Μπορεί κανείς να μου δώσει ένα χεράκι βοηθείας; Βρίσκομαι στην παράγραφο της αντίστροφης συνάρτησης και ο καθηγητής μου μας έδωσε κάτι δύσκολες ασκήσεις. Το σκεπτικό της λύσης θέλω μόνο!
1)Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 1/x και h(x) =1/ x+2 με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημα Δ = (0, + άπειρο)
α) Να βρείτε μια συνάρτηση g ώστε f o g = h
β) Να βρείτε μια συνάρτηση g ώστε φ o f = h
2) Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη στο R για την οποία ισχύει (f o f) (x) + x = 0 για κάθε x ε R (1)
Να αποδειχτεί ότι: I) η f είναι συνάρτηση 1-1
ΙΙ) η f δεν είναι γνησίως μονότονη
ΙΙΙ) η f είναι περιττή
ΙV) f(0) = 0

Ευχαριστώ προκαταβολικά!
Θα σου απαντήσω για την δεύτερη άσκηση, δεν ξέρω αν σε πρόλαβα...
Ι) Από την δοσμένη σχέση ισχύει ότι: (fof)(x) + χ=0 <=> (fof)(x)=-x (1)
Επομένως για κάθε χ1,χ2 ε R με f(x1)=f(x2) => f(f(x1))=f(f(x2)) => (fof)(x1)=(fof)(x2) και λόγω της (1) : -x1=-x2 => x1=x2. Άρα η f είναι ''1-1''
ΙΙ) Υπάρχουν διάφορες λύσεις σε αυτό, σου παραθέτω αυτήν που χρησιμοποιούσα εγώ:
Έστω ότι η f είναι γν. αύξουσα σε όλο το πεδίο ορισμού της. Τότε:
Για x1<x2 => f(x1)<f(x2) => f(f(x1))<f(f(x2)) και,λόγω της (1), -x1<-x2 => x1>x2,άτοπο, αφού υποθέσαμε ότι x1<x2
Όμοια δουλεύουμε και στην περίπτωση της γν. φθίνουσας. Επομένως, η f δεν διατηρεί μονοτονία.
ΙΙΙ)Εφόσον xεR, θέτοντας όπου x το f(x) έχουμε: (fof)(f(x))+f(x)=0 => f(f(f(x)))=-f(x) => f((fof)(x))=-f(x) και λόγω της (1) : f(-x)=-f(x). Φυσικά ισχύει και η πρώτη προυπόθεση, δηλαδή ότι για κάθε xεR και το -xεR,αφού το πεδίο ορισμού είναι το R. Επομένως, η f είναι περιττή.
ΙV) Εφόσον η f είναι περιττή, ισχύει: Για κάθε xεR και το -xεR. Επίσης, ισχύει ότι:
f(-x)=-f(x). Θέτοντας όπου x το 0, παίρνουμε: f(0)=-f(0) => 2f(0)=0 => f(0)=0

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.