Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[rebel]

ΔΙνεται η εξισωση h^2009+9x=10xh με αγνωστο τον h και x>1 Α)να αποδειξετε οτι η εξισωση εχει τρεις ακριβως ριζες h1(x),h2(x),h3(x) με h1(x)<h2(x)<1<h3(x)
β)να υπολογισετε τα ορια των h1(x),h2(x),h3(x) οταν το χ τεινει στο συν απειρο

Μία προσπάθεια σε pdf ( κάτι έπαθε το latex του ischool )

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Lost in the Fog]

σε ευχαριστω παρα πολυ για τον κοπο σου!
δηλαδη για το 1 δεν χρειαζοταν αντοκατασταση του w...γιατι μου εφαγε πολυ ωρα προσπαθωντας να το λυσω με αντικατασταση

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[hliass_1989]

Μια βιομηχανια θελει να κατασκευασει ενα ημερολογιο σε ενα φυλλο χαρτιου με εμβαδον 800cm.τα περιθωρια αριστερα και δεξια ειναι 4cm, ενω πανω και κατω 2 cm.να βρειτε τις διαστασεις του φυλλου, ωστε η ωφελιμη επιφανεια να ειναι μεγιστη

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Μια βιομηχανια θελει να κατασκευασει ενα ημερολογιο σε ενα φυλλο χαρτιου με εμβαδον 800cm.τα περιθωρια αριστερα και δεξια ειναι 4cm, ενω πανω και κατω 2 cm.να βρειτε τις διαστασεις του φυλλου, ωστε η ωφελιμη επιφανεια να ειναι μεγιστη

Έστω x σε cm η οριζόντια διάσταση και y σε cm η κατακόρυφη διάσταση του χαρτιού. Η ωφέλιμη επιφάνεια έχει πλευρές:
X=x-2*4=x-8 όπου x,X σε cm
Y=y-2*2=y-4 όπου y,Y σε cm

Για να υπάρχει ωφέλιμη επιφάνεια πρέπει:
Χ>0 => x>8 cm
Υ>0 => y>4 cm

Το εμβαδόν της επιφάνειας του χαρτιού είναι E=xy όπου E=800 cm^2. Έχουμε:
xy=800 => y=800/x όπου x>8

Επειδή y>4 τότε 800/x>4 => x<200
Άρα πρέπει να ισχύει 8<x<200

Το εμβαδόν της ωφέλιμης επιφάνειας είναι:
Εωφ=XY=(x-8 )(y-4)=(x-8 )[(800/x)-4]=-(6400/x)-4x+832=f(x)
Στην παραπάνω έκφραση το x εκφράζεται σε cm και το Εωφ σε cm^2

Άρα f(x)=-(6400/x)-4x+832 όπου 8<x<200. Το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=(8,200).
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (8,200) με πρώτη παράγωγο f΄(x)=[6400/(x^2)]-4=[6400-4(x^2)]/(x^2)

f΄(x)=0 => 4(x^2)=6400 => x^2=1600 => x=40 καθώς 8<x<200

H f είναι συνεχής στο (8,40], παραγωγίσιμη στο (8,40) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο (8,40). Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο (8,40]. H f είναι συνεχής στο [40,200), παραγωγίσιμη στο (40,200) και ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x στο (40,200). Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [40,200).

Επειδή η f είναι συνεχής στο (8,200), γνησίως αύξουσα στο (8,40] και γνησίως φθίνουσα στο [40,200) τότε παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο x0=40 με τιμή f(40)=736.

Άρα η ωφέλιμη επιφάνεια γίνεται μέγιστη για x=x0=40 cm και y=y0=800/x0=800/40=20 cm.
Η μέγιστη τιμή της ωφέλιμης επιφάνειας είναι Εωφ0=f(40)=736 cm^2

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[panabarbes]

Μια βιομηχανια θελει να κατασκευασει ενα ημερολογιο σε ενα φυλλο χαρτιου με εμβαδον 800cm.τα περιθωρια αριστερα και δεξια ειναι 4cm, ενω πανω και κατω 2 cm.να βρειτε τις διαστασεις του φυλλου, ωστε η ωφελιμη επιφανεια να ειναι μεγιστη

Παρατήρηση: Δεν έδωσα βάση στους περιορισμούς για την Ε(x), όπου στην προκειμένη περίπτωση κανονικά πρέπει 4<x<100. Να συμπεριληφθεί αυτό στον πίνακα μεταβολών.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[hliass_1989]

πραγματικα αψογος, ευχαριστω.

μια δεξαμενη νερου εχει σχημα ορθογωνιο παραλληλεπιπεδο με τις δυο εδρες τετραγωνα πλευρας χ.το επανω μερος ειναι ανοιχτο και η δεξαμενη ειναι κατασκευασμενη απο λαμαρινα εμβαδου 27.να βρειτε τις διαστασεις της δεξαμενης ωστε αυτη να χωραει τη μεγαλυτερη δυνατη ποσοτητα νερου

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

πραγματικα αψογος, ευχαριστω.

μια δεξαμενη νερου εχει σχημα ορθογωνιο παραλληλεπιπεδο με τις δυο εδρες τετραγωνα πλευρας χ.το επανω μερος ειναι ανοιχτο και η δεξαμενη ειναι κατασκευασμενη απο λαμαρινα εμβαδου 27.να βρειτε τις διαστασεις της δεξαμενης ωστε αυτη να χωραει τη μεγαλυτερη δυνατη ποσοτητα νερου

Έστω x η διάσταση της τετραγωνικής έδρας του πυθμένα και y το ύψος της δεξαμενής. Το εμβαδόν της επιφάνειας της δεξαμενής είναι:
E=(x^2)+4xy. Πρέπει να είναι x>0 και y>0. Επειδή Ε=27 έχουμε:

(x^2)+4xy=27 => 4xy=27-(x^2) => y=[27-(x^2)]/(4x)

Επειδή y>0 τότε προκύπτει:
[27-(x^2)]/(4x)>0 => 27-(x^2)>0 => x^2<27 => 0<x<SQRT(27) => 0<xSQRT(3)

Ο όγκος της δεξαμενής δίνεται από την σχέση V=(x^2)y. Έχουμε:
V=(x^2){[27-(x^2)]/(4x)} => V=(1/4)[27x-(x^3)] => V=-(1/4)(x^3)+(27/4)x=f(x) όπου 0<xSQRT(3)

Η συνάρτηση f με τύπο f(x)=(1/4)(x^3)+(27/4)x έχει πεδίο ορισμού το Α=(0,3SQRT(3)).
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,3SQRT(3)) με πρώτη παράγωγο:
f΄(x)=-(3/4)(x^2)+(27/4)=[27-3(x^2)]/4

Έχουμε
f΄(x)=0 => 3(x^2)=27 => x^2=9 => x=3

Η f είναι συνεχής στο (0,3], παραγωγίσιμη στο (0,3) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο (0,3), οποτε η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0,3].
Η f είναι συνεχής στο [3,3SQRT(3)), παραγωγίσιμη στο (3,3SQRT(3)) και ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x στο (3,3SQRT(3)), οποτε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [3,3SQRT(3)).

Η f είναι συνεχής στο (0,3SQRT(3)), γνησίως αύξουσα στο (0,3] και γνησίως φθίνουσα στο (3,3SQRT(3)]. Επομένως η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο x0=3 με τιμή f(x0)=f(3)=(1/4)*(3^3)+(27/4)*3=27/2=13,5

Για x0=3 μονάδες μήκους έχουμε y0=[27-(x0^2)]/(4x0)=(27-(3^2))/(4*3)=3/2=1,5 μονάδες μήκους και V0=f(x0)=f(3)=13,5 κυβικές μονάδες μήκους.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[panabarbes]

πραγματικα αψογος, ευχαριστω.

μια δεξαμενη νερου εχει σχημα ορθογωνιο παραλληλεπιπεδο με τις δυο εδρες τετραγωνα πλευρας χ.το επανω μερος ειναι ανοιχτο και η δεξαμενη ειναι κατασκευασμενη απο λαμαρινα εμβαδου 27.να βρειτε τις διαστασεις της δεξαμενης ωστε αυτη να χωραει τη μεγαλυτερη δυνατη ποσοτητα νερου

Αν και την έλυσε ο Civilara, με βάση την άσκηση με το ημερολόγιο θα μπορούσες να λύσεις και αυτήν.

Μην κάνεις κατάχρηση του ischool, βάλε λίγο το μυαλό σου να δουλέψει!

Φιλικά πάντα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[hliass_1989]

ευχαριστω civilara, πιο κατατοπιστικος πεθαινεις!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[rebel]

πραγματικα αψογος, ευχαριστω.

μια δεξαμενη νερου εχει σχημα ορθογωνιο παραλληλεπιπεδο με τις δυο εδρες τετραγωνα πλευρας χ.το επανω μερος ειναι ανοιχτο και η δεξαμενη ειναι κατασκευασμενη απο λαμαρινα εμβαδου 27.να βρειτε τις διαστασεις της δεξαμενης ωστε αυτη να χωραει τη μεγαλυτερη δυνατη ποσοτητα νερου

Αν οι τετραγωνικές έδρες είναι οι πλαινές τις δεξαμενής και όχι η ( ανοιχτή ) πάνω και κάτω έδρα, το αποτέλεσμα αλλάζει νομίζω. Η εκφώνηση δεν είναι και πολύ σαφής.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[dimidimi]

Παιδια..το πεδιο ορισμου απο: ln(x+ριζα(x^2 +1)) ποια ειναι?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Παιδια..το πεδιο ορισμου απο: ln(x+ριζα(x^2 +1)) ποια ειναι?

Για κάθε x ανήκει R είναι 1>0 => (x^2)+1>x^2 => SQRT[(x^2)+1]>|x|
Για κάθε x ανήκει R είναι x^2>=0 => (x^2)+1>=1>0 => SQRT[(x^2)+1]>=1>0

Αν x>=0 τότε επειδή (x^2)+1>0 ισχύει x+SQRT[(x^2)+1]>0
Αν x<0 τότε |x|=-x οπότε για κάθε x ανήκει R ισχύει SQRT[(x^2)+1]>-x => x+SQRT[(x^2)+1]>0

Άρα x+SQRT[(x^2)+1]>0 για κάθε x ανήκει R.
Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το R.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[dimidimi]

Για κάθε x ανήκει R είναι 1>0 => (x^2)+1>x^2 => SQRT[(x^2)+1]>|x|
Για κάθε x ανήκει R είναι x^2>=0 => (x^2)+1>=1>0 => SQRT[(x^2)+1]>=1>0

Αν x>=0 τότε επειδή (x^2)+1>0 ισχύει x+SQRT[(x^2)+1]>0
Αν x<0 τότε |x|=-x οπότε για κάθε x ανήκει R ισχύει SQRT[(x^2)+1]>-x => x+SQRT[(x^2)+1]>0

Άρα x+SQRT[(x^2)+1]>0 για κάθε x ανήκει R.
Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το R.

Ευχαριστωωωωωω

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Demlogic]

Παιδια..το πεδιο ορισμου απο: ln(x+ριζα(x^2 +1)) ποια ειναι?

Για την ρίζα


Για τον λογάριθμο

Γιατί; Για τυχαίο xER ισχύει


Άρα ολο το R

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest 018946]

R

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[aris-bas]

στην πρωτη ασκηση γνωριζω οτι μια συναρτηση f με πεδιο ορισμου το Α ειναι περιττη οταν για καθε χ ε Α ισχυει -χ ε Α και f (- x )= - f ( x ) αλλα δεν ξερω πως θα το εκμεταλλευτω

στη δευτερη ασκηση εθεσα την πρωτη δοθεισα σχεση g(x) και εγινε f(x)=g(x)(x-1)+2-(x-1)^2 αυτο θα το αντικαταστησω στο οριο που ψαχνω να βρω..?? ή θα θεσω h(x) το οριο που ψαχνω??
*η δευτερη ασκηση ζητουσε επισης να δειξω οτι η Cf διερχεται απο το Α(1,2)...αλλα το παρελειψα να το γραψω επειδη νομιζω πως δεν χρειαζεται στην ευρεση του οριου

στην τριτη ασκηση εχω αποδειξει οτι ο μιγαδικος z κινειται στην ευθεια ψ=χ αλλα δεν καταλαβαινω τι πρεπει να κανω στο β) ερωτημα...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Demlogic]

View attachment 55295

View attachment 55298

View attachment 55297
στην πρωτη ασκηση γνωριζω οτι μια συναρτηση f με πεδιο ορισμου το Α ειναι περιττη οταν για καθε χ ε Α ισχυει -χ ε Α και f (- x )= - f ( x ) αλλα δεν ξερω πως θα το εκμεταλλευτω

στη δευτερη ασκηση εθεσα την πρωτη δοθεισα σχεση g(x) και εγινε f(x)=g(x)(x-1)+2-(x-1)^2 αυτο θα το αντικαταστησω στο οριο που ψαχνω να βρω..?? ή θα θεσω h(x) το οριο που ψαχνω??
*η δευτερη ασκηση ζητουσε επισης να δειξω οτι η Cf διερχεται απο το Α(1,2)...αλλα το παρελειψα να το γραψω επειδη νομιζω πως δεν χρειαζεται στην ευρεση του οριου

στην τριτη ασκηση εχω αποδειξει οτι ο μιγαδικος z κινειται στην ευθεια ψ=χ αλλα δεν καταλαβαινω τι πρεπει να κανω στο β) ερωτημα...

αφου λεει οτι ειναι συνεχης, τι σου ζηταει να αποδειξεις συνεχεια μετα;
έπειτα


Στην δευτερη χωρις να ειμαι σιγουρος μιας και τα εχω ψιλοξεχασει

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

View attachment 55295]

Η f είναι περιττή στο πεδίο ορισμού της Α, που σημαίνει ότι για κάθε x ανήκει Α ισχύει (-x) ανήκει Α και f(-x)=-f(x) για κάθε x ανήκει Α.

Θεωρούμε την αντικατάσταση u=-x <=> x=-u. Έχουμε:
lim(x->-1)(-x)=-(-1)=1
lim(x->-1){[(f(x)+5]/(x+1)}=lim(u->1){[f(-u)+5]/(-u+1)}=lim(u->1){[-f(u)+5]/(-u+1)}=lim(u->1){[f(u)-5]/(u-1)}=10

View attachment 55298]

lim(x->1){[f(x)-2+((x-1)^2)]/(x-1)}=100 => lim(x->1){[(f(x)-2)/(x-1)]+(x-1)}=100
lim(x->1)(x-1)=1-1=0

Για x κοντά στο 1 ισχύει:
[f(x)-2]/(x-1)=[(f(x)-2)/(x-1)]+(x-1)}-(x-1)

Επομένως
lim(x->1){[f(x)-2]/(x-1)}=lim(x->1){[(f(x)-2)/(x-1)]+(x-1)}-lim(x->1)(x-1)=100-0=100

View attachment 55297

(α) f(x)=[|z-2|(x^3)-|z-2i|(x^2)-x+1]/(x-1)
Η f έχει πεδίο ορισμού το Α=(-οο,1)U(1,+oo)

Για κάθε x ανήκει A ισχύει:
|z-2|(x^3)-|z-2i|(x^2)-x+1=f(x)(x-1)

Επομένως
lim(x->1)[|z-2|(x^3)-|z-2i|(x^2)-x+1]=lim(x->1)f(x)*lim(x->1)(x-1)=m*0=0

Επειδή lim(x->1)[|z-2|(x^3)-|z-2i|(x^2)-x+1]=|z-2|-|z-2i| τότε προκύπτει |z-2|-|z-2i|=0 => |z-2|=|z-2i|

Αν θέσουμε z=X+Yi όπου X,Y ανήκουν R τότε
|z-2|=|(X-2)+Yi|=SQRT[((X-2)^2)+(Y^2)]
|z-2i|=|X+(Y-2)i|=SQRT[(X^2)+((Y-2)^2)]

|z-2|=|z-2i| => |z-2|^2=|z-2i|^2 => ((X-2)^2)+(Y^2)=(X^2)+((Y-2)^2) => (X^2)-Xα+4+(Y^2)=(X^2)+(Y^2)-4Y+4 =>
=> -4X=-4Y => Y=X

Άρα η εικόνα του z ανήκει στην ευθεία x=y και σε αυτήν την περίπτωση z=X+Xi=X(1+i)

(β) Για z=X+Xi προκύπτει |z-2|=|z-2i|=SQRT[2(X^2)-4X+4]=r>0

Επομένως f(x)=[r(x^3)-r(x^2)-x+1]/(x-1)=[r(x^2)(x-1)-(x-1)]/(x-1)=[(x-1)(r(x^2)-1)]/(x-1)=r(x^2)-1 για x ανήκει (-οο,1)U(1,+οο)
Άρα lim(x->1)f(x)=lim(x->1)[r(x^2)-1]=r-1 => r-1=m => r=m+1

Αν m=1 τότε r=1+1+2, οπότε προκύπτει

r=2 => r^2=4 => 2(X^2)-4X+4=4 => 2(X^2)-4X=0 => (X^2)-2X=0 => X(X-2)=0 => X=0 ή X=2

Αν X=0 τότε z=0
Αν X=2 τότε z=2+2i

Άρα σε αυτήν την περίπτωση z=0 ή z=2+2i

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Demlogic]

συμπληρωνω την τελευταια, σε μορφη κατανοησιμη απο τον homo sapien




z=0 η z=2+2i

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[t00nS]

Αν z1,z1,z3εC να δε'ιξετε ότι
1)Αν /z1/+/z2/=2, τοτε z1+z2/4+z1+z2 εR
2) Αν /z1/=/z2/=/z3/=1 και z1+z2+z3=1 τότε z1^-1+ z2^-1 +z3^-1=1
3) Αν z1,z2,z3εC ΜΕ /Ζ1/=/Ζ2/=/Ζ3=1 τοτε (z1(συζυγής) +z2)*(z2(συζυγής)+z3)*(z3(συζυγής)+z1)εR
4)Αν /z1/=/z2/=/z3/=/z1+z2+z3/=p,p>0 τοτε /z1*z2+z2*z3+z3*z1/=p^2
έχω κανει τα 2 πρώτα θέλω βοήθεια στα επόμενα αν γινεται..

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.