Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

methexys · 4 Ιανουαρίου 2014

θεώρησε την g(x)=f(x)-cx , χ ανήκει [ρ1,ρ2] και κάνε bolzano

rebel · 4 Ιανουαρίου 2014

Αρχική Δημοσίευση από Gabriel97:
2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-1,0) , Β (2,-3) και Γ(0,1)

Να βρείτε το διάνυσμα ν για το οποίο ισχύει:

2ν=ΑΒ-|ν|*ΑΓ (ν,ΑΒ,ΑΓ διανύσματα )

$\vec{v}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{|v|}{2}\overrightarrow{A\Gamma} =\frac{1}{2}(3,-3)-\frac{|\vec{v}|}{2}(1,1)=\frac{1}{2} \left(3-|\vec{v}|,-3-|\vec{v}|\right)$
και παίρνοντας μέτρα στο τετράγωνο και στα δύο μέλη:
$|\vec{v}|^2=\frac{1}{4} \left[\left(3-|\vec{v}|\right)^2+\left(-3-|\vec{v}|\right)^2\right] \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow 2|\vec{v}|^2=18 \Leftrightarrow |\vec{v}|=3$
άρα
$\vec{v}=\frac{1}{2} \left(3-|\vec{v}|,-3-|\vec{v}|\right)=\left(0,-3\right)$

Μάγδα Μάγδα · 04-01-14

Δίνεται συνεχής συνάρτηση f:R->R για την οποία ισχύει :
lim x->1 [f(x)+2]/(x-1) = 5 και η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο Μ(0,3)

α)να βρείτε την τιμή f(1)
β) να αποδείξετε οτι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) kai g(x)=x^2-1 έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με τετμημένη xe(0,1)
γ)να υπολογίσετε το όριο lim x->1 [(f(x) + x^2 +x)/(x^2-1)]

το πρόβλημα μου είναι κυρίως στο τελευταίο ερώτημα. έχω βρει απαντήσεις α) -2 και β) με Bolzano βγαίνει. ωστόσο στο γ) μήπως απομονώνουμε τον παράγοντα που μηδενίζει το κλάσμα (δηλαδή το x-1), διακρίνουμε περιπτώσεις και στο τέλος βρίσκουμε οτι δεν υπάρχει το όριο??

rebel · 04-01-14

Αν
$g(x)=\frac{f(x)+2}{x-1}$
τότε για χ κοντά στο 1:
$\frac{f(x)+x^2+x}{x^2-1}=\frac{g(x)(x-1)+x^2+x-2}{x^2-1}=\frac{g(x)(x-1)+(x-1)(x+2)}{x^2-1}$
κλπ

Aristeidis · 5 Μαρτίου 2014

Κανείς για βοήθεια ;; Η πρώτη :

Η δεύτερη :

Και η Τρίτη :

vimaproto · 05-01-14

Αρχική Δημοσίευση από Aristeidis:
Κανείς για βοήθεια ;; Η πρώτη :

Η δεύτερη :

Και η Τρίτη :

Στην πρώτη Το όριο του κλάσματος , όταν ο χ τείνει στο μηδέν από αριστερά είναι 1/χ ---> -άπειρο και e^(1/x) ---> 0
και το κλάσμα (0+2)/(0+1)=2
Οταν το χ τείνει στο μηδέν από δεξιά δίνει 1/χ ---> +άπειρο και e^(1/χ) ---> +άπειρο. Το κλάσμα γίνεται άπειρο προς άπειρο και εφαρμόζω Hospital . Η παραγωγίζω αριθμητή και παρονομαστή και ο καθένας γίνεται (-e^(1/χ)/χ²) και το κλάσμα ίσο με 1.
Αρα δεν ισχύει η συνθήκη συνέχειας της συνάρτησης και άρα δεν υπάρχει α

Guest 018946 · 05-01-14

Αρχική Δημοσίευση από vimaproto:
Στην πρώτη Το όριο του κλάσματος , όταν ο χ τείνει στο μηδέν από αριστερά είναι 1/χ ---> -άπειρο και e^(1/x) ---> 0
και το κλάσμα (0+2)/(0+1)=2
Οταν το χ τείνει στο μηδέν από δεξιά δίνει 1/χ ---> +άπειρο και e^(1/χ) ---> +άπειρο. Το κλάσμα γίνεται άπειρο προς άπειρο και εφαρμόζω Hospital . Η παραγωγίζω αριθμητή και παρονομαστή και ο καθένας γίνεται (-e^(1/χ)/χ²) και το κλάσμα ίσο με 1.
Αρα δεν ισχύει η συνθήκη συνέχειας της συνάρτησης και άρα δεν υπάρχει α

Ρε τρελαμένε τι έχει σπουδάσει ;

rebel · 05-01-14

Αρχική Δημοσίευση από Aristeidis:
Η δεύτερη :

i) Είναι
$z^2+\frac{1}{z} \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z^2+\frac{1}{z}=\bar{z}^2+\frac{1}{\bar{z}} \Leftrightarrow z^2-\bar{z}^2-\frac{z-\bar{z}}{z \bar{z}}=0 \Leftrightarrow \\ z \bar{z} \left(z^2-\bar{z}^2\right)-\left(z-\bar{z}\right)=0 \Leftrightarrow \left(z-\bar{z}\right)\left(z \bar{z}\left(z+\bar{z}\right)-1\right)=0. \,\,(1)$
Έστω $z=x+i ,\,\,x>0$ . Τότε
$(1) \Leftrightarrow 2i \left( \left(x^2+1\right)2x-1\right)=0 \Leftrightarrow 2x^3+2x-1=0$
H συνάρτηση $f(x)=2x^3+2x-1$ είναι γνησίως αύξουσα (εύκολο ) και επιπλέον $f(0)f(1)=-3<0$ . Άρα από Βοlzano η $f(x)$ έχει τουλάχιστον μία ρίζα $x_0 \in (0,1)$ η οποία λόγω μονοτονίας είναι και μοναδική. Έτσι δείξαμε ότι ο μιγαδικός $z=x_0+i$ είναι ο μοναδικός με τις ιδιότητες της εκφώνησης.

ii)
$w=\frac{i+z}{1-iz}=\frac{i+z}{-i^2-iz}=\frac{i+z}{-i(i+z)}=\frac{1}{-i}=\frac{-i^2}{-i}=i$
οπότε
$w^\nu+w^{\nu+1}+w^{\nu+2}+w^{\nu+3}=w^\nu \left(1+w+w^2+w^3\right)=i^\nu\left(1+i-1-i)=0$
και αφού
$w^1=i ,\,\,w^2=-1<0$
ο ελάχιστος φυσικός είναι ο $\nu=2$

aris-bas · 06-01-14

1)α)να βρείτε τα ακρότατα της $f(x)=(1-x)e^{x}$ ,
β)να δείξετε ότι $(1-x)^{\frac{1}{x}}\leq \frac{1}{e}$ για κάθε $x\in (0,1)$

2)δίνεται η συνάρτηση $\alpha ^{x}-x$ με $0<\alpha < 1$
i)να μελετήσετε την $f$ ως προς τη μονοτονία,
ii)να λύσετε την ανίσωση : $\alpha ^{x^{2}+4}-\alpha ^{5x-2}<x^{2}-5x+6$

3)α)να βρεθει το συνολο τιμων της συναρτησης $g\left( x \right) =\frac { 2x }{ { x }^{ 2 }+4 }$
β)να βρεθει η μικροτερη τιμη του λ ωστε η συναρτηση $f\left( x \right) =ln({ x }^{ 2 }+4)-\lambda x$ να ειναι γν.φθινουσα στο R

4) $f\left( x \right) =x-\frac { lnx }{ x }$
α)να μελετηθει ως προς τη μονοτονια και τα ακροτατα
β)να αποδειχθει οτι ${ x }^{ \frac { 1 }{ x } }\le { e }^{ x-1 }\quad x>0$

5)να αποδειχθει οτι η εξισωση σφχ=χ εχειακριβως μια ριζα στο (0,π/2)

στην 1η και 4η ασκηση εχω βρει τα ακροτατα κ τη μονοτονια...αλλα δεν ξερω πως να λυσω τις ανισωσεις
στην 3η ασκηση βρηκα ... οτι f'(x)=g(x)-λ
στην 5η ασκηση σκεφτηκα να κανω rolle στην f(x)=ημχ+συνχ (τη βρηκα απο τη δοθεισα εξισωση..).....ειναι σωστο???
ευχαριστω εκ των προτερων και ζητω συγνωμη για το πληθος των ασκησεων... :redface:

Filippos14 · 6 Ιανουαρίου 2014

Αρχική Δημοσίευση από aris-bas:
1)α)να βρείτε τα ακρότατα της $f(x)=(1-x)e^{x}$ ,
β)να δείξετε ότι $(1-x)^{\frac{1}{x}}\leq \frac{1}{e}$ για κάθε $x\in (0,1)$

2)δίνεται η συνάρτηση $\alpha ^{x}-x$ με $0<\alpha < 1$
i)να μελετήσετε την $f$ ως προς τη μονοτονία,
ii)να λύσετε την ανίσωση : $\alpha ^{x^{2}+4}-\alpha ^{5x-2}<x^{2}-5x+6$

3)α)να βρεθει το συνολο τιμων της συναρτησης $g\left( x \right) =\frac { 2x }{ { x }^{ 2 }+4 }$
β)να βρεθει η μικροτερη τιμη του λ ωστε η συναρτηση $f\left( x \right) =ln({ x }^{ 2 }+4)-\lambda x$ να ειναι γν.φθινουσα στο R

4) $f\left( x \right) =x-\frac { lnx }{ x }$
α)να μελετηθει ως προς τη μονοτονια και τα ακροτατα
β)να αποδειχθει οτι ${ x }^{ \frac { 1 }{ x } }\le { e }^{ x-1 }\quad x>0$

5)να αποδειχθει οτι η εξισωση σφχ=χ εχειακριβως μια ριζα στο (0,π/2)

στην 1η και 4η ασκηση εχω βρει τα ακροτατα κ τη μονοτονια...αλλα δεν ξερω πως να λυσω τις ανισωσεις
στην 3η ασκηση βρηκα ... οτι f'(x)=g(x)-λ
στην 5η ασκηση σκεφτηκα να κανω rolle στην f(x)=ημχ+συνχ (τη βρηκα απο τη δοθεισα εξισωση..).....ειναι σωστο???
ευχαριστω εκ των προτερων και ζητω συγνωμη για το πληθος των ασκησεων...

Βρηκα μια λυση αλλα ισως υπαρχει και αλλοσ τροπος.Προτιμω να σε καθοδηγησω στην λυση και να μην την γραψω απευθειας.(1η ασκηση)
1)Κανε ερμηνεια του ολικου μεγιστου.Διερεσε με e,περνα ln.Καταλήγεις σε αυτο ln(1-x)+x <= 0(μικροτερο-ισο).
2)Προσπαθησε απο την σχεση που θεσ να αποδηξεισ να φτάσεις στην παραπάνω ισοτητα που ισχυει.Αν τα καταφερεις gg.
hint: Περνα παλι ln
Δοκιμασε τα ιδια για την 4η.
στην 5η μονοτονια και συνολο τιμων.

aris-bas · 6 Ιανουαρίου 2014

Αρχική Δημοσίευση από Filippos14:
Βρηκα μια λυση αλλα ισως υπαρχει και αλλοσ τροπος.Προτιμω να σε καθοδηγησω στην λυση και να μην την γραψω απευθειας.(1η ασκηση)
1)Κανε ερμηνεια του ολικου μεγιστου.Διερεσε με e,περνα ln.Καταλήγεις σε αυτο ln(1-x)+x <= 0(μικροτερο-ισο).
2)Προσπαθησε απο την σχεση που θεσ να αποδηξεισ να φτάσεις στην παραπάνω ισοτητα που ισχυει.Αν τα καταφερεις gg.
hint: Περνα παλι ln
Δοκιμασε τα ιδια για την 4η.
στην 5η μονοτονια και συνολο τιμων.

Δυστυχώς η 1η,2η,3η και η 4η εξακολουθούν να μην μ βγαίνουν μετά από τόσες ώρες προσπάθειας......

Filippos14 · 06-01-14

Αρχική Δημοσίευση από aris-bas:
Δυστυχώς η 1η,2η,3η και η 4η εξακολουθούν να μην μ βγαίνουν μετά από τόσες ώρες προσπάθειας......

Η f παρουσιαζει ολικο μεγιστο στο 0.Αρα:
f(x)<=f(0) <=>
(1-x)*(e^x)<=1 διερεσε με e αυτη τη σχεση >
(1-x)*[e^(x-1)]<= 1/e εδω περασε λογαριθμο και στα 2 μελη και εφαρμοσε τισ ιδιοτιτεσ λογαριθμων για το πηλικο και το γινομενο και θα φτασεις εδω ln(1-x)+x <=0 .
Κανε αυτο πρωτα και μολισ το καταφερεις γραυτο εδω!

aris-bas · 6 Ιανουαρίου 2014

Αρχική Δημοσίευση από Filippos14:
Η f παρουσιαζει ολικο μεγιστο στο 0.Αρα:
f(x)<=f(0) <=>
(1-x)*(e^x)<=1 διερεσε με e αυτη τη σχεση >
(1-x)*[e^(x-1)]<= 1/e εδω περασε λογαριθμο και στα 2 μελη και εφαρμοσε τισ ιδιοτιτεσ λογαριθμων για το πηλικο και το γινομενο και θα φτασεις εδω ln(1-x)+x <=0 .
Κανε αυτο πρωτα και μολισ το καταφερεις γραυτο εδω!

Οκ τ έφτασα μέχρι εκεί που μου πες..μετά να πολλαπλασιάσω με 1/χ??

Filippos14 · 06-01-14

Αρχική Δημοσίευση από aris-bas:
Οκ τ έφτασα μέχρι εκεί που μου πες..μετά να πολλαπλασιάσω με 1/χ??

Αρα γνωριζεισ οτι ln(1-x)+x<=0.
Τωρα στην σχεση που σου λεει να δειξεις περνα λογαριθμο,εφαρμοσε τισ ιδιοτητεσ παλι,πολ/σε με το χ και φτασε στο ln(1-x)+x<=0 το οποιο ισχυει !

aris-bas · 06-01-14

Αρχική Δημοσίευση από Filippos14:
Αρα γνωριζεισ οτι ln(1-x)+x<=0.
Τωρα στην σχεση που σου λεει να δειξεις περνα λογαριθμο,εφαρμοσε τισ ιδιοτητεσ παλι,πολ/σε με το χ και φτασε στο ln(1-x)+x<=0 το οποιο ισχυει !

Σ ευχαριστώ πάρα πολύ..με βοήθησες αρκετά

Filippos14 · 07-01-14

Αρχική Δημοσίευση από aris-bas:
Σ ευχαριστώ πάρα πολύ..με βοήθησες αρκετά

Xερομαι που τα καταφερες ! Μπραβο! :clapup:

και η 4η παρομοια φενεται,δοκιμασε την!

Aristeidis · 5 Μαρτίου 2014

Έχω κολλήσει στο δεύτερο ερώτημα..

methexys · 7 Ιανουαρίου 2014

Δεν είμαι σίγουρη, αλλά αν κάνεις σύνολο τιμών, βλέπεις ότι η f ξεκινά από το -οο και φτάνει ως το +οο, και αφού είναι αύξουσα, θα τέμνει μια φορά τον άξονα χ'χ,, άρα θα έχει μια ακριβώς ρίζα.

panabarbes · 07-01-14

Αρχική Δημοσίευση από Aristeidis:
Έχω κολλήσει στο δεύτερο ερώτημα..

Αρχική Δημοσίευση από methexys:
Δεν είμαι σίγουρη, αλλά αν κάνεις σύνολο τιμών, βλέπεις ότι η f ξεκινά από το -οο και φτάνει ως το +οο, και αφού είναι αύξουσα, θα τέμνει μια φορά τον άξονα χ'χ,, άρα θα έχει μια ακριβώς ρίζα.

Ναι ουσιαστικά αυτό είναι. Λίγο πιο ευπαρουσίαστο, είναι να γράψεις αφού βρεις το σύνολο τιμών της f ότι 0 ε (-00,+00) άρα η εξίσωση f(x)=0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο R. Όμως η f είναι γν. μονότονη άρα και '1-1'. Άρα η ρίζα αυτή είναι μοναδική

Marina-lalala · 08-01-14

Πως λυνεται,

Ευχαριστώ

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Τιμώμενο Μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος