Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Silent_Killer · 2 Ιουνίου 2015

Αρχική Δημοσίευση από eyb0ss:
Μαν πρέπει να φάω τώρα, ίσως αργότερα αν μπορώ.

Καλή σου όρεξη και σε ευχαριστώ!! Θα το εκτιμούσα αν έκανες τον κόπο

xristaras9 · 30-06-15

Ποιές συναρτήσεις είναι ίσες?Στην περίπτωση που δεν είναι ίσες βρείτε το ευρύτερο υποσύνολο του R στο οποίο ισχύει f(x)=g(x)
1)f(x)=x^2-1/x-1 , g(x)=x+1
2)f(x)=ρίζα χ(χ-1) G(x)=ρίζα x επι ριζα χ-1

Θα ημουν ευγνώμων σε όποιον βοήθαγε.

theo156 · 30-06-15

Αν διαβάσεις τη θεωρία θα δεις ότι ίσες είναι οι συναρτήσεις που έχουν ίδιο τύπο ΚΑΙ ίδιο πεδίο ορισμού.
1) Η f έχει πεδίο ορισμού όλα τα x στο R εκτός από το x=1 αλλά ο τύπος της είναι ίδιος με αυτόν της g αν κάνεις απλοποιήσεις. Άρα είναι ίσες για x διάφορο του 1. Ομοίως κάνεις το 2

Jason98 · 08-07-15

Λύνει κανένας την παρακάτω:

Δίνονται οι συναρτήσεις f και g: R -> R με g(x) =x^2+αx+β και fog = gof. Αν υπάρχει ένα μόνο ξ εν R τέτοιο ώστε f(ξ) = ξ, να δείξετε ότι: (α-1)^2 = 4β.

eyb0ss · 09-07-15

Αρχική Δημοσίευση από Jason98:
Λύνει κανένας την παρακάτω:

Δίνονται οι συναρτήσεις f και g: R -> R με g(x) =x^2+αx+β και fog = gof. Αν υπάρχει ένα μόνο ξ εν R τέτοιο ώστε f(ξ) = ξ, να δείξετε ότι: (α-1)^2 = 4β.

Για ευκολία το ξ θα το κάνω p.
Οι συναρτήσεις $g\circ f, f\circ g$ έχουν πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$ .
$g(x)=x^2+ax+b \Rightarrow f(g(x))=f(x^2+ax+b)$ άρα
$(f\circ g)(x)=f(x^2+ax+b)$ (1) και
$g(f(x))=f^2(x)+af(x)+b \Leftrightarrow (g\circ f)(x)=f^2(x)+af(x)+b$ (2)
Τα LHS των (1),(2) είναι ίσα οπότε:
$f(x^2+ax+b)=f^2(x)+af(x)+b$
Όπου x το p:
$f(p^2+ap+b)=f^2(p)+af(p)+b \Leftrightarrow f(p^2+ap+b)=p^2+ap+b$ .
Επειδή το p είναι το μοναδικό x που ικανοποιεί την σχέση f(x)=x υποχρεωτικά θα είναι
$p^2+ap+b=p \Leftrightarrow p^2+(a-1)p+b=0$ και επειδή το p είναι μοναδικό η διακρίνουσα θα είναι 0.
Δηλαδή $(a-1)^2-4b=0 \Leftrightarrow (a-1)^2=4b$

Jason98 · 09-07-15

Ευχαριστώ!!! Δεν έβλεπα το προφανές...

Resistance · 14 Αυγούστου 2015

Ποιά βοηθήματα θα προτείνατε για μία μεθοδική και ολοκληρωμένη επανάληψη στα Μαθηματικά Θετικής και Οικονομικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ' Λυκείου;Και από ποιά περίοδο θα συστήνατε να ξεκινήσει η Επανάληψη της πανελλαδικώς εξεταζόμενης ύλης;Τέλος,πόσα βοηθήματα πιστεύετε ότι επαρκούν για μια σφαιρική όψη του μαθήματος(εκτός από την υποστήριξη του καθηγητή στο τομέα του μαθήματος,τα σχόλια και τις παρατηρήσεις του);

Dimitrakak · 02-09-15

Ξερει κανεις γιατι οταν lim|f(x)|=|l| με l διαφορο του 0 η f(x) μπορει να εχει αλλα και να μην εχει οριο;

Έρεβος · 02-09-15

Αρχική Δημοσίευση από Dimitrakak:
Ξερει κανεις γιατι οταν lim|f(x)|=|l| με l διαφορο του 0 η f(x) μπορει να εχει αλλα και να μην εχει οριο;

Δες το λίγο "εμπειρικά" ( :whistle:

)!

Έστω ότι η f είναι της μορφής:
$f\left(x \right) = L$ (L σταθερά, διάφορη του 0), για κάθε x στο R.
Τότε:
$\lim_{x\rightarrow a} {\left|f(x) \right|} = \left|L \right|$
αλλά και:
$\lim_{x\rightarrow a} {f(x)} = L$ με a στο R.

Έστω τώρα ότι η f είναι της μορφής:
$f\left(x \right) = \left\{\begin{matrix} L, x<a\\ -L, x\geq a\end{matrix}\right.$ , x στο R.
Τότε:
$\lim_{x\rightarrow a} {\left|f(x) \right|} = \left|L \right|$
ΟΜΩΣ το $\lim_{x\rightarrow a} {f(x)}$ δεν υπάρχει (αφού τα πλευρικά όρια δεν είναι ίσα μεταξύ τους!).

Άρα δεν μπορούμε να πούμε κάτι για το όριο της f γνωρίζοντας μόνο αυτό τής |f| (μπορεί να υπάρχει, μπορεί και όχι).
Το αντίστροφο, ωστόσο ισχύει!

Dimitrakak · 03-09-15

Ευχαριστω, τωρα το καταλαβα!!!

a(po)tyxia · 30 Σεπτεμβρίου 2015

Achilleas1997 · 29 Σεπτεμβρίου 2015

Αρχική Δημοσίευση από a(po)tyxia:
Οι γραφική παράσταση της είναι συμμετρική με την γραφική παράσταση της ως πρός την ευθεία y=x . Επομένως, αφού η γραφική παρασταση είναι κυρτή , η γραφική παράσταση της είναι κοίλη.

Για να χρησιμοποιησείς τους ορισμούς του σχολικού πρέπει να αποδείξεις:
1) Την συνέχεια της αντίστροφης, την διπλη παραγωγισιμοτητα κτλ ή
2) Την συνέχεια, την παραγωγισιμότητα και την μονοτονία της αντίστροφης

Δεν νομίζω ότι η αιτιολόγησή σου θα σου έδινε (όλες τις) μονάδες στις πανελλήνιες.

patben · 01-10-15

Μπορειτε να μου πειτε πως να βρω το ολοκλήρωμα της f(x)=e^ -x απο 1 μεχρι 2 (αναλυτικη λυση θα ηθελα γιατι δεν εχω ιδεα απο ολοκληρώματα

)

Vold · 01-10-15

Αρχική Δημοσίευση από patben:
Μπορειτε να μου πειτε πως να βρω το ολοκλήρωμα της f(x)=e^ -x απο 1 μεχρι 2 (αναλυτικη λυση θα ηθελα γιατι δεν εχω ιδεα απο ολοκληρώματα )

Τότε ρίξε μια ματιά πρώτα στην θεωρία, είναι απλά γελοίο το ολοκλήρωμα αυτό.

patben · 01-10-15

Δεν ειμαι μαθητης, εχω τελείωση δεν εχω την θεωρια μπροστα μου απλα την λυση θα ηθελα

Michanikara · 01-10-15

Έδωσα με την παλιά ύλη.
Τι ακριβώς αλλάζει με την αφαίρεση της συνάρτησης

;
Υποθέτω ότι πρέπει να ξεχάσω κάθε άσκηση που έχω κάνει χρησιμοποιώντας την. Υπάρχει κάποια λεπτομέρεια που χρειάζεται να προσέξω;

DumeNuke · 01-10-15

Αρχική Δημοσίευση από patben:
Μπορειτε να μου πειτε πως να βρω το ολοκλήρωμα της f(x)=e^ -x απο 1 μεχρι 2 (αναλυτικη λυση θα ηθελα γιατι δεν εχω ιδεα απο ολοκληρώματα )

Το αόριστο ολοκλήρωμα της e^(-x) είναι το -e^(-x) +c.
Οπότε, το ορισμένο από 1 ως 2 είναι
I=(-e^(-2)) - (-e^(-1))=e^(-1)-e^(-2)= (e-1)*e^(-2) = (e-1)/e^2

kachorra · 11 Οκτωβρίου 2015

https://www.dropbox.com/s/5di7yezzgk1zm6y/20151010_155259.jpg?dl=0

Code:

Εχετε να κανετε καποια προταση? Συγκεκριμενα για το α2 ερωτημα...

Έρεβος · 11 Οκτωβρίου 2015

Αν διαβάζω καλά την εκφώνηση λέει τα εξής:

Θεωρούμε συνάρτηση $f:\mathbb{R} \backslash \{0\} \rightarrow \mathbb{R} \backslash \{0\}$ με $f\left(x \right)\neq 0 \; \forall x\in\matbb{R}_{+}$ η οποία είναι 1-1 και έχει την ιδιότητα: ${f}^{-1}\left(x \right)=\frac{1}{f\left(x \right)} \; \forall x\in \mathbb{R}_{+} (*)$ .
Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο $\left(0, +\infty \right)$ τότε:

(α) Να αποδείξετε:
(α.1) $f\left(f \left(x \right)\right)=\frac{1}{x}$ και $f\left(\frac{1}{x} \right)=\frac{1}{f\left(x \right)}\;\forall x\in \mathbb{R}_{+}$
(α.2) $f\left(1 \right)=-1$ και $f\left(-1 \right)=1$
(α.3) Η εξίσωση ${f}^{-1}\left(x \right)=x$ είναι αδύνατη!

(β) Αν επιπλέον είναι f(x)>0 για κάθε x<0 να δείξετε ότι η συνάρτηση δεν μπορεί να είναι γνησίως αύξουσα στο $\left(-\infty, 0 \right)$

(α.1)
Είναι:
$f(f(x)) = \frac{1}{{f}^{-1}\left(f\left(x \right) \right)}=\frac{1}{x} \forall x\in \mathbb{R}_{+}$

Αντικαθιστώ το x με 1/x (x>0):
$f\left(f\left(\frac{1}{x}\right) \right) = \frac{1}{\frac{1}{x}}=x \Rightarrow {f}^{-1}\left(f\left(f\left(\frac{1}{x} \right) \right) \right)={f}^{-1}\left(x \right) \Rightarrow$
$f\left(\frac{1}{x} \right)=\frac{1}{f\left(x \right)} \forall x\in \mathbb{R}_{+}$

(α.2)
Από ερώτημα (α.1) έχουμε ότι:
$f\left(\frac{1}{x} \right)=\frac{1}{f\left(x \right)} \forall x\in \mathbb{R}_{+}$

Για x=1 θα έχουμε:
$f\left(1 \right)=\frac{1}{f\left(1 \right)}\Rightarrow {f}^{2}\left(1 \right)=1\Rightarrow f(1)=\pm 1$

Είναι $f(1)=-1$
Απόδειξη:
Έστω $f(1)=1$ και έστω $x_0>1$ . Τότε:
$x_0>1\Rightarrow f(x_0)>f(1)\Rightarrow f(x_0)>1\Rightarrow \frac{1}{{f}^{-1}\left(x_0 \right)}>1\Rightarrow {f}^{-1}\left(x_0 \right)<1$
(αφού f γνησίως αύξουσα.)
Επίσης:
$x_0>1 \Rightarrow {f}^{-1}\left(x_0 \right)}>{f}^{-1}\left(1 \right)} \Rightarrow {f}^{-1}\left(x_0 \right) > 1$
(αφού αν f γνησίως αύξουσα τότε και f^-1 γνησίως αύξουσα. /Γιατί?/ )
Άτοπο! Άρα κατ’ ανάγκη $f(1) = -1$ .

Είναι:
$f(1)=-1 \Rightarrow f(f(1))=f(-1)$
Από ερώτημα (α.1) ισχύει $f(f(x))=\frac{1}{x}$
Άρα:
$f(-1)=1/1=1$

(α.3)
Έστω ότι υπάρχει $x_0\neq 0$ τ.ω. $f^{-1}(x_0)=x_0$ .
Τότε:
$f(f^{-1}(x_0))=f(x_0) => f(x_0)=x_0.$

Διακρίνω τις περιπτώσεις:
*Αν $x_0>0$ τότε:
$f\left(f\left(x_0 \right) \right)=f\left(x_0 \right)\Rightarrow \frac{1}{x_0}=x_0\Rightarrow {x_0}^{2}=1\Rightarrow x_0=1$
Όμως:
$f(1)=-1$ Άτοπο!

*Αν $x_0<-1 \Rightarrow -x_0>1$ τότε:
$f\left(-x_0 \right)>f\left(1 \right)=-1\Rightarrow f\left(f\left(-x_0 \right) \right)>f\left(-1 \right)=1\Rightarrow$
$\frac{1}{-x_0}>1\Rightarrow -x_0<1\Rightarrow x_0>-1$
Όμως $x_0<-1$ . Άτοπο!

*Αν $-1<x_0<0 \Rightarrow 0<-x_0<1$ τότε:
$f\left(-x_0 \right)<f\left(1 \right)=-1\Rightarrow f\left(f\left(-x_0 \right) \right)<f\left(-1 \right)=1\Rightarrow$
$\frac{1}{-x_0}<1\Rightarrow -x_0>1\Rightarrow x_0<-1$
Όμως $x_0 >-1$ . Άτοπο!

Άρα δεν υπάρχει $x_0$ που να ικανοποιεί την εξίσωση. Δηλαδή η εξίσωση είναι αδύνατη.

(β)
Έστω f γνησίως αύξουσα στο $(-\infty,0)$ .
Έστω $x_0<x_1<0$ τότε:
$x_0<x_1<0\Rightarrow 0<f\left(x_0 \right)<f\left(x_1 \right)\Rightarrow {f}^{-1}\left(f\left(x_0 \right) \right)<{f}^{-1}\left(f\left(x_1 \right) \right)\Rightarrow$
$0<\frac{1}{f\left(x_0 \right)}<\frac{1}{f\left(x_1 \right)}\Rightarrow f\left(x_0 \right)>f\left(x_1 \right)$

Άτοπο! Άρα δεν μπορεί η f να είναι γνησίως αύξουσα στο $(-\infty,0)$ .

-Προσοχή- Οι τύποι που δίνονται από την εκφώνηση (αν διαβάζω καλά) ισχύουν μόνο για x>0. Άρα κανονικά πρέπει να ελέγχουμε κάθε φορά που τους χρησιμοποιούμε αν ισχύει αυτή η προϋπόθεση! Επίσης χρειάζονται περισσότερες εξηγήσεις σε κάθε βήμα (π.χ. αν η f είναι γνησίως αύξουσα και πού κτλ.). Εγώ βαριόμουν να τα γράψω αυτά, αν και ένιωθα τύψεις. :redface:

kachorra · 11-10-15

Εχω μεινει αφωνη! Ερεβος εισαι φανταστικος κ συγκλονιστικος! Μπραβο σου που αφιερωσες τοσο χρονο για να με βοηθησεις! Ευχαριστω κ παλι! ????????????

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος