Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Hurr · 23-09-08

Με την f αντι για ολοκληρωμα νομιζω ειναι οκ
-----------------------------------------

Αφου

(συζηγή του
) Κανοντας πραξεις χιαστι και εκμεταλλευομενοι το γεγονος οτι αφου

και

και κανοντας καταλληλες παραγοντοποιησεις φτανουμε στο:

και επειδη απο εκφωνηση

από όπου προκύπτει:

Αχ ωραιο!

Και αυτο καλο μου φαινεται.
Υπαρχει και η δυνατοτητα να αποφυγεις πολλες πραξεις με διαφορα τεχνασματα

paganini666 · 23-09-08

Αρχική Δημοσίευση από Hurr:
Με την f αντι για ολοκληρωμα νομιζω ειναι οκ
-----------------------------------------

Και αυτο καλο μου φαινεται.
Υπαρχει και η δυνατοτητα να αποφυγεις πολλες πραξεις με διαφορα τεχνασματα

Αληθεια?Για πες μου!Θα ηταν αρκετά χρησιμο.

paganini666 · 23-09-08

Αρχική Δημοσίευση από Hurr:
Μπορεις να δεις απο την αρχη το θεμα για απαντησεις:thanks:

Tο είδα απτην αρχή πριν γράψω,αλλα η μονη αποδειξη που ειδα ειναι για γνησιως μονοτονες.Κανεις δν διευκρινίζει αν ισχυει για καθε αντιστρεψιμη συναρτηση και ο mostel δν εχει χρονο να μας φωτισει.Εκτός αν χάνω κατι?

Hurr · 23-09-08

πχ $\frac{{z}^{2}+mz+1}{{z}^{2}+nz+1}{\epsilon}IR\Rightarrow1+\frac{(m-n)z}{{z}^{2}+nz+1}{\epsilon}IR\Rightarrow\frac{z}{{z}^{2}+nz+1}{\epsilon}IR\Rightarrow\frac{1}{z+n+\frac{1}{z}}{\epsilon}IR\Rightarrow{z+n+\frac{1}{z}}{\epsilon}IR\Rightarrow{z+\frac{1}{z}}{\epsilon}IR...$

Και σε καθε βημα δεν ξεχναμε τους περιορισμους..
z ειναι διαφορος του 0 οταν διαιρεσαμε κλ..

Καποιες απο τις ιδιοτητες που χρησιμοποιησα δεν ξερω κατα ποσο θεωρουνται δεδομενες απο τους βαθμολογητες..

Ενας αλλος τροπος ειναι ιδιοτητες αναλογιων (δες ευκλειδεια γεωμετρια α και β ενιαιου λυκειου σελ 147)

Δεν ξερω τι επαθε το latex και δεν τα δειχνει εντελως σωστα.. στον συντακτη για latex μια χαρα τα δειχνε

Hurr · 23-09-08

Ειπαμε οτι οι εξισωσεις δεν ειναι ισοδυναμες για καθε 1-1 συναρτηση και εχουμε δωσει και παραδειγματα.

paganini666 · 23-09-08

Αρχική Δημοσίευση από Hurr:
Ειπαμε οτι οι εξισωσεις δεν ειναι ισοδυναμες για καθε 1-1 συναρτηση και εχουμε δωσει και παραδειγματα.

ΩΧ?!Τωρα καταλαβα το παραδειγμα του manos.Και τωρα τι κανουμε?Αυτο θεωρείται βασική άσκηση.Ετσι μας το παν και στο φροντιστηριο.Οτι δλδ για να βρουμε τα κοινα σημεια δυο αντιστροφων λυνουμε το συστημα με την y=x?

Hurr · 23-09-08

Μην ανησυχεις .. απλα να ξερεις οτι για γνησιως αυξουσες ισχύει. Δε θα σου ζητηθει τπτ περιεργο στις εξετασεις

paganini666 · 24-09-08

Αρχική Δημοσίευση από Hurr:
Μην ανησυχεις .. απλα να ξερεις οτι για γνησιως αυξουσες ισχύει. Δε θα σου ζητηθει τπτ περιεργο στις εξετασεις

Βρε Hurr!Κοιτα ξανα το παραδειγμα του Manos!Ειναι οι συναρτησεις αντιστροφες?φερε την ψ=χ και παρε καθε σημειο της μιας και φερε το συμμετρικο ως προς αυτην!οι ευθειες δν εινια συμμετρικες ως προς την ψ=χ αρα ΔΕΝ εινια αντιστροφες!(νομιζω

)
-----------------------------------------
Γραψε ακυρο!Το ξανακανανα και ειναι συμμετρικες ως προς την ψ=χ.Γαμωτο!Απλως μου ειναι δυσκολο να το χωνεψω.

riemann80 · 26-09-08

Ασκηση. αν $z_1,z_2 \in \mathbb{C}$ και ισχύει οτι $arg\left(\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}\right)=\frac{\pi}{2}$ να αποδειξετε οτι $|z_1|=|z_2|$ .

εννοειται οτι μιλαμε για διαφορετικους μιγαδικους.

who · 26-09-08

Δεν έχουν όρισμα μιγαδικού στην ύλη τα παιδιά νομίζω! Εκτός κι αν άλλαξε κάτι

chris_90 · 26-09-08

Αρχική Δημοσίευση από who:
Δεν έχουν όρισμα μιγαδικού στην ύλη τα παιδιά νομίζω! Εκτός κι αν άλλαξε κάτι

Τουλαχιστον μεχρι την περσινη υλη οχι! Η φετινη περιμενουμε να βγει μια απ' αυτες τις μερες...

EDIT: Η υλη βγηκε και δεν εχει αλλαξει κατι...

Hurr · 26-09-08

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
Ασκηση. αν $z_1,z_2 in mathbb{C}$ και ισχύει οτι $argleft(frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}right)=frac{pi}{2}$ να αποδειξετε οτι $|z_1|=|z_2|$ .

εννοειται οτι μιλαμε για διαφορετικους μιγαδικους.

$\frac{{z}_{1}+{z}_{2}}{{z}_{1}-{z}_{2}}=\left|\frac{{z}_{1}+{z}_{2}}{{z}_{1}-{z}_{2}}\right|cis{\pi}/2= \left|\frac{{z}_{1}+{z}_{2}}{{z}_{1}-{z}_{2}}\right|i$

Αρα o $\frac{{z}_{1}+{z}_{2}}{{z}_{1}-{z}_{2}}$ ειναι φανταστικος
Δλδ
$\frac{{z}_{1}+{z}_{2}}{{z}_{1}-{z}_{2}}=-\overline{\left(\frac{{z}_{1}+{z}_{2}}{{z}_{1}-{z}_{2}}\right)}$

Με πραξεις καταληγουμε στο συμπερασμα

paganini666 · 26-09-08

Ελυσα εκεινη με τις φανταστικες λυσεις!Θα ποσταρω το βραδυ μετα τα φροντιστηρια.
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από tzoker:
ΑΣΚΗΣΗ 8

Αν $z epsilon C$ , να δείξετε πως η εξίσωση :

$frac{1}{z - i} + frac{2}{z - 2i} + frac{3}{ z - 3i} + . . . + frac{2008}{z - 2008i} + frac{2009}{z - 2009i} = 0$ ,

έχει μόνο φανταστικές ρίζες.

ΛΥΣΗ
$\frac{1}{z - i} + \frac{2}{z - 2i} + \frac{3}{ z - 3i} + . . . + \frac{2008}{z - 2008i} + \frac{2009}{z - 2009i} = 0$ (1)
Παρατηρούμε οτι κάθε προσθεταίος είναι της μορφής

όπου κ φυσικος στο διάστημα (0,2009]
Εαν θεσουμε τον z=x+yi με x,y $\epsilon R$
Κάθε προσθεταίος παιρνει την μορφη $\frac{\kappa x}{{x}^{2}+{(y-\kappa) }^{2}}+\frac{\kappa -y}{{x}^{2}+{(y-\kappa) }^{2}}i$
Αρα από (1)
$\Rightarrow \frac{ x}{{x}^{2}+{(y-1) }^{2}}+\frac{1 -y}{{x}^{2}+{(y-1) }^{2}}i+...+\frac{2009 x}{{x}^{2}+{(y-2009) }^{2}}+\frac{2009 -y}{{x}^{2}+{(y-2009) }^{2}}i=0$
"Ζευγαρώνοντας" τους προσθεταίους με παραγοντα το i και αυτους χωρις παραγοντα το i προκύπτει:
$(\frac{ x}{{x}^{2}+{(y-1) }^{2}}+...+\frac{2009 x}{{x}^{2}+{(y-2009) }^{2}})+(\frac{1 -y}{{x}^{2}+{(y-1) }^{2}}+...+\frac{2009 -y}{{x}^{2}+{(y-2009) }^{2}})i=0$
Αν θέσουμε την πρώτη παρενθεση α και τη δευτερη β (με α,β πραγματικους ως πράξεις πραγματικών) ισχύει α+βi=0+0i $\Rightarrow$ α=0 κ β=0.
α=0
$\Rightarrow \frac{ x}{{x}^{2}+{(y-1) }^{2}}+...+\frac{2009 x}{{x}^{2}+{(y-2009) }^{2}}=0\Rightarrow x(\frac{ 1}{{x}^{2}+{(y-1) }^{2}}+...+\frac{2009 }{{x}^{2}+{(y-2009) }^{2}})=0$
Όμως η παρενθεση ειναι καθαρά θετικός αριθμός αρα προκύπτει x=0.
Επομένως ο z=yi.
Αρα η (1) εχει μόνο φανταστικές λύσεις!

riemann80 · 27-09-08

για γνησιως φθινουσες δεν ισχυει?

paganini666 · 27-09-08

Αρχική Δημοσίευση από Hurr:
Πραγματι ισχύει οτι το φανταστικο μερος της ριζας δεν ειναι μικροτερο του 0 ουτε μεγαλύτερο του 2009.
Αν θες περιεγραψε λίγο τα βηματα της λυση σου

Τι του λες του παιδιου και το μπερδευεις?

Αφου θα χει φανταστικες ριζες ο z θα ειναι της μορφης λi αρα για να οριζεται ο παρονομαστης πρεπει λ διαφορο του 1,2,3,...,2009.Αυτο που λες το εδειξες?Αλλα και να το εδειξες δεν εχει καποια σημασια στην λυση της ασκησης.

Hurr · 27-09-08

Αφου λεει οτι εχει κανει κατι αλλα ειναι πολυ για να το γραψει. Αυτο του ζηταω να περιγραψει. Και συμφωνω οτι η παρατηρηση του αυτη ειναι σωστη ασχετα αν ειναι χρησιμη για την λυση της ασκησης

paganini666 · 27-09-08

Αρχική Δημοσίευση από Hurr:
Αφου λεει οτι εχει κανει κατι αλλα ειναι πολυ για να το γραψει. Αυτο του ζηταω να περιγραψει. Και συμφωνω οτι η παρατηρηση του αυτη ειναι σωστη ασχετα αν ειναι χρησιμη για την λυση της ασκησης

Το παιδι ομως θελει να λυσει την ασκηση οποτε καλο ειναι να τον καθοδηγησεις και να του πεις σωστο μεν ασχετο δε.
Η λυση μου σωστη δν ειναι?Μηπως εχεις υποψιν σου καποια πιο απλη λυση?

Hurr · 27-09-08

Βασικα δε τον καθοδηγησα διοτι πιστευα οτι θα το εκανε αυτος που εδωσε την ασκηση.
Πιο απλη λυση δεν εχω βρει

m3Lt3D · 27-09-08

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
για γνησιως φθινουσες δεν ισχυει?

οχι.

kvgreco · 28-09-08

Αρχική Δημοσίευση από paganini666:
Το παιδι ομως θελει να λυσει την ασκηση οποτε καλο ειναι να τον καθοδηγησεις και να του πεις σωστο μεν ασχετο δε.
Η λυση μου σωστη δν ειναι?Μηπως εχεις υποψιν σου καποια πιο απλη λυση?

Την άσκηση την έχω λύσει εδώ καί μέρες αλλά δεν νομίζω ότι πρέπει να τρέχω να την αναρτώ προς ανάγνωση κάθε φορά.Μόνο γιά τις έξυπνες ασκήσεις αξίζει τον κόπο.Εγώ θα κρίνω ποιά άσκηση είναι πραγματικά καλή καί προ πάντων χρήσιμη γιά μας.Καί γιά μένα αυτή η άσκηση είναι απλά γιά εκπαίδευση στις πράξεις.Δεν έχει βάθος.Όταν φτάνεις να λες το πραγματικό είναι μηδέν καί το φανταστικό είναι μηδέν ε δεν λέει καί πολλά.Πέρα από τον μεγάλο αριθμό τον κλασμάτων πού μπαίνει γιά εκφοβισμό δεν έχει βάθος όπως είπα.Πάντα κατά τη γνώμη μου.
Καί σε τελική ανάλυση αυτό πού απέδειξες δεν είναι το ζητούμενο απλά βρήκες ότι το πραγματικό μέρος τού z είναι ίσο με μηδέν.Έπρεπε επομένως να πείς ότι με z=0 η δοσμένη σχέση δεν επαληθεύεται άρα αναγκαστικά θα είναι y διάφορο τού μηδενός καί έτσι "κλειδώνεις" πλέον ότι ο z είναι καθαρά φανταστικός.

Μη θεωρηθεί ότι γίναμε ξαφνικά τίποτα Καραθεοδωρήδες έτσι? Πρέπει να φάμε ακόμη πολλές κουλούρες ψωμί(έτσι δεν λένε?) γιά να μπορέσουμε απλά να πλησιάσουμε εκείνους τούς τεράστιους της γνώσης.

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος