Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Γατόπαρδος. · 28-03-15

Μπορεί να βοηθήσει κάποιος?Έστω και μια υπόδειξη

Αν υπάρχει συνάρτηση f:R-->R για την οποία ισχύει https://prntscr.com/6mg01f για καθε xER να βρείτε συναρτήσεις g,h τέτοιες ώστε να ισχύει gof=h

PiDefiner · 28-03-15

Αρχική Δημοσίευση από blackorgrey:
Έχεις g^2(x)=e^x-x+c.
Θέτοντας χ=0 παίρνεις c=0.Άρα g^2(x)=e^x-x το οποίο είναι πάντα θετικό,μπορείς να το δείξεις εύκολα.Άρα η g^2 δεν μηδενίζεται και συνεπώς ούτε η g.
Μπορεί να χω κάνει κάποιο λαθάκι γιατί τα βλέπω με το μάτι αλλά νομίζω αυτό είναι

Δηλαδή αρκεί να δείξω ότι το δεξί σκέλος δεν μηδενίζεται και να βρω ένα g(xo) για να πω ότι διατηρεί πρόσημο; Απ' όσο θυμάμαι από bolzano που τα πρωτοέκανα, δεν έπρεπε να δείξω ότι η συνάρτηση που έθεσα είναι διάφορη του μηδέν; Γιατί στις ασκήσεις, προκειμένου να μπει ρίζα, είχαμε πάντα το δεξί σκέλος διάφορο του μηδέν.

kachorra · 28-03-15

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Αυτό έχει ενδιαφέρον. Αρκεί να βρεις κατάλληλο εσωτερικό σημείο, ας πούμε $\rho$ , του $[0,2]$ και στην συνέχεια να εφαρμόσεις ΘΜΤ στα επιμέρους διαστήματα $[0,\rho],[\rho,2]$ . Θέλω δηλαδή να βρω $\xi_1\in (0,\rho),\xi_2 \in (\rho,2)$ τέτοια ώστε
$1=f'(\xi_1)f'(\xi_2)=\frac{f(\rho)-f(0)}{\rho-0}\frac{f(2)-f(\rho)}{2-\rho}=\frac{f(\rho)-2}{\rho}\,\,\frac{-f(\rho)}{2-\rho}$
Αρκεί δηλαδή $f(\rho)=\rho$ . Μπορώ να εξασφαλίσω την ύπαρξη ενός τέτοιου $\rho$ ;

Μπορώ να κάνω bolzano Στην g(x)= f(x)-x στο 0,2?

rebel · 28-03-15

Ναι ακριβώς. Παραπάνω έγραψα απλώς την σκέψη/ανάλυση. Όταν το καθαρογράψεις κάνε πρώτα το bolzano στο [0,2] και μετά τα ΘΜΤ στα [0,ρ],[ρ,2].
Κάτι ακόμα. Η παραπάνω λύση εξασφαλίζει ότι $\xi_1 \neq \xi_2$ . Επειδή όμως από την εκφώνηση δεν απαγορεύεται να είναι $\xi_1=\xi_2$ προσωπικά θα το θεωρούσα σωστό ακόμα κι αν κάποιος θεωρούσε $\xi_1=\xi_2=\xi$ όπου $\xi$ είναι το σημείο του επόμενου υποερωτήματος.

Χαλαραα · 29-03-15

Μια βοηθεια εδω!

blackorgrey · 29-03-15

Αρχική Δημοσίευση από PiDefiner:
Δηλαδή αρκεί να δείξω ότι το δεξί σκέλος δεν μηδενίζεται και να βρω ένα g(xo) για να πω ότι διατηρεί πρόσημο; Απ' όσο θυμάμαι από bolzano που τα πρωτοέκανα, δεν έπρεπε να δείξω ότι η συνάρτηση που έθεσα είναι διάφορη του μηδέν; Γιατί στις ασκήσεις, προκειμένου να μπει ρίζα, είχαμε πάντα το δεξί σκέλος διάφορο του μηδέν.

Το δεξιά μέλος είναι θετικό...άρα δε μηδενίζεται,συνεπώς ούτε η g^2 μηδενίζεται άρα ούτε η g μηδενίζεται οπότε αφού είναι συνεχής διατηρεί πρόσημο

PiDefiner · 29-03-15

Αρχική Δημοσίευση από blackorgrey:
Το δεξιά μέλος είναι θετικό...άρα δε μηδενίζεται,συνεπώς ούτε η g^2 μηδενίζεται άρα ούτε η g μηδενίζεται οπότε αφού είναι συνεχής διατηρεί πρόσημο

Λογικό μου φαίνεται. Θα τσεκάρω ξανά και τα παλιά από το Bolzano για να το τεστάρω έτσι όπως λες.

blackorgrey · 29-03-15

Αρχική Δημοσίευση από PiDefiner:
Λογικό μου φαίνεται. Θα τσεκάρω ξανά και τα παλιά από το Bolzano για να το τεστάρω έτσι όπως λες.

Ποιο σημείο δεν σου κολλάει;Μήπως το εξηγήσω καλύτερα.

PiDefiner · 29-03-15

Αρχική Δημοσίευση από blackorgrey:
Ποιο σημείο δεν σου κολλάει;Μήπως το εξηγήσω καλύτερα.

Απλά θυμάμαι (πιθανόν κάνω λάθος) πως όταν κατέληγες σε g²(x)=κάτι , δεν αρκούσε να ξέρεις ότι το "κάτι" είναι διαφορετικό του μηδέν, αλλά έπρεπε να αποδείξεις ότι g(x)<>0 (αυτό που έχεις θέσει ως g), για να μπορείς να βγάλεις το τετράγωνο και να κρατήσεις το ανάλογο πρόσημο. Αν δεν ήξερες ότι g(x)<>0, έβγαζες δύο κλάδους με + και -, με σημείο αλλαγής του τύπου το σημείο που μηδενίζει η g.

Credits στον Dias για το ²

blackorgrey · 29-03-15

Αρχική Δημοσίευση από PiDefiner:
Απλά θυμάμαι (πιθανόν κάνω λάθος) πως όταν κατέληγες σε g²(x)=κάτι , δεν αρκούσε να ξέρεις ότι το "κάτι" είναι διαφορετικό του μηδέν, αλλά έπρεπε να αποδείξεις ότι g(x)<>0 (αυτό που έχεις θέσει ως g), για να μπορείς να βγάλεις το τετράγωνο και να κρατήσεις το ανάλογο πρόσημο. Αν δεν ήξερες ότι g(x)<>0, έβγαζες δύο κλάδους με + και -, με σημείο αλλαγής του τύπου το σημείο που μηδενίζει η g.

Credits στον Dias για το ²

Ναι κοίτα λες έστω ότι η g μηδενίζεται σε κάποιο χo...αφού g(xo)=0 τότε g^2(xo)=0.Οπότε αν η g^2 δε μηδενίζεται δε μηδενίζεται ούτε η g.Άρα αφού είναι συνεχής διατηρεί πρόσημο.

Guest 018946 · 29-03-15

Αρχική Δημοσίευση από Χαλαραα:
Μια βοηθεια εδω!

Δες ότι $\int^{1}_{0} (f(x)-x/2)^2 dx =0$
αν η φ(χ)-χ/2 ειχε ενα σημειο που δεν μηδενιζοταν τοτε το ολ/μα θα ηταν μη μηδενικο αρα φ(χ)=χ/2 .

Γατόπαρδος. · 29-03-15

ισχύει f(x)+f(3x)=f(3x+x) ??

chonx · 29-03-15

παιδια αν μπορειτε να με βοηθησετε στο Δ ερωτημα δεν μπορω να βρω την τιμη της h

DumeNuke · 29-03-15

Αρχική Δημοσίευση από Γατόπαρδος.:
ισχύει f(x)+f(3x)=f(3x+x) ??

Μόνο για γραμμικές συναρτήσεις [f(x)=ax, a οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός]

πχ f(x)=x² και g(x)=lnx

f(x)+f(3x)=x²+9χ²=10χ²
f(4x)=16x² =/= 10χ²

g(x)+g(3x)=lnx+ln3x=2lnx+ln3
g(4x)=ln4x=lnx+ln4 =/= 2lnx+ln3

chonx · 29-03-15

παιδια μπορέσατε το Δ ερωτημα?? ας μου απαντησει καποιος παρακαλω

rebel · 29 Μαρτίου 2015

δ) Είναι
$G\left( \frac{1}{x} \right)=\int_{1/e}^{1/x} \frac{f(t)}{t^2} dt \mathop{=}_{du=-\frac{1}{t^2}dt}^{u=\frac{1}{t}}-\int_e^x f\left(\frac{1}{u}\right)du \stackrel{\alpha \,\, i)}{=}\int_x^e f(u) du$
άρα για $x \in \left(0, \frac{\pi}{2} \right)$ :
$g(x)=F\left( \epsilon \phi x \right)+G\left( \sigma \phi x \right)=F\left( \epsilon \phi x \right)+G\left( \frac{1}{\epsilon \phi x} \right)=\int_{1/e}^{\epsilon \phi x} f(t) dt+\int_{\epsilon \phi x}^e f(t) dt=\int_{1/e}^e f(t) dt=c$
σταθερό και $g(0)=g\left(\frac{\pi}{2}\right)=c$ λόγω συνέχειας.

johnietraf · 29-03-15

Αν w= z + i / 1 + iz οπου z#0
Ndo
| w - i| / | w + i |= |z|

chonx · 29-03-15

προφανως για g(x) εννοεις την h(x).
ωραια μεχρι εδω το εκανα και εγω αλλα το c πως το βρίσκεις μετα?

rebel · 30-03-15

Ναι την h εννοώ. Μετά είναι
$\int_{1/e}^e f(x)dx=\int_{1/e}^e \frac{x}{1+x^2} dx =\frac{1}{2} \int_{1/e}^e \frac{2x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2}\int_{1/e}^e \frac{\left(1+x^2\right)'}{1+x^2} dx =\left[\frac{1}{2} \ln \left(1+x^2\right) \right]_{1/e}^e$

chonx · 31-03-15

μια δύσκολη άσκηση!! Αν μπορείτε να με βοηθήσετε στο γ και δ ερώτημα! ευχαριστώ

Απο εκει που λεει θεωρουμε... ειναι αλλη ασκηση

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Συνημμένα

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένος

Συνημμένα

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Συνημμένα