Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

aris-bas · 31-12-13

Αρχική Δημοσίευση από methexys:
α) Ουσιαστικά ζητάει νδο υπάρχει χ1 ανήκει στο (α,β) ώστε f'(x1)=1
με ΘΜΤ στο (α,β) (επειδή είναι συνεχής και παρ/μη) έχουμε ότι υπάρχει ένα χ1 που ανήκει στο (α,β) ώστε f'(x1)=[f(β)-f(α)]/β-α=(β-α)/(β-α)=1 άρα ισχύει

σχετικά με το β ερώτημα,στο τέλος λέει αβ=4?
edit: τώρα είδα ότι υπάρχει και κώδικας latex,σόρυ!

στο τελος λεει αβ>0 ...συνγωμη για την κακη αναλυση.. :redface:

Demlogic · 2 Ιανουαρίου 2014

Αρχική Δημοσίευση από aris-bas:
View attachment 55701

View attachment 55702

οποιος μπορει ας βοηθησει ευχαριστω εκ των προτερων!!!!

η δευτερή είναι πολύ εύκολη.

στο α απλά αναπτύσσεις την σχέση με τους μιγαδικούς που σου δίνει στο Α μέλος ( με την ιδιότητα |z|²=zz', με z' τον συζηγή)
και καταλήγεις στο (z1/z2)' = z1/z2

στο β αφου γνωρίζεις οτι z1/z2 ER , θα είναι Im(z1/z2)=0, όπου με λίγες πράξεις βρίσκεις το φανταστικό μέλος f(α)β-αf(β) και το μηδενίζεις

-------------
τωρα για την πρώτη άσκηση το τελευταιο ερώτημα, έχω

αβ>0 αρα α>0 β>0 ή β<0 α<0 με α<β λόγω έννοια διαστήματος ( βλέπε (α,β) )

μια τυχαια εφαπτομένη στο χο εχει τη μορφη y = f'(xo) x - f'(xo) xo + f(xo)
και για να διερχεται αυτη απο την Α.Α. πρεπει f(xo) - f'(xo)xo=0 -> f'(xo)xo - f(xo)=0

αν χο≠0 τότε έχω ( f'(xo) xo - f(xo) xo' )/xo² = 0 κατι που σημαινει οτι (f(xo)/xo)' = 0

ειτε β>α>0 είτε α<β<0, πληρούνται οι προϋποθέσεις του Θ. Rolle για την
f(x)/x στο (α,β)

αφου f(a)/a = a/a = 1 = b/b = f(b)/b

άρα υπάρχει xo τέτοιο ώστε (f(xo)/xo)' = 0 -> μπλα μπλα

Υ.Γ. θεώρησα χωρίς πρόβλημα οτι xo≠0 απο την στιγμή που στο διάστημα [α,β] δεν περιλαμβάνεται το 0

Μάγδα Μάγδα · 2 Ιανουαρίου 2014

Δίνεται η συνάρτηση f:R->R για την οποία ισχύει : 6x-x^2<= f(x)<= x^2+6x , gia kathe xeR
a) να βρείτε το lim {x->0} f(x)
b) να αποδείξετε ότι το lim {x->0} f(x)/ (ημx)^2 δεν υπάρχει
c) να βρείτε το lim{x->0} (x*f(x) - ημ3x)/ [(x^2 - x +4)^1/2 -2]

Aristeidis · 5 Μαρτίου 2014

Η μία

rebel · 02-01-14

Αρχική Δημοσίευση από Μάγδα Μάγδα:
Δίνεται η συνάρτηση f:R->R για την οποία ισχύει : 6x-x^2<= f(x)<= x^2+6x , gia kathe xeR
a) να βρείτε το lim {x->0} f(x)
b) να αποδείξετε ότι το lim {x->0} f(x)/ (ημx)^2 δεν υπάρχει
c) να βρείτε το lim{x->0} (x*f(x) - ημ3x)/ [(x^2 - x +4)^1/2 -2]

α)
$\lim_{x \to 0}f(x)=0$ (άμεσο από κριτήριο παρεμβολής)

β)
$\bullet$ Για $x>0$ και κοντά στο $0$ είναι:
$0< \frac{1}{f(x)} \leq \frac{1}{6x-x^2} \Rightarrow 0< \frac{\left(\eta \mu x\right)^2}{f(x)} \leq \frac{\left(\eta \mu x\right)^2}{6x-x^2}$
με
$\lim_{x \to 0^+}\frac{\left(\eta \mu x\right)^2}{6x-x^2}=\lim_{x \to 0^+}\frac{\frac{\left(\eta \mu x\right)^2}{x^2}}{\frac{6}{x}-1}=\frac{1}{+\infty-1}=0$
άρα από κριτήριο παρεμβολής
$\lim_{x \to 0^+}\frac{\left(\eta \mu x\right)^2}{f(x)}=0$ και αφού $\frac{\left(\eta \mu x\right)^2}{f(x)}>0$ για $x>0$ και κοντά στο $0$ , έχουμε $\lim_{x \to 0^+}{\frac{f(x)}{\left(\eta \mu x\right)^2}=+\infty.$
$\bullet$ Ανάλογα για $x<0$ και κοντά στο $0$ είναι:
$\frac{1}{6x+x^2} \leq \frac{1}{f(x)} <0 \Rightarrow \frac{\left(\eta \mu x\right)^2}{6x+x^2} \leq \frac{\left(\eta \mu x\right)^2}{f(x)} <0$
οπότε πάλι με την ίδια διαδικασία βρίσκουμε $\lim_{x \to 0^-}{\frac{f(x)}{\left(\eta \mu x\right)^2}=-\infty$ οπότε το όριο δεν υπάρχει αφού τα πλευρικά όρια δεν συμπίπτουν.

γ)
$g(x)=\frac{xf(x)- \eta \mu (3x)}{\sqrt{x^2-x+4}-2}=\frac{\left(xf(x)- \eta \mu (3x)\right)\left(\sqrt{x^2-x+4}+2\right)}{x^2-x+4-4}=\frac{\left(f(x)-3\frac{\eta \mu (3x)}{3x}\right)\left(\sqrt{x^2-x+4}+2\right)}{x-1}$
οπότε
$\lim_{x \to 0}g(x)=12$

Aristeidis · 5 Μαρτίου 2014

Και η άλλη. Ευχαριστώ εκ των προτέρων!

methexys · 3 Ιανουαρίου 2014

για το τρίτο θέμα

a) μπορείς να το κάνεις με πράξεις f(x1)=f(x2)....x1=x2 ή να δοκιμάσεις με μονοτονία, ώστε να βρεις αν η f είναι γν αυξουσα η φθινουσα
f-1(x)=0 => f(f-1(x))=f(0) => x=f(0) => x=1

b) πρέπει να βρεις το σύνολο τιμών

γ) (0,5)^χ-χ^3=1 => f(x)=1 προφανής ρίζα το 0 και επειδή η f είναι φθίνουσα θα είναι και μοναδική ρίζα

ελπίζω να καταλαβαίνεις τι γραφω και να μην έχω γράψει καμιά κοτσάνα, διαβάζω πολλή φυσική τις τελευταίες μέρες και είμαι λίγο εκτός κλίματος

Aristeidis · 02-01-14

Απόλυτα. Ευχαριστώ παρά πολύ..!!!

rebel · 02-01-14

Αρχική Δημοσίευση από Aristeidis:
Και η άλλη. Ευχαριστώ εκ των προτέρων!

Το πρώτο ερώτημα είναι απλές πράξεις:
$|z-i|<|z+i| \Leftrightarrow |z-i|^2<|z+i|^2$
κλπ. Για το δεύτερο ερώτημα παρατήρησε ότι $Im(w)=-2f(a)f(b)$ . Χρησιμοποιώντας τώρα το πρώτο ερώτημα κι ένα γνωστό θεώρημα ύπαρξης ρίζας σε διάστημα για συνεχείς συναρτήσεις παίρνεις το ζητούμενο.

Aristeidis · 3 Ιανουαρίου 2014

Ποιο θεώρημα εννοείς ;; Αν κατάλαβα καλά το Bolzano!! Χίλια Ευχαριστώ πάντως!!!

rebel · 03-01-14

Το θεώρημα Bolzano.

meletis96 · 03-01-14

Αν η f οριζεται στο ( 0, +οο) με f(x/e)≤lnx≤f(x)-1 να βρεθει
ο τυπος της f και να δειχθεί ότι η εξισωση f(χ)=0 εχει μοναδικη ρίζα στο (ο ,+οο). Mπορει κάποιος να με βοηθησει? ευχαριστω

Gabriel97 · 03-01-14

1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α ( -1,2) , ορθόκεντρο Η(3,0) και βαρύκεντρο θ(1,4). Να βρείτε :

α. Το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ
β. Την εξίσωση της πλευράς ΒΓ
2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α ( 2,1 ) και 3χ+Ψ-11=0 , χ-ψ+3=0 είναι οι εξισώσεις δύο υψών του.

α. Να βρεθεί το ορθόκεντρο Η
β. Να βρεθουν οι κοριφές Β,Γ
γ.Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του .
δ. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου.
3. Για διακεκριμένα σημεία Α,Β,Γ ισχύει 4ΟΑ+ΓΑ=3ΟΒ+ΟΓ ( ΟΑ,ΓΑ,ΟΒ,ΟΔ διανύσματα )

α. Να δείξετε ότι τα σημεία Α,Β,Γ ανήκουν στην ίδια ευθεία
Β. Να βρείτε τη σχετική θέση των Α,Β,Γ πάνω στην ε
γ. Αν Μ μέσο του ΑΓ να βρείτε την τιμή του Χ, ώστε να ισχύει ΑΜ ( διάνυσμα ) = χ * ΑΒ ( διάνυσμα ) και το Μ να είναι μέσο του ΑΓ
4.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-1,2) , Β(7,0) ΚΑΙ Γ (1,4) . Αν Δ το μέσο διαμέσου ΑΜ και για το σημείο Ε ισχύει 2ΑΕ( διάνυσμα ) = ΕΓ (διάνυσμα )

α. Να βρείτε τα σημεία Δ, Ε
Β. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Β,Δ,Ε είναι συνευθειακά

παρακαώ αν μπορείτε να έχετε απαντήσει μέχρι και τις 05/01/2014
Τα έχω μπερδέψει τελείως

methexys · 03-01-14

@meletis96

f(x/e) <= lnx <= f(x)-1

f(x/e) <= lnx
θέτω x/e=ψ>0 άρα f(ψ)<=ln(eψ) => f(x)<= lne + lnx => f(x)<= 1+lnx 1η σχεση)

και τωρα παιρνεις το αλλο μελος
lnx <= f(x) -1 => lnx+1 <= f(x) 2η σχεση)

απο 1 και 2, συμφωνα με την αντισυμμετρικη ιδιοτητα, f(x)=lnx + 1

f(x)=0 => lnx=-1 => e^{-1}=x
f'(x)= 1/x >0 επειδή x ανήκει στο 0,+οο άρα f γν. αύξουσα άρα η ρίζα που βρήκαμε είναι μοναδική

rebel · 03-01-14

Αρχική Δημοσίευση από Gabriel97:
1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α ( -1,2) , ορθόκεντρο Η(3,0) και βαρύκεντρο θ(1,4). Να βρείτε :

α. Το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ
β. Την εξίσωση της πλευράς ΒΓ
2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α ( 2,1 ) και 3χ+Ψ-11=0 , χ-ψ+3=0 είναι οι εξισώσεις δύο υψών του.

α. Να βρεθεί το ορθόκεντρο Η
β. Να βρεθουν οι κοριφές Β,Γ
γ.Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του .
δ. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου.
3. Για διακεκριμένα σημεία Α,Β,Γ ισχύει 4ΟΑ+ΓΑ=3ΟΒ+ΟΓ ( ΟΑ,ΓΑ,ΟΒ,ΟΔ διανύσματα )

α. Να δείξετε ότι τα σημεία Α,Β,Γ ανήκουν στην ίδια ευθεία
Β. Να βρείτε τη σχετική θέση των Α,Β,Γ πάνω στην ε
γ. Αν Μ μέσο του ΑΓ να βρείτε την τιμή του Χ, ώστε να ισχύει ΑΜ ( διάνυσμα ) = χ * ΑΒ ( διάνυσμα ) και το Μ να είναι μέσο του ΑΓ
4.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-1,2) , Β(7,0) ΚΑΙ Γ (1,4) . Αν Δ το μέσο διαμέσου ΑΜ και για το σημείο Ε ισχύει 2ΑΕ( διάνυσμα ) = ΕΓ (διάνυσμα )

α. Να βρείτε τα σημεία Δ, Ε
Β. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Β,Δ,Ε είναι συνευθειακά

παρακαώ αν μπορείτε να έχετε απαντήσει μέχρι και τις 05/01/2014
Τα έχω μπερδέψει τελείως

1.
α) Αν $M(x,y)$ το μέσο της ΒΓ τότε λόγω της γνωστής ιδιότητας του βαρυκέντρου, ισχύει $\overrightarrow{A\Theta}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM} \Leftrightarrow \left(1-(-1),4-2\right)=\frac{2}{3} \left(x-(-1),y-2\right)$
και εξισώνοντας τις συντεταγμένες, βρίσκεις τα $x,y$
β) Η ευθεία ΒΓ είναι κάθετη στο ύψος ΑΗ οπότε ξέρεις τον συντελεστή διεύθυνσης της ΒΓ. Επιπλέον ξέρεις και ένα σημείο της ΒΓ, το Μ από το προηγούμενο ερώτημα. Με βάση αυτά μπορείς να βρεις την εξίσωση της ΒΓ.

2.
Κατ' αρχάς οι συντεταγμένες του Α δεν επαληθεύουν καμία από τις εξισώσεις των υψών. Άρα οι εξισώσεις αυτές είναι των υψών που διέρχονται από τα σημεία Β και Γ. Έστω Ε το σημείο που το ύψος από το Γ τέμνει την ΑΒ και Δ το σημείο που το ύψος από το Β τέμνει την ΑΓ. Ας θεωρήσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι η εξίσωση της ΓΕ ειναι η $3x+y-11=0$ και ότι η εξίσωση της ΒΔ είναι η $x-y+3=0$ .
α) Από την λύση του συστήματος των εξισώσεων των δύο υψών βρίσκεις τις συντεταγμένες του Η.
β) Η ΑΒ είναι κάθετη στην ΓΕ άρα ξέρεις τον συντελεστή διεύθυνσής της. Επιπλέον ξέρεις τις συντεταγμένες του Α οπότε μπορείς να βρεις την εξίσωση της ΑΒ. Αντίστοιχα η ΑΓ είναι κάθετη στην ΒΔ άρα ξέρεις τον συντελεστή διεύθυνσής της. Επιπλέον ξέρεις τις συντεταγμένες του Α οπότε μπορείς να βρεις την εξίσωση της ΑΓ.
Από την λύση του συστήματος των ΑΒ και ΒΔ βρίσκεις το Β και από την λύση του συστήματος των ΑΓ και ΕΓ βρίσκεις το Γ.
γ) Έχεις ήδη βρει τις δύο πλευρές στο ερώτημα β) και μένει μόνο η εξίσωση της ΒΓ η οποία είναι εύκολη αφού ξέρεις τα Β και Γ.
δ) Άμεση εφαρμογή του τύπου $E=1/2 \left|\det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A\Gamma}\right)\right|$

3.
α)
$4\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{\Gamma A}=3\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{O\Gamma} \Rightarrow \left( 3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA} \right)+ \left( \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{O\Gamma} \right)=3\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{O\Gamma} \Rightarrow 2\left( \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{O\Gamma} \right)= 3\left( \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow{\Gamma A}=3\overrightarrow{AB} \Rightarrow \overrightarrow{AB} =-\frac{2}{3} \overrightarrow{ A \Gamma}.$
Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι τα Α,Β,Γ είναι συνευθειακά.
β) Επειδή τα $\overrightarrow{AB}$ και $\overrightarrow{ A \Gamma}$ είναι αντίρροπα, συμπεραίνουμε ότι το Α βρίσκεται μεταξύ των Β και Γ.
γ) Είναι $\overrightarrow{AM}=x \overrightarrow{AB}$ και $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A\Gamma}$ οπότε $x \overrightarrow{AB}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A\Gamma} \Rightarrow \overrightarrow{A\Gamma} = 2x \overrightarrow{AB} \,\,(1)$ ,
όμως από το ερώτημα α) βρήκαμε $\overrightarrow{AB} =-\frac{2}{3} \overrightarrow{ A \Gamma} \Rightarrow \overrightarrow{ A \Gamma}= -\frac{3}{2} \overrightarrow{AB} \,\,(2)$ . Από (1) και (2) είναι
$2x \overrightarrow{AB} = -\frac{3}{2} \overrightarrow{AB} \Rightarrow \left(2x+\frac{3}{2}\right)\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$
Και υποθέτωντας ότι τα Α και Β δεν συμπίπτουν, από την παραπάνω σχέση είναι $2x+\frac{3}{2}=0 \Rightarrow x=-\frac{3}{4}$

Μάγδα Μάγδα · 03-01-14

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
α)
$\lim_{x \to 0}f(x)=0$ (άμεσο από κριτήριο παρεμβολής)

β)
$\bullet$ Για $x>0$ και κοντά στο $0$ είναι:
$0< \frac{1}{f(x)} \leq \frac{1}{6x-x^2} \Rightarrow 0< \frac{\left(\eta \mu x\right)^2}{f(x)} \leq \frac{\left(\eta \mu x\right)^2}{6x-x^2}$
με
$\lim_{x \to 0^+}\frac{\left(\eta \mu x\right)^2}{6x-x^2}=\lim_{x \to 0^+}\frac{\frac{\left(\eta \mu x\right)^2}{x^2}}{\frac{6}{x}-1}=\frac{1}{+\infty-1}=0$
άρα από κριτήριο παρεμβολής
$\lim_{x \to 0^+}\frac{\left(\eta \mu x\right)^2}{f(x)}=0$ και αφού $\frac{\left(\eta \mu x\right)^2}{f(x)}>0$ για $x>0$ και κοντά στο $0$ , έχουμε $\lim_{x \to 0^+}{\frac{f(x)}{\left(\eta \mu x\right)^2}=+\infty.$
$\bullet$ Ανάλογα για $x<0$ και κοντά στο $0$ είναι:
$\frac{1}{6x+x^2} \leq \frac{1}{f(x)} <0 \Rightarrow \frac{\left(\eta \mu x\right)^2}{6x+x^2} \leq \frac{\left(\eta \mu x\right)^2}{f(x)} <0$
οπότε πάλι με την ίδια διαδικασία βρίσκουμε $\lim_{x \to 0^-}{\frac{f(x)}{\left(\eta \mu x\right)^2}=-\infty$ οπότε το όριο δεν υπάρχει αφού τα πλευρικά όρια δεν συμπίπτουν.

γ)
$g(x)=\frac{xf(x)- \eta \mu (3x)}{\sqrt{x^2-x+4}-2}=\frac{\left(xf(x)- \eta \mu (3x)\right)\left(\sqrt{x^2-x+4}+2\right)}{x^2-x+4-4}=\frac{\left(f(x)-3\frac{\eta \mu (3x)}{3x}\right)\left(\sqrt{x^2-x+4}+2\right)}{x-1}$
οπότε
$\lim_{x \to 0}g(x)=12$

styt_geia ευχαριστώ για την απάντηση! ωστόσο, δεν καταλαβαίνω καθόλου πως έλυσες το δεύτερο ερώτημα... γιατί το μηδενικό στην ανίσωση? πως προέκυψε?

Gabriel97 · 03-01-14

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
1.
α) Αν $M(x,y)$ το μέσο της ΒΓ τότε λόγω της γνωστής ιδιότητας του βαρυκέντρου, ισχύει $\overrightarrow{A\Theta}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM} \Leftrightarrow \left(1-(-1),4-2\right)=\frac{2}{3} \left(x-(-1),y-2\right)$
και εξισώνοντας τις συντεταγμένες, βρίσκεις τα $x,y$
β) Η ευθεία ΒΓ είναι κάθετη στο ύψος ΑΗ οπότε ξέρεις τον συντελεστή διεύθυνσης της ΒΓ. Επιπλέον ξέρεις και ένα σημείο της ΒΓ, το Μ από το προηγούμενο ερώτημα. Με βάση αυτά μπορείς να βρεις την εξίσωση της ΒΓ.

2.
Κατ' αρχάς οι συντεταγμένες του Α δεν επαληθεύουν καμία από τις εξισώσεις των υψών. Άρα οι εξισώσεις αυτές είναι των υψών που διέρχονται από τα σημεία Β και Γ. Έστω Ε το σημείο που το ύψος από το Γ τέμνει την ΑΒ και Δ το σημείο που το ύψος από το Β τέμνει την ΑΓ. Ας θεωρήσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι η εξίσωση της ΓΕ ειναι η $3x+y-11=0$ και ότι η εξίσωση της ΒΔ είναι η $x-y+3=0$ .
α) Από την λύση του συστήματος των εξισώσεων των δύο υψών βρίσκεις τις συντεταγμένες του Η.
β) Η ΑΒ είναι κάθετη στην ΓΕ άρα ξέρεις τον συντελεστή διεύθυνσής της. Επιπλέον ξέρεις τις συντεταγμένες του Α οπότε μπορείς να βρεις την εξίσωση της ΑΒ. Αντίστοιχα η ΑΓ είναι κάθετη στην ΒΔ άρα ξέρεις τον συντελεστή διεύθυνσής της. Επιπλέον ξέρεις τις συντεταγμένες του Α οπότε μπορείς να βρεις την εξίσωση της ΑΓ.
Από την λύση του συστήματος των ΑΒ και ΒΔ βρίσκεις το Β και από την λύση του συστήματος των ΑΓ και ΕΓ βρίσκεις το Γ.
γ) Έχεις ήδη βρει τις δύο πλευρές στο ερώτημα β) και μένει μόνο η εξίσωση της ΒΓ η οποία είναι εύκολη αφού ξέρεις τα Β και Γ.
δ) Άμεση εφαρμογή του τύπου $E=1/2 \left|\det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A\Gamma}\right)\right|$

3.
α)
$4\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{\Gamma A}=3\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{O\Gamma} \Rightarrow \left( 3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA} \right)+ \left( \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{O\Gamma} \right)=3\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{O\Gamma} \Rightarrow 2\left( \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{O\Gamma} \right)= 3\left( \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow{\Gamma A}=3\overrightarrow{AB} \Rightarrow \overrightarrow{AB} =-\frac{2}{3} \overrightarrow{ A \Gamma}.$
Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι τα Α,Β,Γ είναι συνευθειακά.
β) Επειδή τα $\overrightarrow{AB}$ και $\overrightarrow{ A \Gamma}$ είναι αντίρροπα, συμπεραίνουμε ότι το Α βρίσκεται μεταξύ των Β και Γ.
γ) Είναι $\overrightarrow{AM}=x \overrightarrow{AB}$ και $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A\Gamma}$ οπότε $x \overrightarrow{AB}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A\Gamma} \Rightarrow \overrightarrow{A\Gamma} = 2x \overrightarrow{AB} \,\,(1)$ ,
όμως από το ερώτημα α) βρήκαμε $\overrightarrow{AB} =-\frac{2}{3} \overrightarrow{ A \Gamma} \Rightarrow \overrightarrow{ A \Gamma}= -\frac{3}{2} \overrightarrow{AB} \,\,(2)$ . Από (1) και (2) είναι
$2x \overrightarrow{AB} = -\frac{3}{2} \overrightarrow{AB} \Rightarrow \left(2x+\frac{3}{2}\right)\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$
Και υποθέτωντας ότι τα Α και Β δεν συμπίπτουν, από την παραπάνω σχέση είναι $2x+\frac{3}{2}=0 \Rightarrow x=-\frac{3}{4}$

Σας ευχαριστώ πάρα πολύ !!

Gabriel97 · 3 Ιανουαρίου 2014

1. Αν τα σημεία Α , Β ,Γ έχουν διανύσματα θέσεως ως προς σημείο αναφοράς το Ο , τα ( διανύσματα α,β,γ ) α=(-1,3) , β(=(3,5) , γ=(-3,2) αντίστοιχα , τότε
α. Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ και ΑΓ
β. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακα
γ. Να βρείτε τη σχετική θέση των Α,Β,Γ

2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-1,0) , Β (2,-3) και Γ(0,1)

Να βρείτε το διάνυσμα ν για το οποίο ισχύει:

2ν=ΑΒ-|ν|*ΑΓ (ν,ΑΒ,ΑΓ διανύσματα )

3. Δίνεται πετιτή , γνησίως μονότονη συνάρτηση φ, με πεδίο ορισμού το R και σύνολο τιμών το R , όπου η γραφική της παράσταση διέρχεται απο το Α(1,4) και Β(2,3)
α. Να αποδείξεται ότι η φ, είναι γνησίως φθίνουσα
β. Να λυθεί η ανίσωση φ(χ-3)<4γ
γ. Να αποδείξετε ότι
φ(-χ^2 - 1) + φ(χ^2+1)= 0 για κάθε χ e R

rebel · 03-01-14

Αρχική Δημοσίευση από Μάγδα Μάγδα:
styt_geia ευχαριστώ για την απάντηση! ωστόσο, δεν καταλαβαίνω καθόλου πως έλυσες το δεύτερο ερώτημα... γιατί το μηδενικό στην ανίσωση? πως προέκυψε?

Πχ στο δεξί πλευρικό όριο, για $x>0$ λέω ότι είμαι κοντά στο $0$ και άρα μιλάμε για $x<6$ οπότε $0<(6-x)x$ . Άρα από την δοσμένη ανισότητα έχω
$0< (6-x)x \leq f(x) \Rightarrow 0< \frac{1}{f(x)} \leq \frac{1}{(6-x)x}$
κλπ. Η πιο απλά σκέψου δύο θετικούς αριθμούς πχ $3,5$ . Τότε μπορώ να γράψω
$0 < 3 < 5 \Rightarrow 0 < \frac{1}{5} < \frac{1}{3}$

Βασικά θα μπορούσα να αντιστρέψω όλη την ανισότητα και να γράψω
$\frac{1}{(6+x)x} \leq \frac{1}{f(x)} \leq \frac{1}{(6-x)x} \Rightarrow \frac{(\eta \mu x)^2}{(6+x)x} \leq \frac{(\eta \mu x)^2}{f(x)} \leq \frac{(\eta \mu x)^2}{(6-x)x}$
κτλ. Το όριο της μεσαίας πάλι 0 θα βγει από κ. παρεμβολής.

Απλά επέλεξα τον πρώτο τρόπο για να δείξω ότι χρειαζόμαστε μόνο την μία ανισότητα αλλά και για να φαίνεται καλύτερα το πρόσημο της $(\eta \mu x)^2/f(x)$ . Ό,τι σε διευκολύνει.

Aristeidis · 5 Μαρτίου 2014

Καμιά ιδέα;;;

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος