3{f}^{2}({x}_{0})+1}$

${f} '({x}_{0})=frac{5{{x}_{0}}^4}{3{f}^{2}({x}_{0})+1}$

δηλαδή ${f} '(x)=frac{5{x}^4}{3{f}^{2}(x)+1}$

(ledzeppelinick πάτησα κατά λάθος ''καταχώρηση απάντησης'' γι 'αυτό εμφανίστηκε αυτό το χάος.)

Σωστός. Εγώ βέβαια διαφορετικά την έλυσα...Έθεσα νέα συνάρτηση g(x) το πρώτο μέλος της δοσμένης ισότητας και λόγο συνέχειας κατέληξα στο ίδιο..

protodesmitis · 20-11-09

Δε γνωρίζει κανείς ποιες από τις Γενικές Ασκήσεις των μιγαδικών του σχολικού είναι εκτός ύλης;

blacksheep · 20-11-09

εσυ δεν μπορεις να καταλαβεις ποιες αναφερονται στο ορισμα κτλπ:what:?μονο η 8 ειναι εκτος.

coheNakatos · 21-11-09

Ανοιγω το θεμα για να βαλουν οσοι θελουν τα διαγωνισματα που εχουν γραψει ως τωρα ευκολα ή δυσκολα ειναι εξασκηση για τους υπολοιπους

Ευχαριστω

και ξεκιναω με το δικο μου : βαζω τα 2 θεματα

Θεμα 1ο
g:R->R συνεχης και γν.αυξουσα

και

,

Nδο
1)η g αντιστρεφεται και

2)Αν

και

να βρεθουν η μεγιστη και η ελαχιστη τιμη του

3)Θεωρουμε τη συναρτηση :

, δειξτε οτι η

εχει μια τουλαχιστον ριζα στο

4)Νδο η γραφικη παρασταση την

εχει ενα μονο κοινο σημειο με την ευθεια

στο

Θεμα 2ο
Εστω

,

με

,

με

και

για τους οποιους ισχυει :

Eπισης θεωρουμε συναρτηση f με πεδιο ορισμου και συνολο τιμων το

συνεχης και γν.αυξουσα

Δειξτε οτι :
α)

b) Η εξισωση :

εχει ακριβως 2 ριζες στο

γ)

Θα σας παρακαλουσα να μην βαζετε τις λυσεις χωρις spoiler για οσους δεν ξερουν "Στην αρχη γραφεις [.spoiler.] και στο τελος του κειμενου [/spoiler.](χωρις τις τελιες)

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος