Ενδιαφέροντα προβλήματα φυσικής, μαθηματικών και μηχανικής

[Cade]

Ο Gauss είχε αναφέρει πως τα μαθηματικά είναι η βασίλισσα των επιστημών, και η βασίλισσα των μαθηματικών είναι η θεωρία αριθμών. Πραγματικά είναι εντυπωσιακό το πόσα προβλήματα, τόσο θεωρητικά όσο και πρακτικά, εν τέλει καθορίζονται άμεσα απο τις ιδιότητες των ίδιων των αριθμών.

Πρόβλημα :
Έστω οτι έχουμε 100 πόρτες σε ένα κτίριο οι οποίες αρχικά είναι όλες κλειστές.
Ένας επιστάτης περνάει κάθε φορά και αλλάζει την κατάσταση μιας πόρτας(δηλαδή εαν ήταν κλειστή την ανοίγει και αντίστροφα) με τον εξής τρόπο :

Την πρώτη φορά ανοίγει τις πόρτες ανά μια(οπότε ανοίγει τις πόρτες 1,2,3...).
Την δεύτερη φορά ανοίγει κάθε δεύτερη πόρτα(οπότε ανοίγει τις πόρτες 2,4,6...).
Την τρίτη φορά ανοίγει κάθε τρίτη πόρτα(ανοίγει τις πόρτες με αριθμό 3,6,9,...).
κ.ο.κ.

Πόσες πόρτες θα έχουν μείνει ανοιχτές την 100η φορά που θα έχει περάσει απο όλες τις πόρτες ;

Αν κάτσει κανείς να παρατηρήσει το μοτίβο με το οποίο αλλάζει κατάσταση κάθε πόρτα θα δει ότι ο αριθμός αυτός συμπίπτει με τον αριθμό των διαιρετών κάθε πόρτας. Πχ πόρτα n, k φορές, όπου k: ο αριθμός διαιρετών του n. Επίσης θέλουμε να είναι περιττός ώστε τελικώς η πόρτα να είναι ανοιχτή, άρα τα n δε μπορούν παρά να είναι τέλεια τετράγωνα => 10 πόρτες

 

[Samael]

Αν κάτσει κανείς να παρατηρήσει το μοτίβο με το οποίο αλλάζει κατάσταση κάθε πόρτα θα δει ότι ο αριθμός αυτός συμπίπτει με τον αριθμό των διαιρετών κάθε πόρτας. Πχ πόρτα n, k φορές, όπου k: ο αριθμός διαιρετών του n. Επίσης θέλουμε να είναι περιττός ώστε τελικώς η πόρτα να είναι ανοιχτή, άρα τα n δε μπορούν παρά να είναι τέλεια τετράγωνα => 10 πόρτες

Πολύ σωστά Cade, μπράβο !
Ευελπιστώ πως ήταν ευχάριστο .