Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

PiDefiner · 01-04-15

Έχω να βρω αυτό το όριο.

Έχω καταφέρει να το απλοποιήσω σε ln(1+1/x)ημx, αλλά δεν έχω ιδέα πως να το κάνω, δεν έχω λύσει ξανά παρόμοιο. Μήπως με κριτήριο παρεμβολής;

kachorra · 01-04-15

Εχω βρει α=-4 και β =3. Οι λυσεις λενε οτι το οριο στο β ερωτημα κανει 2, μα γιατι????

https://www.dropbox.com/s/z8f7jmr77yd58qs/2015-04-01%2022.29.01.jpg?dl=0

DumeNuke · 02-04-15

Αρχική Δημοσίευση από PiDefiner:
Έχω να βρω αυτό το όριο.

Έχω καταφέρει να το απλοποιήσω σε ln(1+1/x)ημx, αλλά δεν έχω ιδέα πως να το κάνω, δεν έχω λύσει ξανά παρόμοιο. Μήπως με κριτήριο παρεμβολής;

Πρόκειται για μηδενική επί φραγμένη συνάρτηση. Σε εμάς, 1ο εξάμηνο, ο καθηγητής μας το έδωσε σαν θεωρία ότι το όριο αυτό θα κάνει μηδέν. (το οποίο μου φαίνεται και κάπως προφανές, αλλά μετά βλέπεις όρια 1^(+άπειρο) και παθαίνεις....)
Εσύ πρέπει να γράψεις:

-1<=ημχ<=1
-ln(1+1/x)<=f(x)<=ln(1+1x)

Τα αριστερά και δεξία όρια στο άπειρο κάνουν μηδέν, άρα από ΚΠ, το ίδιο και το όριο της f(x).

rebel · 02-04-15

Αρχική Δημοσίευση από kachorra:
Εχω βρει α=-4 και β =3. Οι λυσεις λενε οτι το οριο στο β ερωτημα κανει 2, μα γιατι????

https://www.dropbox.com/s/z8f7jmr77yd58qs/2015-04-01%2022.29.01.jpg?dl=0

Βγάζω ότι το όριο δεν υπάρχει.

PiDefiner · 02-04-15

Αρχική Δημοσίευση από DumeNuke:
Πρόκειται για μηδενική επί φραγμένη συνάρτηση. Σε εμάς, 1ο εξάμηνο, ο καθηγητής μας το έδωσε σαν θεωρία ότι το όριο αυτό θα κάνει μηδέν. (το οποίο μου φαίνεται και κάπως προφανές, αλλά μετά βλέπεις όρια 1^(+άπειρο) και παθαίνεις....)
Εσύ πρέπει να γράψεις:

-1<=ημχ<=1
-ln(1+1/x)<=f(x)<=ln(1+1x)

Τα αριστερά και δεξία όρια στο άπειρο κάνουν μηδέν, άρα από ΚΠ, το ίδιο και το όριο της f(x).

Μας την ανέφερε την μηδενική επί φραγμένη, αλλά μας ξεκαθάρισε πως δεν πρέπει να τη χρησιμοποιούμε σαν δικαιολόγηση (και απορώ γιατί, εφ' όσον "κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή". Μήπως δεν θεωρείται τεκμηρίωση

Έλεγξες από το ολοκλήρωμα μήπως κατέληξα σε λάθος όριο; Ρωτάω για να το ξαναδω αν είναι.
Επίσης, όταν πολ/σιάζω με το ln(1+1/x) πως ξέρω ότι είναι θετικό; Επειδή πάει στο συν άπειρο; Ή το παίρνω με περιπτώσεις και βγαίνει το ίδιο;

eyb0ss · 02-04-15

Αρχική Δημοσίευση από PiDefiner:
Μας την ανέφερε την μηδενική επί φραγμένη, αλλά μας ξεκαθάρισε πως δεν πρέπει να τη χρησιμοποιούμε σαν δικαιολόγηση (και απορώ γιατί, εφ' όσον "κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή". Μήπως δεν θεωρείται τεκμηρίωση

Έλεγξες από το ολοκλήρωμα μήπως κατέληξα σε λάθος όριο; Ρωτάω για να το ξαναδω αν είναι.
Επίσης, όταν πολ/σιάζω με το ln(1+1/x) πως ξέρω ότι είναι θετικό; Επειδή πάει στο συν άπειρο; Ή το παίρνω με περιπτώσεις και βγαίνει το ίδιο;

1) Επειδή δεν είναι ύλη της Γ' Λυκείου οι φραγμένες συναρτήσεις, πάντως αν θες να ξέρεις μια συνάρτηση $f$ είναι φραγμένη σε ένα σύνολο $A$ αν και μόνο αν υπάρχει $k>0$ τέτοιο ώστε $|f(x)|\leq k$ για κάθε $x\in A$ . Πρέπει να το αποδείξεις όμως. Btw, δεν είναι ο ορισμός της φραγμένης αλλά μια βολική πρόταση.

2) Επειδή $x\to +\infty$ διαλέγεις διάστημα της μορφής $(a,+\infty)$ με το $a$ να είναι ό,τι γουστάρεις. Σε αυτήν την περίπτωση βολεύουν τα $a>0$

PiDefiner · 03-04-15

Αρχική Δημοσίευση από mathguy1996:
2) Επειδή $x\to +\infty$ διαλέγεις διάστημα της μορφής $(a,+\infty)$ με το $a$ να είναι ό,τι γουστάρεις. Σε αυτήν την περίπτωση βολεύουν τα $a>0$

Δεν το κατάλαβα :whistle:

Αλλά αν βαριέσαι να απαντήσεις, σε λίγο έχω μάθημα, οπότε...

rebel · 04-04-15

Αρχική Δημοσίευση από mathguy1996:
Μερικές τροποποιήσεις για να έχει περισσότερη πλάκα η άσκηση.
Δίνεται f συνεχής στο $\mathbb{R}$ τέτοια ώστε $f^3(x)+f^2(x)+f(x)=x+3$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$
α) Νδο η f είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ και να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
β) Να λυθεί η εξίσωση $f(x)=0$
γ) Nα υπολογιστεί το όριο $\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}$ .
Η άσκηση είναι λίγο καμμένη (όχι με την έννοια του ΟΕΦΕ) οπότε μην ανησυχείτε αν δεν το λύνετε.

Για να μην ξεχαστεί
α) Για $x_0 \in \mathbb{R}$ τυχόν και $x \neq x_0$ έχουμε
$f^3(x)+f^2(x)+f(x)=x+3$
$f^3(x_0)+f^2(x_0)+f(x_0)=x_0+3$
και με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει
$\left[f(x)-f(x_0)\right]\left[f^2(x)+f(x)f(x_0)+f^2(x_0)\right]+\left[f(x)-f(x_0)\right]\left[f(x)+f(x_0)\right]+f(x)-f(x_0)=x-x_0 \Rightarrow$
$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{1}{f^2(x)+f(x)f(x_0)+f^2(x_0)+f(x)+f(x_0)+1}.$
O παρονομαστής στο δεύτερο μέλος είναι γνήσια θετικός σαν τριώνυμο ως προς $f(x)$ με αρνητική διακρίνουσα. Παίρνοντας όρια στην παραπάνω σχέση, εφ' όσον η $f$ είναι συνεχής στο $x_0$ παίρνουμε
$f'(x_0)=\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{1}{3f^2(x_0)+2f(x_0)+1}.$
Άρα η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με
$f'(x)=\frac{1}{3f^2(x)+2f(x)+1}>0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}.$
β) Για $x=-3$ στην αρχική παρατηρούμε ότι
$f(-3)\left[f^2(-3)+f(-3)+1\right]=0 \Rightarrow f(-3)=0$
οπότε το $-3$ είναι ρίζα της εξίσωσης και μάλιστα μοναδική αφού η $f$ είναι γνησίως αύξουσα.
γ) Κατ' αρχάς για $x$ κοντά στο $+\infty$ είναι
$f(x)\left[f^2(x)+f(x)+1\right]=x+3>0,\,\,(1)$
οπότε $f(x)>0$ . Έτσι
$x+3=f^3(x)+f^2(x)+f(x)<f^3(x)+3f^2(x)+3f(x)+1=\left[f(x)+1\right]^3 \Rightarrow$
$f(x)+1>\sqrt[3]{x+3}\Rightarrow$
$0<\frac{1}{f(x)}<\frac{1}{\sqrt[3]{x+3}-1}.$
Από την τελευταία και το κ.π. έχουμε $\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{f(x)}=0$ και αφού $f(x)>0$ προκύπτει ότι $\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty,\,\,(2)$ .
Τελικά από (1):
$\frac{f(x)}{x}=\left(1+\frac{3}{x}\right)\frac{1}{f^2(x)+f(x)+1} \Rightarrow \lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=0$
λόγω (2).

eyb0ss · 4 Απριλίου 2015

Άψογος ρε στυτ, θα ποστάρω άλλες δυο λύσεις για το γ ερώτημα σε μερικές ώρες.

ΛΥΣΗ 1
για $x>0$ είναι $f(x)>0$ επομένως
$f^2(x)+f(x)=x+3-f^3(x)<x+3 \Rightarrow \frac{f^2(x)}{x^3}+\frac{f(x)}{x^3}<\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^3}$ για
$x>0$ .
Οπότε $0<\frac{f^2(x)}{x^3}+\frac{f(x)}{x^3}<\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^3}$
Από Κ.Π. προκύπτει εύκολα και αναίμακτα ότι $\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{f^2(x)}{x^3}+\frac{f(x)}{x^3}\right)=0$ .
Όμως $\frac{f^3(x)}{x^3}+\frac{f^2(x)}{x^3}+\frac{f(x)}{x^3}=\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^3}$ .
Περνώντας όρια βρίσκουμε
$\lim_{x\to +\infty}\frac{f^3(x)}{x^3}=0 \Leftrightarrow \lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=0$

ΛΥΣΗ 2 (ίσως; ) εκτός ύλης Γ'Λυκείου.
Η $f$ είναι γνησίως μονότονη στο $\mathbb{R}$ Επομένως το όριο $\lim_{x\to +\infty}f(x)$ υπάρχει στο $\mathbb{R}\cup \{-\infty,+\infty\}$ .
Έστω $\lim_{x\to +\infty}f(x)=l\in \mathbb{R}$ . Τότε
$\lim_{x\to +\infty}(x+3)=(l+l^2+l^3)\in \mathbb{R}$ άτοπο.
Έστω $\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$ . Τότε $f(x)<0$ κοντά στο $+\infty$ άτοπο επίσης διότι
$f(x)>0$ για $x>0$ .
Άρα $\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$ .
Με L'Hospital έχουμε:
$\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to +\infty}f'(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{3f^2(x)+2f(x)+1}=0$

Guest 190013 · 06-04-15

Τι κάνω λάθος στην 56.19 και μου βγαινει ρίζα 2 η ακτίνα του κύκλου w? :hmm:

Stavri_ · 06-04-15

Γιατί, πόσο πρέπει να βγάλεις? :confused:

(και μένα ρίζα 2 μου βγαίνει...)

Guest 190013 · 06-04-15

Αρχική Δημοσίευση από Stavri_:
Γιατί, πόσο πρέπει να βγάλεις?
(και μένα ρίζα 2 μου βγαίνει...)

Ο Παπαδάκης λέει ρ=1
Και μετά δεν βγαίνουν και τα υπόλοιπα ερωτήματα αν βάλεις ρίζα 2 (ο Ζ βγαίνει κύκλος)

johnietraf · 06-04-15

Παιδια λεει μια ασκηση
Εστω f 2 φορες παρμη στο (α, β) και f"(x)>0 για καθε xε ( α,β)
Αν υπαρχει ξε(α,β) τετοιο ωστε f(ξ)=fˊ(ξ)
Δειξτε οτι f(x)≥0 για καθε xεR
Mην μου τη λυσετε απλα πειτε μου τα βηματα οποιος θελει

Fedde le Grand · 06-04-15

Αρχική Δημοσίευση από klean:
Τι κάνω λάθος στην 56.19 και μου βγαινει ρίζα 2 η ακτίνα του κύκλου w?

]Σκάλωσα... Όντως γιατί δε βγαίνει 1; Μήπως είναι λάθος η άσκηση; Δοκίμασε να την κάνεις με συμπλήρωση τετραγώνου γιατί εγώ δε θυμάμαι ακριβώς τη μέθοδο!

eyb0ss · 6 Απριλίου 2015

Ο κύριος Γούλφραμ μου λέει άλλα. https://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2+y^2+6=4x-4y. Πατήστε Properties και η ακτίνα βγαίνει $\sqrt{2}$

Guest 190013 · 06-04-15

Προφανώς είναι λάθος η άσκηση

chonx · 07-04-15

παιδιά λίγη βοήθειααα

ultraviolence · 07-04-15

β) Μηπως αν ονομαζες το εσωτερικο του ολοκληρωματος συναρτηση και εδειχνες οτι ειναι γνησιως μονοτονη, άρα θα'ναι και η f(x) άρα η f(x) και 1-1; μπορει να λεω και μαλακιες βεβαια..

chonx · 07-04-15

Έδειξα ότι είναι 1-1. Απλά κόλλησα στο πώς να βρω την αντίστροφη και το σύνολο τιμών

ultraviolence · 07-04-15

μηπως εκει που θετεις f(x)= y και προσπαθουσες να εκφρασεις το y ως αποτελεσμα ενος ολοκληρωματος με ιδια όρια με της f; :hmm:

Δεν ξερω αν γινομαι κατανοητος..

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Guest 190013

Επισκέπτης

Συνημμένα

Τιμώμενο Μέλος

Guest 190013

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Guest 190013

Επισκέπτης

Νεοφερμένος

Συνημμένα

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένος

Τιμώμενο Μέλος