Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

vimaproto · 6 Νοεμβρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από aris-bas:
παιδια ζητω και γω απεγνωσμενα βοηθειααα......
να βρεθουν τα α,β ε R ωστε:
$\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ \frac { { x }^{ 3 }-{ 2x }^{ 2 }+x+1 }{ (\alpha -2{ ) }{ x }^{ 4 }+(\beta -1){ x }^{ 3 }{ +x }^{ 2 }+1 } } =+\infty$
$\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ (\sqrt { { x }^{ 2 }+1 } } +ax-b)=2$
$\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ \frac { { 2x }^{ 2 }+3x+1 }{ 4x+3 } } -ax+b=\frac { 19 }{ 8 }$
$\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ (\sqrt { { x }^{ 2 }+2x+3 } +\sqrt { { x }^{ 2 }+4x+5 } } -ax+b)=7$

το ξερω ειναι πολλα αλλα ειμαι απελπισμενος..τα δοκιμασα ολα και δεν καταφερα κανενα..

Δεν είναι και εύκολες. Και σε σκέψη και σε πράξεις.
Στην τρίτη άσκηση κάνω στο αριστερό μέρος ομώνυμα και καταλήγω να έχω αριθμητή 2(1-2α)χ²+(3-3α+4β)χ+3β+1 και παρονομαστή 4χ+3 οι οποίοι απειρίζονται όταν ο χ τείνει στο άπειρο.
Εφαρμόζω κανόνα Hospital και ο αριθμητής γίνεται 4(1-2α)χ +3-3α+4β ενώ ο παρονομαστής 4 και το κλάσμα έχει όριο το άπειρο. Για να είναι το όριο πεπερασμένος αριθμός πρέπει να μηδενιστεί ο παράγοντας 4(1-2α)χ δηλ 1-2α=0 ==> α=½. Τότε το όριο του κλάσματος γίνεται (3-3/2+4β)/4=19/8 ==> β=2

Στην πρώτη μια ματιά μου λέει ότι ο παρονομαστής πρέπει να είναι μικρότερης δύναμης από τον αριθμητή για να απειρίζεται το κλάσμα . Αρα ο συντελεστής του χ^4 ίσος με μηδέν (α=2) και ο συντελεστής του χ³ επίσης μηδέν (β=1)

Civilara · 6 Νοεμβρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από aris-bas:
$\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ \frac { { 2x }^{ 2 }+3x+1 }{ 4x+3 } } -ax+b=\frac { 19 }{ 8 }$

Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=[(2(x^2)+3x+1)/(4x+3)]-ax+b. Η f έχει πεδίο ορισμού το Α=(-oo,-3/4)U(-3/4,+oo) και γράφεται ισοδύναμα ως εξής:

f(x)=[(2(x^2)+3x+(-ax+b)(4x+3)]/(4x+3)=[2(1-2a)(x^2)+(-3a+4b+3)x+3b+1]/(4x+3)

(α) Αν a<1/2 => 1-2a>0 τότε lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)(2(1-2a)(x^2))/(4x)=lim(x->+oo)[(1-2a)/2]x=+oo

(β) Αν a>1/2 => 1-2a<0 τότε lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)(2(1-2a)(x^2))/(4x)=lim(x->+oo)[(1-2a)/2]x=-oo

(γ) Αν a=1/2 τότε f(x)=[(4b+(3/2))x+3b+1]/(4x+3), οπότε
lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)[(4b+(3/2))x]/(4x)=lim(x->+oo)(b+(3/8))=b+3/8

Η μοναδική τιμή του a για την οποία το lim(x->+oo)f(x) είναι πραγματικός αριθμός είναι η a=1/2 και τότε lim(x->+oo)f(x)=b+3/8. Άρα a=1/2 και b+3/8=19/8 => b=2.

Για a=1/2 και b=2 ο τύπος της f γίνεται f(x)=(19x+14)/(8x+6).

Αρχική Δημοσίευση από aris-bas:
$\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ \frac { { x }^{ 3 }-{ 2x }^{ 2 }+x+1 }{ (\alpha -2{ ) }{ x }^{ 4 }+(\beta -1){ x }^{ 3 }{ +x }^{ 2 }+1 } } =+\infty$

Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=[(x^3)-2(x^2)+x+1]/[(α-2)(x^4)+(β-1)(x^3)+(x^2)+1]. Η f ορίζεται για εκείνα τα x για τα οποία ισχύει
(α-2)(x^4)+(β-1)(x^3)+(x^2)+1 διάφορο 0

(α) Αν α=2 και β=1 τότε η f παίρνει τη μορφή f(x)=[(x^3)-2(x^2)+x+1]/[(x^2)+1] με πεδίο ορισμού το Α=R. Έχουμε:
lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)(x^3)/(x^2)=lim(x->+oo)x=+oo

(β) Αν α=2, β διάφορο 1 τότε η f γράφεται στη μορφή f(x)=[(x^3)-2(x^2)+x+1]/[(β-1)(x^3)+(x^2)+1]. Έχουμε:
lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)(x^3)/[(β-1)(x^3)]=lim(x->+oo)[1/(β-1)]=1/(β-1) ανήκει R*

(γ) Αν α διάφορο 2 τότε lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)(x^3)/[(α-2)(x^4)]=(1/(α-2))*lim(x->+oo)(1/x)=(1/(α-2))*0=0

Επειδή lim(x->+oo)f(x)=+oo τότε α=2 και β=1 και ο τύπος της f γίνεται f(x)=[(x^3)-2(x^2)+x+1]/[(x^2)+1]

Civilara · 6 Νοεμβρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από aris-bas:
$\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ (\sqrt { { x }^{ 2 }+2x+3 } +\sqrt { { x }^{ 2 }+4x+5 } } -ax+b)=7$

Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=SQRT((x^2)+2x+3)+SQRT((x^2)+4x+5)-ax+b
Έστω το πολυώνυμα P(x)=(x^2)+2x+3 και Q(x)=(x^2)+4x+5. Γράφονται ισοδύναμα ως εξής:
P(x)=(x^2)+2x+1+2=((x+1)^2)+2>=2>0 για κάθε x ανήκει R
Q(x)=(x^2)+4x+5=(x^2)+4x+4+1=((x+2)^2)+1>=1>0 για κάθε x ανήκει R
Άρα η f έχει πεδίο ορισμού το Α=R.

Για x>0 η f γράφεται ισοδύναμα ως εξής:
f(x)=x*SQRT(1+(2/x)+(3/(x^2)))+x*SQRT(1+(4/x)+(5/(x^2)))+x(-a+(b/x))
f(x)=x*[SQRT(1+(2/x)+(3/(x^2)))+SQRT(1+(4/x)+(5/(x^2)))-a+(b/x)]

Επειδή lim(x->+oo)((x^2)+2x+3)=lim(x->+oo)(x^2)=+oo τότε lim(x->+oo)SQRT((x^2)+2x+3)=+oo
Επειδή lim(x->+oo)((x^2)+4x+5)=lim(x->+oo)(x^2)=+oo τότε lim(x->+oo)SQRT((x^2)+4x+5)=+oo

lim(x->+oo)x=+oo
lim(x->+oo)[SQRT(1+(2/x)+(3/(x^2)))+SQRT(1+(4/x)+(5/(x^2)))-a+(b/x)]=1+1-a=2-a

(α) Αν a<0 τότε επειδή lim(x->+oo)(-ax+b)=lim(x->+oo)(-ax)=+oo είναι lim(x->+oo)f(x)=+oo

(β) Αν a=0 τότε f(x)=SQRT((x^2)+2x+3)+SQRT((x^2)+4x+5)+b
Επειδή lim(x->+oo)SQRT((x^2)+2x+3)=lim(x->+oo)SQRT((x^2)+4x+5)=+oo τότε lim(x->+oo)f(x)=+oo

(γ) Αν 0<a<2 => 2-a>0 τότε lim(x->+oo)[SQRT(1+(2/x)+(3/(x^2)))+SQRT(1+(4/x)+(5/(x^2)))-a+(b/x)]=2-a>0.
Άρα lim(x->+oo)f(x)=+oo

(δ) Αν a>2 => 2-a<0 τότε lim(x->+oo)[SQRT(1+(2/x)+(3/(x^2)))+SQRT(1+(4/x)+(5/(x^2)))-a+(b/x)]=2-a<0.
Άρα lim(x->+oo)f(x)=-oo

(ε) Αν a=2 τότε η f γίνεται f(x)=SQRT((x^2)+2x+3)+SQRT((x^2)+4x+5)-2x+b και γράφεται ισοδύναμα για x>0 ως εξής:
f(x)=[SQRT((x^2)+2x+3)-x]+[SQRT((x^2)+4x+5)-x]+b
f(x)={[SQRT((x^2)+2x+3)-x]*[SQRT((x^2)+2x+3)+x]/[SQRT((x^2)+2x+3)+x]}+{[SQRT((x^2)+4x+5)-x]*[SQRT((x^2)+4x+5)+x]/[SQRT((x^2)+4x+5)+x]}+b
f(x)={[(x^2)+2x+3-(x^2)]/[SQRT((x^2)+2x+3)+x]}+{[(x^2)+4x+5-(x^2)]/[SQRT((x^2)+4x+5)+x]}+b
f(x)={(2x+3)/[SQRT((x^2)+2x+3)+x]}+{(4x+5)/[SQRT((x^2)+4x+5)+x]}+b
f(x)={[x*(2+(3/x))]/[x*(SQRT(1+(2/x)+(3/(x^2)))+1)]}+{[x*(4+(5/x))]/[x*(SQRT(1+(4/x)+(5/(x^2)))+1)]}+b
f(x)={(2+(3/x))/[SQRT(1+(2/x)+(3/(x^2)))+1]}+{(4+(5/x))/[SQRT(1+(4/x)+(5/(x^2)))+1]}+b

Έχουμε
lim(x->+oo)f(x)=[2/(1+1)]+[4/(1+1)]+b=(2/2)+(4/2)+b=1+2+b=3+b=b+3

Συνεπώς η μοναδική τιμή του a για την οποία το lim(x-+oo)f(x) υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός είναι a=2 και ισούται με lim(x->+oo)f(x)=b+3. Άρα b+3=7 => b=4

Επομένως a=2 και b=4. Ο τύπος της f γίνεται f(x)=SQRT((x^2)+2x+3)+SQRT((x^2)+4x+5)-2x+4.

rebel · 6 Νοεμβρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από Διονύσης13:
Άντε να βάλω και εγώ μια άσκηση Αν $f^3(x) + 2f(x) = x$ για κάθε $x \epsilon R$ να βρείτε το $limf(x)$ όταν το x--->0

Αν και καθυστερημένα, μία προσπάθεια:
$f(x)=\frac{x}{f^2(x)+2} \Rightarrow \left|f(x)\right|=\left|\frac{x}{f^2(x)+2}\right| \leq \left|\frac{x}{2}\right|\Rightarrow -\left|\frac{x}{2}\right| \leq f(x) \leq \left|\frac{x}{2}\right|$
και από κριτήριο παρεμβολής το όριο είναι 0.

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
View attachment 55096

Αν θεωρήσουμε $f(x)=\frac{x^2+ax+b}{|x-1|}$ τότε με σχήμα Ηorner στον αριθμητή με το 1, παίρνουμε
$f(x)=\frac{(x+a+1)(x-1)+a+b+1}{|x-1|}$ .
Αν είναι $a+b+1 > 0$ τότε
$\lim_{x \to 1^-}f(x)=\lim_{x \to 1^-}\left(-x-a-1-\frac{a+b+1}{x-1} \right)=-\infty$
ενώ
$\lim_{x \to 1^+}f(x)=\lim_{x \to 1^+}\left(x+a+1+\frac{a+b+1}{x-1} \right)=+\infty$
Οπότε το όριο δεν υπάρχει, άτοπο. Όμοια καταλήγουμε σε άτοπο αν υποθέσουμε ότι $a+b+1 < 0$ . Άρα μένει η περίπτωση $a+b+1=0,\,\,(1)$ και τότε είναι $\lim_{x \to 1^-}f(x)=-a-2$ και $\lim_{x \to 1^+}f(x)=a+2$ . Για να υπάρχει το όριο πρέπει και αρκεί $-a-2=a+2 \Leftrightarrow a=-2$ και αντικαθιστώντας στην σχέση (1) βρίσκουμε $b=1$

Dimitris1_25 · 06-11-13

Μπορεί να με βοηθήσει κανείς με την άσκηση στην εικόνα?

aris-bas · 7 Νοεμβρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από vimaproto:
Δεν είναι και εύκολες. Και σε σκέψη και σε πράξεις.
Στην τρίτη άσκηση κάνω στο αριστερό μέρος ομώνυμα και καταλήγω να έχω αριθμητή 2(1-2α)χ²+(3-3α+4β)χ+3β+1 και παρονομαστή 4χ+3 οι οποίοι απειρίζονται όταν ο χ τείνει στο άπειρο.
Εφαρμόζω κανόνα Hospital και ο αριθμητής γίνεται 4(1-2α)χ +3-3α+4β ενώ ο παρονομαστής 4 και το κλάσμα έχει όριο το άπειρο. Για να είναι το όριο πεπερασμένος αριθμός πρέπει να μηδενιστεί ο παράγοντας 4(1-2α)χ δηλ 1-2α=0 ==> α=½. Τότε το όριο του κλάσματος γίνεται (3-3/2+4β)/4=19/8 ==> β=2

Στην πρώτη μια ματιά μου λέει ότι ο παρονομαστής πρέπει να είναι μικρότερης δύναμης από τον αριθμητή για να απειρίζεται το κλάσμα . Αρα ο συντελεστής του χ^4 ίσος με μηδέν (α=2) και ο συντελεστής του χ³ επίσης μηδέν (β=1)

ευχαριστωω

καλημερα!!
$\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ \frac { (\sqrt { { x }^{ 2 }+1 } -x)(\sqrt { { 4x }^{ 2 }+1) } }{ 2x+3 } }$
σ αυτο εβγαλα μεγιστοβαθμιο σε αριθμητη και παρονομαστη και στο τελος μου βγαινει 0/2.....
σκεφτηκα να εφαρμοσω στον αριθμητη την ιδιοτητα $\sqrt { \alpha } \cdot \sqrt { \beta } =\sqrt { \alpha \cdot \beta }$ ....γινεται???
επισης σκεφτηκα να πολ/σω με συζυγη αλλα δεν ξερω πως..??!!!

panabarbes · 07-11-13

Αρχική Δημοσίευση από aris-bas:
ευχαριστωω

καλημερα!!
$\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ \frac { (\sqrt { { x }^{ 2 }+1 } -x)(\sqrt { { 4x }^{ 2 }+1) } }{ 2x+3 } }$
σ αυτο εβγαλα μεγιστοβαθμιο σε αριθμητη και παρονομαστη και στο τελος μου βγαινει 0/2.....
σκεφτηκα να εφαρμοσω στον αριθμητη την ιδιοτητα $\sqrt { \alpha } \cdot \sqrt { \beta } =\sqrt { \alpha \cdot \beta }$ ....γινεται???
επισης σκεφτηκα να πολ/σω με συζυγη αλλα δεν ξερω πως..??!!!

Ορίστε!

t00nS · 8 Νοεμβρίου 2013

έστω zeC, weC με /w/=2 και /z-12+5i/=12
1)να βρείτε ελάχιστο και μέγιστο μέτρο του /z/
2)να βρείτε για ποιες τιμές του z σημειώνονται τα παραπάνω
3)να βρείτε min,max του /z-w/
την εχω προχωρήσει αλλά δεν είμαι σίγουρος..
το 1) μου βγήκε 1 και 25

george1 · 08-11-13

σε μια ασκηση λεει οτι f(f(x))= 2x -1 ... πως θα δειξω οτι f(2x-1) =2f(x) -1;;;

Guest 018946 · 08-11-13

θετεις οπου χ το φ(χ) και αντικαθιστας

Civilara · 08-11-13

Αρχική Δημοσίευση από george1:
σε μια ασκηση λεει οτι f(f(x))= 2x -1 ... πως θα δειξω οτι f(2x-1) =2f(x) -1;;;

f(f(f(x)))=f(2x-1)
f(f(f(x)))=2f(x)-1

Άρα f(2x-1)=2f(x)-1

Lost in the Fog · 09-11-13

καλησπερα σε ολους! θα ηθελα μια βοηθεια στο Γ3 και Γ4. εκανα τα δυο πρωτα αλλα κολλαω στα υπολοιπα

Chris1993 · 09-11-13

Αρχική Δημοσίευση από Lost in the Fog:
καλησπερα σε ολους! θα ηθελα μια βοηθεια στο Γ3 και Γ4. εκανα τα δυο πρωτα αλλα κολλαω στα υπολοιπα

Στο Γ3α έχουμε:

|z+5|=6
Άρα, (x+5)^2 + y^2 = 36 <=> (x+5)^2 = 36 - y^2 (1)

Και έχουμε (x+5)^2 + (y-2)^2 = 16 (2)

Η 2 μέσω της (1) γίνεται :

36 - y^2 + y^2 + 4 - 4y = 16 <=> 4y = 24 <=> y=6

Για y=6 η (1) γίνεται (x+5)^2 = 0 άρα x+5=0 <=> x=-5

panabarbes · 09-11-13

Αρχική Δημοσίευση από Lost in the Fog:
καλησπερα σε ολους! θα ηθελα μια βοηθεια στο Γ3 και Γ4. εκανα τα δυο πρωτα αλλα κολλαω στα υπολοιπα

Στο Γ1 έχεις φάει πρόσημο στην 2η σειρά. Κάποιο άλλο θα είναι το αποτέλεσμα.
Ωστόσο θα το λύσω και εγώ τώρα και θα σου πω!

panabarbes · 9 Νοεμβρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από Lost in the Fog:
καλησπερα σε ολους! θα ηθελα μια βοηθεια στο Γ3 και Γ4. εκανα τα δυο πρωτα αλλα κολλαω στα υπολοιπα

Αυτά που μπόρεσα για την ώρα!

ΥΓ: Σχετικά με το 1ο σκέλος του Γ3, ισχύει z=w στα σημεία που οι 2 κύκλοι τέμνονται. Επομένως, για να έχουμε μοναδικούς z,w με z=w, αρκεί οι δύο κύκλοι να έχουν μόνο 1 κοινό σημείο, δηλαδή να εφάπτονται. Άρα θα πρέπει (σύμφωνα με τα δικά μου σχήματα) (ΚΛ)=R1+R2, που ισχύει

Civilara · 10 Νοεμβρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από Lost in the Fog:
καλησπερα σε ολους! θα ηθελα μια βοηθεια στο Γ3 και Γ4. εκανα τα δυο πρωτα αλλα κολλαω στα υπολοιπα

Γ.1) Θέτουμε z=x+yi όπου x,y ανήκουν R. Έχουμε:

z+5-2(z-5)i=x+yi+5-2(x+yi-5)i=x=yi+5-2xi+2y+10i=(x+2y+5)+(-2x+y+10)i
|z+5-2(z-5)i|=SQRT[((x+2y+5)^2)+((-2x+y+10)^2)] => |z+5-2(z-5)i|^2=((x+2y+5)^2)+((-2x+y+10)^2)

|z+5-2(z-5)i|=6*SQRT(5) => |z+5-2(z-5)i|^2=180 => ((x+2y+5)^2)+((-2x+y+10)^2)=180 =>
=> (x^2)+4(y^2)+25+4xy+10x+20y+4(x^2)+(y^2)+100-4xy-40x+20y=180 => 5(x^2)+5(y^2)-30x+40y-55=0 =>
=> (x^2)+(y^2)-6x+8y-11=0 => [(x^2)-6x+9]+[(y^2)+8y+16]-36=0 => [(x-3)^2]+[(y+4)^2]=36

Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι κύκλος C1 με κέντρο Κ1(3,-4) και ακτίνα ρ1=6

Γ.2) Θέτουμε w=X+Yi όπου X,Y ανήκουν R. Έχουμε:

w_=X-Yi (συζυγής του w)
iw_-2+5i=i(X-Yi)-2+5i=Xi+Y-2+5i=(Y-2)+(X+5)i
|iw_-2+5i|=SQRT[((Y-2)^2)+((X+5)^2)]=SQRT[((X+5)^2)+((Y-2)^2)] => |iw_-2+5i|^2=((X+5)^2)+((Y-2)^2)

|iw_-2+5i|=4 => |iw_-2+5i|^2=16 => ((X+5)^2)+((Y-2)^2)=16

Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w είναι κύκλος C2 με κέντρο Κ2(-5,2) και ακτίνα ρ2=4

Γ.3) Το μήκος της διακέντρου είναι (Κ1Κ2)=SQRT[((-5-3)^2)+((2+4)^2)]=SQRT[((-8 )^2)+(6^2)]=SQRT(64+36)=SQRT(100)=10
Επισης έχουμε ρ1+ρ2=6+4=10

Παρατηρούμε ότι (Κ1Κ2)=ρ1+ρ2, που σημαίνει ότι οι κύκλοι C1 και C2 εφάπτονται εξωτερικά και συνεπώς έχουν ένα μόνο κοινό σημείο. Σε αυτό το σημείο ισχύει z=w.

Αν Α, Β είναι τα ακραία σημεία τομής των κύκλων C1 και C2 αντίστοιχα με την διάκεντρο Κ1Κ2, τότε επειδή οι κύκλοι C1, C2 εφάπτονται εξωτερικά ισχύει (ΑΒ)=2ρ1+2ρ2=2(ρ1+ρ2)=2*(6+4)=2*10=20

Αν Μ(z) και Ν(w) τότε |z-w|=(ΜΝ) και 0<=(ΜΝ)<=(ΑΒ). Άρα 0<=|z-w|<=20

Άρα |z-w|<=20
(Ισχύει |z-w|=0 μόνο όταν z=w που αντιστοιχεί στο σημείο επαφής των δύο κύκλων)

Γ.4) Παρατηρούμε ότι |w1-w2|=2ρ2 που σημαίνει ότι τα σημεία Ν1(w1) και Ν2(w2) είναι αντιδιαμετρικά.

Οι παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου C2 με κέντρο Κ2(-5,2) και ακτίνα ρ2=4 είναι:
X=-5+4συνθ
Y=2+4ημθ
όπου 0<=θ<2π

Άρα w=X+Yi => w=(-5+4συνθ)+(2+4ημθ)i, 0<=θ<2π

Έχουμε
w1=(-5+4συνθ1)+(2+4ημθ1)i
w2=(-5+4συνθ2)+(2+4ημθ2)i, 0<=θ1<=θ2<2π

Επειδή τα Ν1, Ν2 είναι αντιδιαμετρικά τότε θ2=θ1+π όπου 0<=θ1<π<=θ2<2π. Σε αυτήν την περίπτωση προκύπτει:

ημθ2=ημ(θ1+π)=ημ(π+θ1)=ημ(π-(-θ1))=ημ(-θ1)=-ημθ1
συνθ2=συν(θ1+π)=συν(π+θ1)=συν(π-(-θ1))=-συνθ2

Άρα

w1=(-5+4συνθ1)+(2+4ημθ1)i
w2=(-5-4συνθ1)+(2-4ημθ1)i

Αν θέσουμε θ1=θ τότε θ2=θ+π όπου 0<=θ<π. Επομένως:

w1=(-5+4συνθ)+(2+4ημθ)i
w2=(-5-4συνθ)+(2-4ημθ)i

Έχουμε w1+w2=-10+4i για κάθε 0<=θ<π

Συνεπώς |w1+w2|=SQRT[((-10)^2)+(4^2)]=SQRT(100+16)=SQRT(116)=2*SQRT(29)

Άρα |w1+w2|=2*SQRT(29)

Μαριλινάκι · 10 Νοεμβρίου 2013

Γεια σας μπορείτε να με βοηθήσετε στην ασκηση 45 του Μπάρλα κατέυθυνση Γ Λυκείου β τεύχος? σελ 93

Πώς μπορώ να λύσω την παρακάτω άσκηση?
f ' (x) = f (x) + 1 Nα βρε΄τε τον τύπο της f αν γνωρίζετε ότι f (0)=1

Φρεντος · 11-11-13

Αρχική Δημοσίευση από Μαριλινάκι:
Γεια σας μπορείτε να με βοηθήσετε στην ασκηση 45 του Μπάρλα κατέυθυνση Γ Λυκείου β τεύχος? σελ 93

Πώς μπορώ να λύσω την παρακάτω άσκηση?
f ' (x) = f (x) + 1 Nα βρε΄τε τον τύπο της f αν γνωρίζετε ότι f (0)=1

f '(x)=f(x)+1 <=> f '(x)-f(x)=1 <=> e^(-x)f '(x)-e^(-x)f(x)= e^(-x) <=>
( e^(-x) f(x) ) ' = (-e^(-x) ) ' <=> e^(-x) f(x) = -e^(-x) + c
Βαζεις οπου χ το 0, βρισκεις το c,μετα πολ/ζεις με e^x και τελειωσες

Μαριλινάκι · 11-11-13

Χίλια ευχαριστώ πέρα από αυτή με βοήθησες να καταλάβω άλλες τρεις ασκήσεις ! Καλές σπουδές!

nPb · 11-11-13

Επειδή Φρέντο Εσπρέσσο, η Μαριλινάκη πρέπει να καταλάβει τι γράφεις, κάνε λίγο ανάλυση:

Αρχική Δημοσίευση από Φρεντος:
f '(x)=f(x)+1 <=> f '(x)-f(x)=1 <=> e^(-x)f '(x)-e^(-x)f(x)= e^(-x) <=>

( e^(-x) f(x) ) ' = (-e^(-x) ) ' <=> e^(-x) f(x) = -e^(-x) + c

Βαζεις οπου χ το 0, βρισκεις το c,μετα πολ/ζεις με e^x και τελειωσες

ΛΥΣΗ

$f'(x)=f(x)+1 \Leftrightarrow f'(x)-f(x)=1\Leftrightarrow e^{-x}f'(x)-e^{-x}f(x)=e^{-x}\Leftrightarrow$

(μέχρι εδώ απλός συλλογισμός)

Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη με την συνάρτηση $e^{-x}$ διότι η παράγωγος της, μας δίνει το πρόσημο - στο άθροισμα του πρώτου μέλους. Παρατηρούμε στη συνέχεια:

$\Leftrightarrow \left(e^{-x}f(x) \right)' = e^{-x}\Leftrightarrow$

(παράγωγος γινομένου στο πρώτο μέλος)

Για να φύγει η παράγωγος θα πρέπει ολοκληρώσουμε κατά μέλη (χρήση ορισμένου ολοκληρώματος), και έχουμε διαδοχικά:

$\Leftrightarrow \int \left(e^{-x}f(x) \right) ' dx=\int e^{-x}dx\Leftrightarrow e^{-x}f(x)=-e^{-x}+c\Leftrightarrow$

(παρατηρούμε ότι η παράγωγος της παράγουσας πρέπει να είναι η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση)

και έχουμε διαδοχικά:

$f(x)=\frac{-e^{-x}}{e^{-x}}+ce^x\Leftrightarrow f(x)=ce^x -1$

(εδώ βρήκαμε μια οικογένεια συναρτήσεων για διάφορες τιμές της σταθεράς c, c είναι η σταθερά ολοκλήρωσης)

Εμείς θέλουμε όμως να χρησιμοποιήσουμε την (αρχική) συνθήκη που μας δίνει για να βρούμε τη συγκεκριμένη συνάρτηση της οικογένειας:

αν $x=0$ έχουμε,

$f(0)=c-1\Rightarrow 1=c-1\Rightarrow c=2$

και βρήκαμε τη σταθερά

άρα, $f(x)=2e^{x}-1$ .

___________________________________________________________
(Αν ζητούσε και γραφική παράσταση, θα ήταν κάπως έτσι)

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Συνημμένα

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Συνημμένα

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Συνημμένα

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Συνημμένα

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος