Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Catherine3 · 13-09-08

Άσκηση 12

Να λυθεί η εξίσωση:

2
χ =χ-lnx
-----------------------------------------
2
x =x-lnx

Cosdel · 13-09-08

Αρχική Δημοσίευση από Catherine3:
Άσκηση 12

Να λυθεί η εξίσωση:

2
χ =χ-lnx
-----------------------------------------
2
x =x-lnx

Η εξισωση πως ειναι;
$x=x-lnx$ ή
$2x=x-lnx$ ή
κατι άλλο;

Catherine3 · 13-09-08

Είναι χ στο τετράγωνο

Cosdel · 13-09-08

Ωραιος συμβολισμος

Θετουμε $f(x)={x}^{2}-x+lnx,D=(0,+\propto )$

$f'(x)=2x-1+\frac{1}{x}\Leftrightarrow f'(x)=\frac{2{x}^{2}-x+1}{x}$

Που στο (ο,+οο) δεν εχει ριζες και ειναι ομοσημη του 2, δηλαδη παντου θετικη.

Αρα η $f$ γν.αυξουσα αρα και "1-1"

Συνεπως το 1 που ειναι προφανης λυση ειναι και μοναδικη.

Catherine3 · 14-09-08

Μπράβο πολύ καλή λύση!!!!!!!Εγώ είχα άλλο τρόπο κατα νου μου!!!!!!

Είναι
χ2=χ-lnx
χ2+ lnx=χ
χ2+ lnx+ lnx=χ+ lnx
χ2+2 lnx=χ+ lnx
χ2+ lnχ2=χ+ lnx (1)

Θεωρούμε f(x)=x+ lnx.

Είναι Df=(0,+∞)

Όποτε από (1) έχουμε :

f(χ2)=f(x) (2)

Είναι f΄(χ)=1+1/x >0 Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα και όποτε είναι ‘1-1’

Άρα από (2) έχουμε:

χ2=χ
χ2-χ=0
χ(χ-1)=0
χ=0 ΑΤΟΠΟ λόγω Df=(0,+∞) ή χ=1

Συνεπώς η εξίσωση έχει μοναδική λύση την χ=1

Lady_Of_Carnage · 14-09-08

ευκολα....

mostel · 14-09-08

Αρχική Δημοσίευση από Hurr:
https://www.hms.gr/eme/modules/wfsection/article.php?articleid=1155
Αυτή που δινεις ειναι παρομοια..
Λιγο πολυ δινουν ασκήσεις που μοιαζουν ..

Εννοούσα βασικά για τον τρόπο επίλυσης που πρότεινες ότι μου θύμισε μια άσκηση που 'χε μπει στον Ευκλείδη της Γ' λυκείου στο link που σου παρέθεσα πιο πάνω.

Νομίζω πως η επίσημη λύση της ΕΜΕ στο πρόβλημα που έδωσες είναι με σχήμα Horner (κλασικά

)

Στέλιος
-----------------------------------------
Επί την ευκαρία, να αναφέρω και μια λύση επιπέδου 3ης λυκείου και πάλι. Είναι προφανές ότι έχει δύο ρίζες (εύκολα υπολογίσιμες) την $x=1$ και $x=2$ .
Έστω ότι έχει και μία τρίτη ρίζα, τη $x=\rho$ . Τότε, επειδή έχει 3 ρίζες, σημαίνει ύστερα από διαδοχικά Rolle στα αντίστοιχα διαστήματα, ότι η δεύτερη παράγωγος μηδενίζει τουλάχιστον σε ένα σημείο, το οποίο όμως είναι άτοπο. Άρα οι λύσεις μας είναι οι προφανείς και μόνον αυτές, δηλαδή ήτοι $x=1, x=2$ . qed

Catherine3 · 14-09-08

Λοιπόν εγώ δεν ξέρω τα θέματα του ευκλείδη. Οποιαδήποτε άσκηση αυτής της μορφής έτσι θα την έλυνα γιατί έτσι εχώ μάθει. Η τελευταία λύση σου είναι λάθος. Η μοναδική λύση ειναι το χ=1 αφού η συνάρτηση f ειναι 1-1 κ άρα έχει μοναδική λύση. και το 2 δεν είναι προφανής ρίζα

'Ερικα · 14-09-08

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ?ΠΑΝΑΓΙΑ ΜΟΥ!!!!!!!!!!!!!!!!

mostel · 14-09-08

Αρχική Δημοσίευση από Catherine3:
Λοιπόν εγώ δεν ξέρω τα θέματα του ευκλείδη. Οποιαδήποτε άσκηση αυτής της μορφής έτσι θα την έλυνα γιατί έτσι εχώ μάθει. Η τελευταία λύση σου είναι λάθος. Η μοναδική λύση ειναι το χ=1 αφού η συνάρτηση f ειναι 1-1 κ άρα έχει μοναδική λύση. και το 2 δεν είναι προφανής ρίζα

Άλλα λόγια να αγαπιόμαστε. Για άλλη άσκηση μιλάω εγώ δεσποινίς ...

Catherine3 · 14-09-08

Το είδα το link. Πρώτον είναι μαθηματικά Β΄λυκείου ενώ η δικιά μου εξίσωση Γ΄Λυκείου. Κ όταν έδινα κ εγώ στις εξετάσεις του Ευκλείδη στην β΄λυκείου δεν θυμάμαι να μπορέσα να περάσω στην επόμενη φάση γιατί απλώς δεν τα έλυσα.

kvgreco · 14-09-08

Το ερώτημα είναι πώς αποδεικνύται ότι, γιά τις γνήσια αύξουσες συναρτήσεις οι εξισώσεις είναι ισοδύναμες.Δεν είναι λογικό αυτό να έχει σημασία?Αλλιώς τα μαθηματικά γίνονται παπαγαλία.
Επειτα μπορούμε να βρούμε εκτός y=-x καί άλλες οπως γιά παράδειγμα την -lnx καί e^(-x) γνήσια φθίνουσες πού το κάνουν αυτό.Δηλαδή θέλω να ρωτήσω.Είναι κανόνας γιά τις γνήσια αύξουσες? Καί πρέπει να βάλουμε καί την έκφραση "μόνο αν είναι γνήσια αύξουσες?"
Δώστε περισσότερο φως.

Hurr · 15-09-08

Αρχική Δημοσίευση από kvgreco:
Το ερώτημα είναι πώς αποδεικνύται ότι, γιά τις γνήσια αύξουσες συναρτήσεις οι εξισώσεις είναι ισοδύναμες.Δεν είναι λογικό αυτό να έχει σημασία?Αλλιώς τα μαθηματικά γίνονται παπαγαλία.
Επειτα μπορούμε να βρούμε εκτός y=-x καί άλλες οπως γιά παράδειγμα την -lnx καί e^(-x) γνήσια φθίνουσες πού το κάνουν αυτό.Δηλαδή θέλω να ρωτήσω.Είναι κανόνας γιά τις γνήσια αύξουσες? Καί πρέπει να βάλουμε καί την έκφραση "μόνο αν είναι γνήσια αύξουσες?"
Δώστε περισσότερο φως.

Η αποδειξη πως το να ειναι γν αυξουσα ειναι ικανή συνθήκη:

Θεωρουμε ότι η f ειναι γν αυξουσα
1) Εστω οτι ${f}^{-1}({x}_{1})=f({x}_{1})\Leftrightarrow$ $f\left(f({x}_{1})\right)={x}_{1}$ x1 δλδ λυση της εξισωσης

Αν ισχύει οτι $f({x}_{1})>{x}_{1}$ τοτε επειδη η f ειναι γν αυξουσα εχουμε οτι $f\left(f({x}_{1})\right)>f({x}_{1})$
Χρησιμοποιόντας την υποθεση πως $f\left(f({x}_{1})\right)={x}_{1}$
Η παραπανω σχεση γινεται ${x}_{1}>f({x}_{1})$ ατοπο

Ομοια αν $f({x}_{1})<{x}_{1}$ καταληγουμε σε ατοπο
Αρα $f({x}_{1})={x}_{1}$

2) Εστω τωρα οτι $f({x}_{1})={x}_{1}$

Τοτε $f\left(f({x}_{1})\right)=f({x}_{1})={x}_{1}$

Συνεπως αν η f ειναι γν αυξουσα οι εξισωσεις ειναι ισοδυναμες αφου εχουν ακριβως τις ιδιες ριζες

kvgreco · 16-09-08

Thanx Hurr.
Θέλω να διορθώσω το αποδεικνύται(?) πιό πάνω πού ξέχασα το έψιλον αλλά δεν βλέπω πουθενά το κουμπί επεξεργασία. Καλέ πούντο?
Άμα παλιώσει το μήνυμα δεν σού επιτρέπει επεξεργασία?

Nanou!! · 21-09-08

ΝΑΙ, ΜΠΟΡΟΥΝ να εχουν σημεια κ εκτος της διχοτομου. δες την ασκ 3ιιι σελ 156 σβ. εκει τα κοια σους σημεια ειναι στον y=-x. ΤΟ ΑΛΛΟ ΙΣΧΥΕΙ ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΕΣ

paganini666 · 22-09-08

Αρχική Δημοσίευση από Nanou!!:
ΝΑΙ, ΜΠΟΡΟΥΝ να εχουν σημεια κ εκτος της διχοτομου. δες την ασκ 3ιιι σελ 156 σβ. εκει τα κοια σους σημεια ειναι στον y=-x. ΤΟ ΑΛΛΟ ΙΣΧΥΕΙ ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΕΣ

ΝΑΙ!αλλα το σημειο ειναι το (0,0) που ανηκει σε απειρες ευθειες!

Το ερωτημα ηταν αν οι εξισωσεις ειναι ισοδυναμες και ΕΙΝΑΙ και σαυτην την περιπτωση!Εγω νομιζω πως ειναι σωστο παντα,λογω συμμετριας ως προς την y=x το σημειο τομης τους θα ειναι παντα στην y=x αλλα δν ξερω πως αποδεικνυεται.Ομως ουτε χρειαζεται.Μπορουμε να το χρησιμοπουμε χωρις αποδειξη!Καλυτερα να μας διαφωτισει και καποιο μαθηματικο μυαλο της παρεας.MOSTEEEEL!:p

paganini666 · 22-09-08

Αρχική Δημοσίευση από theodora:
ασκηση 7

αν f(x)={e}^{x}+x να λυθει η εξισωση {e}^{-x^2+x}-{e}^{2x-1}={x}^{2}+x-1

Καταρχας η f(x) ειναι αυξουσα γιατι (f)'=

+1>0
Αρα ειναι και "1-1"
η εξισωση γράφεται (αν λυσουμε τη σχεση f(x)=

+x ως προς

)

και με πραξεις φτανουμε στην:

και αφου η f ειναι "1-1" ισχυει το

δλδ

την οποια και λυνουμε.
ΠΑΙΔΙΑ HELP ΜΕ ΤΗ ΛΑΤΕΧ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΧΕΤΙΚΟ ΑΡΘΡΟ???!!! :jumpy:

ΣΗΜΕΙΩΣΗ!ΟΠΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΗΣΤΕ f!!!

Hurr · 23-09-08

Αρχική Δημοσίευση από paganini666:
Καταρχας η f(x) ειναι αυξουσα γιατι (f)'=

+1>0
Αρα ειναι και "1-1"
η εξισωση γράφεται (αν λυσουμε τη σχεση f(x)=

+x ως προς

)

και με πραξεις φτανουμε στην:

και αφου η f ειναι "1-1" ισχυει το

δλδ

την οποια και λυνουμε.
ΠΑΙΔΙΑ HELP ΜΕ ΤΗ ΛΑΤΕΧ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΧΕΤΙΚΟ ΑΡΘΡΟ???!!!

Στα ολοκληρωματα σε χανω... Βασικα δεν ειναι αναγκη να χρησιμοποιησεις ολοκληρωματα και τα παιδια δεν εχουν κανει ακομα..
Αν δε μπορεις να τα γραψεις καλα σε latex περιεγραψε λιγο τα βηματα:thanks:

Hurr · 23-09-08

Αρχική Δημοσίευση από paganini666:
ΝΑΙ!αλλα το σημειο ειναι το (0,0) που ανηκει σε απειρες ευθειες!

Το ερωτημα ηταν αν οι εξισωσεις ειναι ισοδυναμες και ΕΙΝΑΙ και σαυτην την περιπτωση!Εγω νομιζω πως ειναι σωστο παντα,λογω συμμετριας ως προς την y=x το σημειο τομης τους θα ειναι παντα στην y=x αλλα δν ξερω πως αποδεικνυεται.Ομως ουτε χρειαζεται.Μπορουμε να το χρησιμοπουμε χωρις αποδειξη!Καλυτερα να μας διαφωτισει και καποιο μαθηματικο μυαλο της παρεας.MOSTEEEEL!:p

Μπορεις να δεις απο την αρχη το θεμα για απαντησεις:thanks:

paganini666 · 23-09-08

Αρχική Δημοσίευση από tzoker:
ΑΣΚΗΣΗ 7

Έστω $z epsilon {C}^{*}$ μη πραγματικός μιγαδικός αριθμός και οι αριθμοί $m , n epsilon R$ με $m neq n$ .

Aν $frac{{z}^{2} + mz + 1}{{z}^{2} + nz + 1} epsilon R$ , να δείξετε ότι $left|z right| = 1$ .

:no1::no1::no1:

Αφου $\frac{{z}^{2} + mz + 1}{{z}^{2} + nz + 1} \epsilon R \Rightarrow \frac{{z}^{2} + mz + 1}{{z}^{2} + nz + 1}=\bar{.}\bar{.}\bar{.}\bar{.}\bar{.}\bar{.}\bar{.}\bar{.}$ (συζηγή του
) Κανοντας πραξεις χιαστι και εκμεταλλευομενοι το γεγονος οτι αφου $m,n \epsilon R \Rightarrow m=\bar{m}$ και $n=\bar{n}$ και κανοντας καταλληλες παραγοντοποιησεις φτανουμε στο:
$(n-m)({z}^{2}\bar{z}-z {\bar{z}}^{2}-z+\bar{z})=0$
και επειδη απο εκφωνηση $n\neq m\Rightarrow z}^{2}\bar{z}-z {\bar{z}}^{2}-z+\bar{z}=0$ από όπου προκύπτει:
$(z-\bar{z})(z\bar{z}-1)=0\Rightarrow(z \not\in R \Rightarrow z\neq \bar{z}) z\bar{z}=1\Rightarrow \left|z \right|=1$
Αχ ωραιο!
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από Hurr:
Στα ολοκληρωματα σε χανω... Βασικα δεν ειναι αναγκη να χρησιμοποιησεις ολοκληρωματα και τα παιδια δεν εχουν κανει ακομα..
Αν δε μπορεις να τα γραψεις καλα σε latex περιεγραψε λιγο τα βηματα:thanks:

ΩΧ!Ολοκληρωμα ειναι αυτο?LOL
Εγω για f πηγαινα!

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος