Μαθηματικά - Οι καλύτερες ασκήσεις.

[13diagoras]

κανένα σχόλιο; σωστή είναι η λύση;

και με τον ιδιο τροπο την ελυσα αλλα δεν μετετρεψα....

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ister]

Ορίστε ένα ωραίο πρόβλημα β γυμνασίου που λύνεται με σύστημα εξισώσεων :
Σε ένα διαστημόπλοιο ταξιδεύουν εξωγήινοι κόκκινου, κίτρινου, και μπλε χρώματος. Κάθε κόκκινος έχει 2 χέρια. Κάθε κίτρινος έχει 3 και κάθε μπλε έχει 5. Αν όλα τα χέρια των εξωγήινων είναι 150, το σύνολο των χεριών όλων των κίτρινων είναι διπλάσιο από των κόκκινων, και το σύνολο των χεριών των μπλε είναι ίσο με το άθροισμα των χεριών των κόκκινων και των κίτρινων, να βρεθεί πόσοι είναι συνολικά οι μπλε εξωγήινοι.
Άντε, ευκολάκι είναι

μα σύστημα εξισώσεων κάνετε στην γ γυμνασίου και όχι στη β ρε παιδιά!!! βάλτε θέματα στην αντίστοιχη τάξη σε αντίστοιχο topic
-----------------------------------------

(καλα βρε )

π.χ. "5 επι 3" και "3 επι 5" στο ιδιο σχημα

"
@ @ @ @ @

@ @ @ @ @

@ @ @ @ @


τωρα μπορουμε να ειμαστε σιγουροι οτι ο μαθηματικος που ισχυριζεται οτι εχει στο τσεπακι δυο φυσικους αριθμους για τους οποιους δεν ισχυει η αντιμεταθετικη λεει ψεματα?

[οποιος δεν ειναι σιγουρος να το πει να τον περιλαβω )

κύριε συνάδελφε amalfi και αγαπητά μου παιδιά!
επιτρέψτε μου μια παρέμβαση που ίσως βοηθήσει την αναζήτησή μας στην ωραία άσκηση του κυρίου amalfi!
πρέπει να καταλάβουμε όλοι μας, ότι τα μαθηματικά είναι εργαλείο μιας ανάγκης! και η ανάγκη αυτή, είναι η φυσική αναζήτηση σε ένα πρόβλημα καθημερινότητας!

ο πολλαπλασιασμός αριθμών δεν είναι τίποτα άλλο παρά ένα εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου !!! μια επιφάνεια θα λέγαμε!
φανταστείτε ένα χωράφι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλευρές α και β
ποιο είναι το εμβαδόν του; μα αxβ!!! ερώτηση!
έστω ότι είμαστε Θεοί και παίρνουμε το χωράφι αυτό και το περιστρέφουμε χωρίς να του πειράξουμε τις πλευρές, αλλά η πλευρά βάσης είναι τώρα η β και το ύψος το α!!! άλλαξε το εμβαδόν του χωραφιού μας; μα όχι! ποιο είναι; βάση x ύψος δηλ β x α

βέβαι δεν χρειάζεται να είμαστε Θεοί να το πετύχουμε! κάντε κάτι πιο...μαγικό...ζωγραφίστε το χωράφι σε ένα χαρτί! και περιστρέψτε το χαρτί! άλλαξε το εμβαδόν του χωραφιού;(σχήματος)
μα φυσικά ΟΧΙ!!!
ο κύριος amalfi καλώς έπραξε και σας "βασάνισε" τόσο!!!
άρα, για να μη σας κουράζω, ένα μεγάλο συμπέρασμα που πρέπει να βγάλουμε είναι πως το γινόμενο....εχει φυσικό νόημα και δεν είναι ξερή πράξη!!! είναι ΕΜΒΑΔΟΝ!!! αυτό θα έλεγε ένας φυσικός! και ο κύριος amalfi , οπως και γω είμαστε φυσικοί....γι'αυτό "τυρρανούμε" τα μαθηματικά και δεν τα αποδεχόμαστε ως έχουν!!!
καλή αναζήτηση στη γνώση του κόσμου που μας περιβάλλει και ελπίζω να φώτισα τη σκέψη σας και να μη συσκότισα την προσπάθειά σας!
-----------------------------------------

Γιατι άν θέλεται δυστυχώς δεν μπορώ (τρισδυάστατο με @ είναι δυσκολο)!

μήπως το τριπλό γινόμενο αxbxc είναι όγκος; περίστρεψε τον όγκο όπως θες...ένα κουτί καν'το τούμπες...θα αλλάξει ο όγκος; σωστά το πας! είναι τρισδιάστατο!!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[amalfi]

εχει φυσικό νόημα και δεν είναι ξερή πράξη!!! είναι ΕΜΒΑΔΟΝ!!! αυτό θα έλεγε ένας φυσικός! και ο κύριος amalfi , οπως και γω είμαστε φυσικοί....γι'αυτό "τυρρανούμε" τα μαθηματικά και δεν τα αποδεχόμαστε ως έχουν!!!

απ' οσο γνωριζω οι πιο πετυχημενοι καθαροι μαθηματικοι (αλλα και μεγαλες μορφες της μαθηματικης λογικης) ετσι απαντουν στο συγκεκριμενο ερωτημα!


και διαμαρτυρονται γιατι στα σχολεια και στα πανεπιστημια, συχνα, χανεται η συνδεση με τη φυση, η εποπτεια και το νοημα των μαθηματικων με αποτελεσμα να εχουμε δυστυχισμενους μαθητες και φοιτητες -και μετριους μαθηματικους

[αν καποιος δεν πειθεται απο την αποδειξη, το δεχομαι!!
(αλλα δε δεχομαι οτι οι μαθηματικοι τα κανουν πιο αυστηρα ή σωστοτερα [έτσι το βλεπουν].)]

αν κανείς εμμένει σε μια τυπικη "αυστηροτητα" ας προσπαθησει να αποδειξει καποια απλη προταση της γεωμετριας στηριζομενος μονο στα πεντε ευκλειδεια αιτηματα (ειναι αδυνατον)

ή ακομη καλυτερα ας χρησιμοποιησει καποιο "ανωτερο" συστημα Ευκλειδειας Γεωμετριας (Hilbert π.χ.)
[αν θελουμε "αυστηροτητα", δε θα πρεπε να σχεδιαζουμε καθολου σχηματα στη Γεωμετρια, ετσι δεν ειναι?]

μήπως το τριπλό γινόμενο αxbxc είναι όγκος;

ουσιαστικα ,ναι (αν θυμαμαι καλα, το βρηκαν τα παιδια) , ομως δε μπορουμε να πολλαπλασιαζουμε μεμιας τρεις αριθμους (δεν εχει νοημα) αλλα μονο δυο

για παραδειγμα α επι (β επι γ)

ειναι πολλαπλασιασμος δύο αριθμων. του αριθμου α και του αριθμου (β επι γ)


οταν πειστουμε οτι α (βγ) = (αβ) γ μπορουμε να ξεχασουμε την παρενθεση, εννοωντας ενα απο τα δυο γινομενα (που ειναι ισα) (το αβγ ειναι μια -χρησιμη- συντομογραφια)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[3v@Ki]

δηλαδή η λύση για να αποδείξουμε ότι αβ=βα είναι αυτό που είπε ο κύριος ister με το χωράφι??δυσκολεύομαι να το πιστεψω ότι σε μια άσκηση άλγεβρας πρέπει να χρησιμοποιήσουμε την πιο απλή γεωμετρία για να την λύσουμε!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ξαροπ]

δηλαδή η λύση για να αποδείξουμε ότι αβ=βα είναι αυτό που είπε ο κύριος ister με το χωράφι??δυσκολεύομαι να το πιστεψω ότι σε μια άσκηση άλγεβρας πρέπει να χρησιμοποιήσουμε την πιο απλή γεωμετρία για να την λύσουμε!!

Και όμως, κι αυτό είναι ένα από τα όμορφα σημεία των μαθηματικών.

Αντίστοιχα, πολλές ασκήσεις γεωμετρίας λύνονται με χρήση άλγεβρας (πχ. μιγαδικοί (?))

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ister]

δηλαδή η λύση για να αποδείξουμε ότι αβ=βα είναι αυτό που είπε ο κύριος ister με το χωράφι??δυσκολεύομαι να το πιστεψω ότι σε μια άσκηση άλγεβρας πρέπει να χρησιμοποιήσουμε την πιο απλή γεωμετρία για να την λύσουμε!!

τα μεγαλύτερα προβλήματα λύθηκαν με μια υπέρβαση!!! και η υπέρβαση στη σκέψη είναι να σκεπτόμαστε ΑΠΛΑ!!!

πολλές φορές, συζητώντας με τους μαθητές μου, διαπιστώνω την απογοήτευσή τους που η λύση είναι τόσο απλή!!!

μα καλά(λένε), τόσο απλή; ναι απλή! το πρόβλημα είναι πως ψάχνετε να βρείτε μια λύση χρησιμοποιώντας τύπους τεράστιους-μακαρόνια τους λέω εγώ!!! ο λόγος; ότι δε σκεπτόμαστε απλά!
πάρ'τε τους τύπους της φυσικής! είναι τόσο μα τόσο απλοί!

μέχρι και η περίφημη σχέση του Einstein Ε=mc^2 είναι απλούστατη στη διατύπωσή της!!!

για να φανταστείτε, επειδή τυγχάνει να δουλεύω και στο πανεπιστήμιο...όταν ερευνούμε κάτι και πλησιάζουμε σε μια θεωρία-νόμο (δηλ. μαθηματικά που ικανοποιούν τα συμπεράσματά μας), μια βασική δικλείδα ασφαλείας ότι αυτό που εξήχθη ως νόμος είναι σωστό...είναι να μας δίνει ΑΠΛΗ σχέση! αν μας βγάζει "μακαρόνι"...πάμε για αλλού!!! το αφήνουμε στην άκρη!

να μια άλλη αρχοντιά της φυσικής!!! μας καθιστά ικανούς να σκεφτόμαστε ΑΠΛΑ!!! μήπως η περίτεχνη σκέψη δεν έχει θολώσει τα μυαλά του σύγχρονου κόσμου;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[amalfi]

επειδή τυγχάνει να δουλεύω και στο πανεπιστήμιο...

σε ποιο τμημα?

να σκεφτόμαστε ΑΠΛΑ!!! μήπως η περίτεχνη σκέψη δεν έχει θολώσει τα μυαλά του σύγχρονου κόσμου;

η απλοτητα ειναι μιση αρχοντια!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ister]

σε ποιο τμημα?

εργαστήριο φυσικής ατμόσφαιρας απθ

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[amalfi]

α ωραια

(γιατι καποιον γνωστο μου θυμισατε απ' την Αθηνα )


-----------------------------------------

Ανταποκρίνονται, αφού πρόκειται για το τόπικ των καλύτερων ασκήσεων.

πεντε δυσκολακια για οσους βαριουνται [γνωριζετε οτι ενας φυσικος αναλυεται σε γινομενο πρωτων παραγοντων με μοναδικο τροπο {αν αγνοησουμε τη σειρα} ?]

α) ποιο ειναι το ψηφιο των μοναδων (τελευταιο ψηφιο) του αριθμου "7 υψωμενο στη 2009" ?

β) ενας μαθηματικος ισχυριζεται οτι το γινομενο τριων διαδοχικων φυσικων ειναι παντα πολλαπλασιο του 6. εχει δικιο?

γ) να δειξετε οτι ο αριθμος του οποιου το τετραγωνο ειναι ισο με 1 επι 2 επι ...... επι 99 ειναι αρρητος

δ) ποσους διαιρετες εχει ο αριθμος 3600?

ε) αν εχουμε δύο φυσικους αριθμους α και β να δειξετε οτι (ΕΚΠ) (ΜΚΔ) = αβ
μπορειτε να βρειτε τους αριθμους αν δινονται τα ΕΚΠ, ΜΚΔ?

{για μαθητες γυμνασιου που το ψαχνουν λιγο παραπανω}

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ξαροπ]

α) Επειδή , ο τελειώνει όπου και ο .

β) Έχει δίκιο. Σε κάθε τριάδα διαδοχικών αριθμών υπάρχει ένα πολλαπλάσιο του 3 (αφού τα δυνατά υπόλοιπα κάθε ακεραίου στη διαίρεσή του με το 3 είναι 0,1,2) ενώ σε κάθε δυάδα υπάρχει ένα πολλαπλάσιο του 2 (περιττός-άρτιος, άρτιος-περιττός) , συνεπώς σε κάθε τριάδα διαδοχικών ακεραίων υπάρχει τουλάχιστον ένα πολλαπλάσιο του 2.

Άρα το γινόμενο των τριών διαδοχικών αυτών ακεραίων θα είναι πολ2 x πολ3 x y = πολ6 x y.


Το γ), δ) και το ε) δεν θα τα κάνω (τώρα - το γ) το έχω ξανακάνει νομίζω), απλά για το δ) αναφέρω πως αρκεί να το αναλύσουμε σε πρώτους παράγοντες.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[amalfi]

μπραβο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Chris1993]

Μάλλον έκανες λάθος στις πράξεις. κοίτα :
(1) 2x + 3y + 5z = 150 (1)
(2) 3y = 2*(2x)
(3) 5z = 2x + 3y (3)

αρα (1) 2x + 2*(2x) + 5z = 150
= 2x + 2x + 2x + 5z = 150
= 3*(2x) + 5z = 150
και (3) 5z = 2x + 2*(2x)
= 5z = 3*(2x)
άρα (1) 3*(2x) + 3*(2x) = 150
= 6* (2x) = 150
και έτσι 2x = 150/6 = 25
έτσι 2x = 25 έτσι x = … (ουπςςςςςςς)
Τέλος πάντων το χ και το ψ δεν σε ενδιαφέρουν…

Μα και εγώ βρήκα 2x=25 <=> x=12,5 !
Πρόσεξε τη λύση μου πρώτα!
Απλά αντικατέστησα αλλιώς!
Παραθέτω ξανά τη λύση μου :

x = κόκκινοι εξωγήινοι
y = κίτρινοι εξωγήινοι
z = μπλέ εξωγήινοι

2x + 3y + 5z = 150 (1)
3y = 2*(2x) <=> 3y = 4x (2)
5z = 2x + 3y (3)

Απλά , απο (1) και (3) 5z + 5z = 150 <=> 10z=150 <=> z=15
Επίσης , 15*5 = 75 (τα χέρια των μπλέ εξωγήινων).
150 - 75 = 75
Άρα 2x + 3y = 75 .
Απο (2) έχουμε 2x + 4x = 75 <=> 6x =75 <=> x=12,5
Έτσι 12,5*2 = 25 (τα χέρια των κόκκινων εξωγήινων).
Τέλος , 150 - 75 - 25 = 50 (τα χέρια των κίτρινων εξωγήινων).
Δηλαδή 3y = 50 <=> y16,67

Απλά βρίσκω πρώτα το z και μετά τα άλλα !

Όντως , χ + y + z = 150 . Αφού , 75 + 50 + 25 = 150 !
Άρα η λύση μου είναι σωστή !
Δεν παίζει ρόλο που οι εξωγήινοι(οχι τα χέρια τους) βγαίνουν δεκαδικοί !
Και έτσι και αλλιώς , ζητάει τους μπλε εξωγήινους "προφανώς" γιατί είναι το μόνο ακέραιο αποτέλεσμα(15).
*Ουσιαστικά οι πρώτες 2 σειρές είναι η λύση ! Απλά για επιβεβαίωση συνέχισα !

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[13diagoras]

Αν ν.δ.ο. .

ουσιαστικα πρεπει να δειξουμε οτι ο αριθμοςδιαιρειται με το 4,ε??το κριτηριο διαιρετοτητας του 4 ειναι το εξης:
(ισως λεω βλακειες)βλεπω αν ο αριθμος διαιρειται με το 2 ο οποιος διαιρειται (μαλλον)και αν ο αριθμος που μενει ειναι αρτιος τοτε και ο αρχικος διαιρειται με το 4(αυτες οι ασκησεις θελουν καθαρα θεωρια αριθμων ε?
με ισουπολοιπους βγαινει πιο ευκολα αλλα ειναι εξω απο τα πλαισια της υλης της β'γυμνασιου

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ξαροπ]

Με ισουπόλοιπα βγαίνει όντως γρήγορα αλλά εδώ δεν χρειάζεται.

Αυτό που λες έχει μια λογική, αλλά γιατί όταν διαιρείται με το 2 να είναι απαραίτητα άρτιος στην περίπτωση?

Θέλει ένα κολπάκι. Υπενθυμίζω ότι .

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[13diagoras]

Με ισουπόλοιπα βγαίνει όντως γρήγορα αλλά εδώ δεν χρειάζεται.

Αυτό που λες έχει μια λογική, αλλά γιατί όταν διαιρείται με το 2 να είναι απαραίτητα άρτιος στην περίπτωση?

Θέλει ένα κολπάκι. Υπενθυμίζω ότι .

οπου λ???

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ξαροπ]

Πολλαπλάσιο του α στην ουσία εννοείται. ()

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[13diagoras]

την εβγαλα με τον τροπο που ειπες,αλλα δεν πολυ καταλαβα γιατι ισχυει αυτο:

(αποδειξη εχει??)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ξαροπ]

την εβγαλα με τον τροπο που ειπες,αλλα δεν πολυ καταλαβα γιατι ισχυει αυτο:

(αποδειξη εχει??)

Δεν μου έρχεται καμιά απόδειξη στο μυαλό. Αν μελετήσεις το τρίγωνο του Pascal πάντως θα δεις ότι θα υπάρχουν στο ανάπτυγμα τουλάχιστον τα και τα διάφορα άλλα πολλαπλάσιά τους (αυτό πάει ανάλογα με τον εκθέτη).

Η απόδειξη είναι μια άσκηση από μόνη της, για όποιον θέλει να προσπαθήσει.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[13diagoras]

Δεν μου έρχεται καμιά απόδειξη στο μυαλό. Αν μελετήσεις το τρίγωνο του Pascal πάντως θα δεις ότι θα υπάρχουν στο ανάπτυγμα τουλάχιστον τα και τα διάφορα άλλα πολλαπλάσιά τους (αυτό πάει ανάλογα με τον εκθέτη).

Η απόδειξη είναι μια άσκηση από μόνη της, για όποιον θέλει να προσπαθήσει.

κατι σκευτικα αλλα θα ειναι λαθος αφου ειπες οτι ειναι ολοκληρη ασκηση
απο την ταυτοτητα(α+β)^n εχουμε πολλους παραγοντες οι οποιοι περιεχουν τον α(αναλογα) εκτος απο το β^n ετσι βγαζουμε ως κοινο παραγοντα το α και στην παρενθεση εχει.......οπου την ονομαζουμε λ και ας περιεχει ο,τι θελει.ετσι μενει το λα+β^n

αυτο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[SA-96]

θα δώσω μία απάντηση η οποία δεν βασίζεται κυρίως σε μαθηματικά αλλά σε μοτίβα.
1. αφού 5*5 = 25 και 5*...25 = ...25, τότε όλες οι δυνάμεις του 5, λήγουν σε 25.
2. βρίσκω τα 2 τελευταία ψηφία των πρώτων δυνάμεων του 9. Παρατηρώ ότι το ψηφίο των μονάδων στις περιττές δυνάμεις είναι 9 ενώ το ψηφίο των μονάδων στις άρτιες δυνάμεις είναι 1. Άρα το ψηφίο των μονάδων του 9^2004 είναι το 1. Όσον αφορά το ψηφίο των δεκάδων, στις περιττές δυνάμεις ξεκινάει από το 0 και αυξάνεται συνεχώς κατά 2, ενώ στις άρτιες δυνάμεις ξεκινάει από το 8 και μειώνεται συνεχώς κατά 2. (εμάς μας ενδιαφέρουν μόνο οι άρτιες αφού μιλάμε για ο 2004) ο κύκλος αυτός συμβαίνει κάθε πέντε δυνάμεις. Εδώ διαιρώ κάθε δύναμη με το 2 και γράφω από δίπλα το αντίστοιχο ψηφίο των δεκάδων. Έτσι έχω
1=8 2=6 3=4 4=2 5=0 6=2... 1002=χ. Αφού ο κύκλος αυτός συμβαίνει κάθε πέντε δυνάμεις, διαιρώ το 1002 με το 5 και έχω υπόλοιπο 2. Άρα το ψηφίο των δεκάδων του 9^2004 είναι το 6. Μέχρι τώρα έχουμε 5^2001=...25 και 9^2004=...61 (θυμίζω πως θέλουμε να βρούμε το 5^2001 + 9^2004 -2.
Άρα έχουμε ...25 + ...61 - 2 = ...84 και σύμφωνα με α κριτήρια διαιρετότητας του 4, το ...84 διαιρείται με το 4!!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.