Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

rebel · 25 Δεκεμβρίου 2010

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής με $f(x)=x+\int_{0}^{x}\int_{0}^{u}f(t)dtdu$
i)Να βρεθεί ο τύπος της f
ii)Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρεθεί η $f^{-1}$
iii)Να εξετάσετε αν η $f^{-1}$ είναι άρτια ή περιττή
iv)Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $I=\int\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}dx$

Χρόνια πολλά!

Dias · 26-12-10

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
iv)Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$I=\int\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}dx$
Χρόνια πολλά!

(Θα κάνω μόνο το (iv), τα άλλα τα αφήνω για τον φίλο μου. Επίσης Χρόνια Πολ²ά)

dragonver · 27-12-10

Ρε παιδιά να ρωτήσω κάτι γιατί τα έχω ξεχάσει... Το όριο όταν το x πάει στο άπειρο του sinx/x υπολογίζεται με κριτήριο παρεμβολής; Δηλαδή το
-1/x<=sinx/x<=1/x και μετά τα γνωστα;; Ευχαριστώ εκ των προτέρων

Chris1993 · 27-12-10

Ναι γιατι eχουμe μηδeνική eπι-φραγμeνη

red span · 27-12-10

Αρχική Δημοσίευση από dragonver:
Ρε παιδιά να ρωτήσω κάτι γιατί τα έχω ξεχάσει... Το όριο όταν το x πάει στο άπειρο του sinx/x υπολογίζεται με κριτήριο παρεμβολής; Δηλαδή το
-1/x<=sinx/x<=1/x και μετά τα γνωστα;; Ευχαριστώ εκ των προτέρων

ναι μπορεις και να θεσεις χ=1/υ καθος χ-->+00 το υ-->0 και να παρεις απολυτα ουσιαστικα το ιδιο πραγμα ειναι!

NickTheGreek3 · 16-01-11

Με τις επαναληπτικες ασκησεις κολησα στα 2 τελευταια υποερωτηματα αυτης της ασκησης:

Έστω η συνάρτηση $f(x)={e}^{x}+x-1$
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. (γελειο - το αποδειξα ευκολα)
β) Να βρείτε το λ ώστε $\mathbf{{e}^{\lambda -1}+\lambda =0}$
γ) Να λύσετε την ανίσωση $\mathbf{x+ lnx -1>0}$

Φαινοταν πολυ απλη, αλλα δεν ηξερα πως να την λυσω. Bοηθηστε καλοι μου ανθρωποι!

vavlas · 16-01-11

Αρχική Δημοσίευση από NickTheGreek3:
Με τις επαναληπτικες ασκησεις κολησα στα 2 τελευταια υποερωτηματα αυτης της ασκησης:

Έστω η συνάρτηση $f(x)={e}^{x}+x-1$
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. (γελειο - το αποδειξα ευκολα)
β) Να βρείτε το λ ώστε $\mathbf{{e}^{\lambda -1}+\lambda =0}$
γ) Να λύσετε την ανίσωση $\mathbf{x+ lnx -1>0}$

Φαινοταν πολυ απλη, αλλα δεν ηξερα πως να την λυσω. Bοηθηστε καλοι μου ανθρωποι!

β)
f(λ+1)=0
f(λ+1)=f(0) (γν.μονοτ. άρα και 1-1)=>λ+1=0(=)λ=-1
γ)
f(lnx)>0
f(lnx)>f(0)=>(αύξουσα)lnx>0(=)χ>1

NickTheGreek3 · 16-01-11

Αρχική Δημοσίευση από vavlas:
β)
f(λ+1)=0
f(λ+1)=f(0) (γν.μονοτ. άρα και 1-1)=>λ+1=0(=)λ=-1
γ)
f(lnx)>0
f(lnx)>f(0)=>(αύξουσα)lnx>0(=)χ>1

Καλα, ουτε που μου πηγε εκει το μυαλο! Αυτοφασκελωνομαι μετα απο αυτο...

ημαρτον!
Και ναι, ειναι λ+1, απλα η φωτοτυπια που μας εδωσαν δεν ειχε εκτυπωθει καλα και φαινοταν σαν -.

vavlas · 16-01-11

Αρχική Δημοσίευση από NickTheGreek3:
Καλα, ουτε που μου πηγε εκει το μυαλο! Αυτοφασκελωνομαι μετα απο αυτο... ημαρτον!
Και ναι, ειναι λ+1, απλα η φωτοτυπια που μας εδωσαν δεν ειχε εκτυπωθει καλα και φαινοταν σαν -.

Είναι από τα θέματα του Μπάρλα.

red span · 17-01-11

Αρχική Δημοσίευση από vavlas:
Είναι από τα θέματα του Μπάρλα.

Χρειαζεται να το λες αυτο καθε φορα? :/:

vavlas · 17-01-11

Αρχική Δημοσίευση από red span:
Χρειαζεται να το λες αυτο καθε φορα?

Γιατί να μην το πω;
Πειράζει να ξέρει το παιδί,απο που είναι οι ασκήσεις που λύνει;

NickTheGreek3 · 17-01-11

Αρχική Δημοσίευση από vavlas:
Γιατί να μην το πω;
Πειράζει να ξέρει το παιδί,απο που είναι οι ασκήσεις που λύνει;

Το ηξερα οτι ηταν απο τον Μπαρλα. Μας βγαλαν φωτοτυπιες ασκησεις απο κει στο φροντιστηριο.

vassilis498 · 17-01-11

(να λύσετε την εξίσωση)

έχετε καμιά ιδέα;
ήταν από φυλλάδιο με ασκήσεις στο ΘΜΤ αλλά και όποιαδήποτε άλλη λύση ευπρόσδεχτη

vavlas · 17-01-11

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
(να λύσετε την εξίσωση)

έχετε καμιά ιδέα;
ήταν από φυλλάδιο με ασκήσεις στο ΘΜΤ αλλά και όποιαδήποτε άλλη λύση ευπρόσδεχτη

Εύκολα αποδυκνείεις ότι είναι γνησίως μονότονη,και έχει προφανή ρίζα το 0.

vassilis498 · 17-01-11

αυτό είναι το θέμα, δεν ξέρω πως να βρω μονοτονία έτσι όπως είναι, και αν δεις έχει και δεύτερη ρίζα το χ=1, άρα μονότονη δεν είναι μάλλον.

Dias · 17 Ιανουαρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
(να λύσετε την εξίσωση)

@ red span : Την έχει και ο φίλος σου ο Μπάρλας για λύση

.
.

vassilis498 · 17-01-11

ωραίος
ευχαριστώ

rebel · 17 Ιανουαρίου 2011

Δείξτε ότι $ab\leq e^a+b(lnb-1)$ για κάθε $a\geq 0$ και για κάθε $b\geq 1$ .Ποια συνθήκη πρέπει να ισχύει μεταξύ των α και b ώστε να ισχύει η ισότητα;

Dias · 18-01-11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Δείξτε ότι $ab\leq e^a+b(lnb-1)$ για κάθε $a\geq 0$ και για κάθε $b\geq 1$ .Ποια συνθήκη πρέπει να ισχύει μεταξύ των α και b ώστε να ισχύει η ισότητα;

Νομίζω...
(για τεχνικούς λόγους έκανα e^a = eˣ , δηλ. χ=a)
f(a) = eˣ + b(lnb-1) -ab , f'(a) = eˣ - b , f''(a) = eˣ
f'(a) = 0 => eˣ = b => a = lnb , f''(lnb) = b > 0 =>
για a = lnb ελάχιστο f(lnb) = 0 =>
f(a) ≥ f(lnb) = 0 για κάθε α≥0 => αυτό που θέλαμε (το = για a = lnb)
:/:

Πώς τα πήγα?

rebel · 18-01-11

Σωστό φαίνεται, ουσιαστικά σταθεροποιείς ένα $b_0\geq 1$ και δείχνεις ότι η συνάρτηση $f(a)=e^a+b_0(lnb_0-1)-ab_0$ παρουσιάζει ελάχιστο για $a=lnb_0$ το 0, οπότε αφού το $b_0$ είναι τυχαίο, τελικά η ανισότητα ισχύει για κάθε ζεύγος $(a,b)$ .

Η λύση που είχα στο μυαλό μου είναι να διαιρέσεις την αρχική σχέση με το b και να θέσεις $x=\frac{e^a}{b}$ οπότε αρκεί να δείξεις ότι $lnx-x+1\leq 0$ που ισχύει

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Επιφανές μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος