Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[Jonas]

παιδια οποιος ξερει ας μου λυσει τα παρακατω

να βρειτε το μηγαδικο z αν ισχυει: z^2 - 2zi -1 +2i = 0

Σε τέτοιες ασκήσεις, αντικαθιστούμε πάντα τον μιγαδικό με x+yi, όπου x,y πραγματικοί. Τροποποιούμε την εξίσωση κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να έχουμε στο αριστερό μέλος μία παράσταση και στο δεξί το 0 και παίρνουμε τελικά το πραγματικό μέρος του αριστερού μέλους να είναι ίσο με 0, το ίδιο και για το φανταστικό, λύνοντας το σύστημα που προκύπτει ως προς x,y. Η λύση:

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Βλα]

Σε τέτοιες ασκήσεις, αντικαθιστούμε πάντα τον μιγαδικό με x+yi, όπου x,y πραγματικοί. Τροποποιούμε την εξίσωση κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να έχουμε στο αριστερό μέλος μία παράσταση και στο δεξί το 0 και παίρνουμε τελικά το πραγματικό μέρος του αριστερού μέλους να είναι ίσο με 0, το ίδιο και για το φανταστικό, λύνοντας το σύστημα που προκύπτει ως προς x,y. Η λύση:

Το "πάντα" δεν ισχύει πάντα

Για παράδειγμα σε αυτήν την άσκηση μπορούσες να κερδίσεις χρόνο βγάζοντας κοινό παράγοντα το -2i και με το υπόλοιπο z²-1 εκτελώντας τη διαφορά τετραγώνων προκύπτει: -2i(z-1) + (z-1)(z+1)= (z-1)(z+1-2i) και έχει ήδη λυθεί.

Εδώ βέβαια ήταν μικρό το κακό, αλλά μπορεί να βρεθείς σε άσκηση που το θέσιμο θα σε οδηγήσει σε πολλές πράξεις.
Γενικότερα, πιστεύω ότι το να θέτεις είναι ο χειρότερος τρόπος λύσης. Εγώ τουλάχιστον το χρησιμοποιούσα μόνο όταν δεν είχα τίποτα άλλο να κάνω, σαν τελευταία επιλογή.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Jonas]

Το "πάντα" δεν ισχύει πάντα

Για παράδειγμα σε αυτήν την άσκηση μπορούσες να κερδίσεις χρόνο βγάζοντας κοινό παράγοντα το -2i και με το υπόλοιπο z²-1 εκτελώντας τη διαφορά τετραγώνων προκύπτει: -2i(z-1) + (z-1)(z+1)= (z-1)(z+1-2i) και έχει ήδη λυθεί.

Εδώ βέβαια ήταν μικρό το κακό, αλλά μπορεί να βρεθείς σε άσκηση που το θέσιμο θα σε οδηγήσει σε πολλές πράξεις.
Γενικότερα, πιστεύω ότι το να θέτεις είναι ο χειρότερος τρόπος λύσης. Εγώ τουλάχιστον το χρησιμοποιούσα μόνο όταν δεν είχα τίποτα άλλο να κάνω, σαν τελευταία επιλογή.

Σ΄ευχαριστώ! Θα το έχω υπόψη.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Maria_Spring]

Μπορεί κανείς να μου δώσει ένα χεράκι βοηθείας; Βρίσκομαι στην παράγραφο της αντίστροφης συνάρτησης και ο καθηγητής μου μας έδωσε κάτι δύσκολες ασκήσεις. Το σκεπτικό της λύσης θέλω μόνο!

1)Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 1/x και h(x) =1/ x+2 με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημα Δ = (0, + άπειρο)
α) Να βρείτε μια συνάρτηση g ώστε f o g = h
β) Να βρείτε μια συνάρτηση g ώστε φ o f = h

2) Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη στο R για την οποία ισχύει (f o f) (x) + x = 0 για κάθε x ε R (1)
Να αποδειχτεί ότι: I) η f είναι συνάρτηση 1-1
ΙΙ) η f δεν είναι γνησίως μονότονη
ΙΙΙ) η f είναι περιττή
ΙV) f(0) = 0

Ευχαριστώ προκαταβολικά!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[nPb]

1)Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 1/x και h(x) =1/ x+2 με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημα Δ = (0, + άπειρο)
α) Να βρείτε μια συνάρτηση g ώστε f o g = h
β) Να βρείτε μια συνάρτηση g ώστε g o f = h

ΛΥΣΗ- ΥΠΟΔΕΙΞΗ

1). Πρέπει να καταλάβεις ότι η σύνθετη συνάρτηση σημαίνει ότι:

(fog)(x)=f(g(x)) ---> το οποίο και σημαίνει: ότι το x της f είναι το g(x)

οπότε f(g(x))=h(x) => 1/g(x) = 1/ x+2 και με πράξεις βγαίνει η g(x)

(έκανα αντικατάσταση όπου x το g(x) για την f, δηλαδή, f=1/g)

όντως η g είναι εκείνη η συνάρτηση που ικανοποιεί την συνθήκη (ισότητα) που θέλουμε: fog=h (να κάνεις επαλήθευση πάντα)


Y.Γ. Στο (β) εννοείς να βρεθεί μια συνάρτηση g και όχι φ, έτσι; Το διόρθωσα στο post σου. Στο χρόνο που έχω θα σου απαντήσω και τη δεύτερη άσκηση.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[nPb]

Σημαντική κατανόηση:

Μετάφραση του πεδίου ορισμού: Τι σημαίνει διάστημα Δ=(0,+οο)

το διάστημα Δ εξαιρεί τιμές που "καταστρέφουν" την f και h

σημαίνει ότι οι δυο συναρτήσεις παίρνουν όλες τις τιμές του IR αρχομένου του μηδενός 0, πλην του μηδενός 0, δηλ., το x δεν μπορεί να είναι μηδέν, που σημαίνει ότι τα χ παίρνουν τιμές από και 1,2,3,..., +οο

μάλιστα η f=1/χ δεν μπορεί να οριστεί για x=0 (προσοχή αυτό!!!): διαίρεση με το 0 δεν ορίζεται

(η συνάρτηση h=1/χ+2 δεν μπορεί να οριστεί για χ= -2, γιατί οδηγούμαστε πάλι σε χ=0, βέβαια το διάστημα Δ δεν περιέχει αρνητικές τιμές, ουσιαστικά εξαιρεί τιμές που "καταστρέφουν" την h, όπως το χ= -2)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[vasnik]

Στην δευτερη που θελει g(f(x)) δοκιμασε αυτο
g(1/x)= 1/(x+2) θετω 1/χ= ω (1) <=> x=1/ω (2)
<= μεσω της (1), (2)=> g(ω) = 1/(1/ω+2) <=> g(ω)= 1/[ (1+2ω)/ω]<=>
g(ω)=ω/(1+2ω)
αρα, g(x)=x/(1+2x)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Maria_Spring]

Ναι δίκιο έχεις, την ζητάει την φ(x) Συγγνώμη τυπογραφικό λάθος βιασύνης!
Σας ευχαριστώ όλους θερμά για τις απαντήσεις σας!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[panabarbes]

Μπορεί κανείς να μου δώσει ένα χεράκι βοηθείας; Βρίσκομαι στην παράγραφο της αντίστροφης συνάρτησης και ο καθηγητής μου μας έδωσε κάτι δύσκολες ασκήσεις. Το σκεπτικό της λύσης θέλω μόνο!

1)Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 1/x και h(x) =1/ x+2 με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημα Δ = (0, + άπειρο)
α) Να βρείτε μια συνάρτηση g ώστε f o g = h
β) Να βρείτε μια συνάρτηση g ώστε φ o f = h

2) Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη στο R για την οποία ισχύει (f o f) (x) + x = 0 για κάθε x ε R (1)
Να αποδειχτεί ότι: I) η f είναι συνάρτηση 1-1
ΙΙ) η f δεν είναι γνησίως μονότονη
ΙΙΙ) η f είναι περιττή
ΙV) f(0) = 0

Ευχαριστώ προκαταβολικά!

Θα σου απαντήσω για την δεύτερη άσκηση, δεν ξέρω αν σε πρόλαβα...

Ι) Από την δοσμένη σχέση ισχύει ότι: (fof)(x) + χ=0 <=> (fof)(x)=-x (1)

Επομένως για κάθε χ1,χ2 ε R με f(x1)=f(x2) => f(f(x1))=f(f(x2)) => (fof)(x1)=(fof)(x2) και λόγω της (1) : -x1=-x2 => x1=x2. Άρα η f είναι ''1-1''

ΙΙ) Υπάρχουν διάφορες λύσεις σε αυτό, σου παραθέτω αυτήν που χρησιμοποιούσα εγώ:

Έστω ότι η f είναι γν. αύξουσα σε όλο το πεδίο ορισμού της. Τότε:
Για x1<x2 => f(x1)<f(x2) => f(f(x1))<f(f(x2)) και,λόγω της (1), -x1<-x2 => x1>x2,άτοπο, αφού υποθέσαμε ότι x1<x2
Όμοια δουλεύουμε και στην περίπτωση της γν. φθίνουσας. Επομένως, η f δεν διατηρεί μονοτονία.

ΙΙΙ)Εφόσον xεR, θέτοντας όπου x το f(x) έχουμε: (fof)(f(x))+f(x)=0 => f(f(f(x)))=-f(x) => f((fof)(x))=-f(x) και λόγω της (1) : f(-x)=-f(x). Φυσικά ισχύει και η πρώτη προυπόθεση, δηλαδή ότι για κάθε xεR και το -xεR,αφού το πεδίο ορισμού είναι το R. Επομένως, η f είναι περιττή.

ΙV) Εφόσον η f είναι περιττή, ισχύει: Για κάθε xεR και το -xεR. Επίσης, ισχύει ότι:
f(-x)=-f(x). Θέτοντας όπου x το 0, παίρνουμε: f(0)=-f(0) => 2f(0)=0 => f(0)=0

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest 018946]

Σημαντική κατανόηση:

Μετάφραση του πεδίου ορισμού: Τι σημαίνει διάστημα Δ=(0,+οο)

το διάστημα Δ εξαιρεί τιμές που "καταστρέφουν" την f και h

σημαίνει ότι οι δυο συναρτήσεις παίρνουν όλες τις τιμές του IR αρχομένου του μηδενός 0, πλην του μηδενός 0, δηλ., το x δεν μπορεί να είναι μηδέν, που σημαίνει ότι τα χ παίρνουν τιμές από και 1,2,3,..., +οο

μάλιστα η f=1/χ δεν μπορεί να οριστεί για x=0 (προσοχή αυτό!!!): διαίρεση με το 0 δεν ορίζεται

(η συνάρτηση h=1/χ+2 δεν μπορεί να οριστεί για χ= -2, γιατί οδηγούμαστε πάλι σε χ=0, βέβαια το διάστημα Δ δεν περιέχει αρνητικές τιμές, ουσιαστικά εξαιρεί τιμές που "καταστρέφουν" την h, όπως το χ= -2)

έχεις μεταδοτικοτητα δενν

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[patben]

Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[nPb]

έχεις μεταδοτικοτητα δενν

μίλα καθαρά

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[chester20080]

Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z

Δεν έχει κάτι το ιδιαίτερο,κάνεις τις πράξεις και βρίσκεις z=23/2 + 57i/2...Το μόνο που πρέπει να προσεχθεί είναι το (1+[i)^6=[(1+i)^2]^3=(2i)^3=-8i.
Ώπα,δεν είδα που πρόσθεσες το z στον πρώτο όρο!Περίμενε...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[panabarbes]

Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z

Δεν έχει κάτι το ιδιαίτερο,κάνεις τις πράξεις και βρίσκεις z=23/2 + 57i/2...Το μόνο που πρέπει να προσεχθεί είναι το (1+[i)^6=[(1+i)^2]^3=(2i)^3=-8i.

Προτού κάνει την διόρθωση, βρήκα το ίδιο αποτέλεσμα με τον chester.
Μετά την διόρθωση, πήγε ως εξής: (κάνε τον πολλαπλασιασμό με τον συζυγή,δεν το τελείωσα)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[chester20080]

@panabarbes
Ναι και εμένα τώρα τόσο μου βγήκε.Βγαίνει τελικά ως δια μαγείας μετά τις πράξεις z=1+3i!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[patben]

Ευχαριστώ πολύ παιδιά, έκανα λάθος με τις πράξεις και μου έβγαινε συνέχεια λάθος.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[dimidimi]

Μια μικρή βοήθεια γιατί εχω κολλήσει! Κεφαλαιο-μιγαδικοι! Αν ο z κινειται πανω σε μια ευθεια (ε1): x-y+1=0 kai w=2-i(z-1)
a) ν.δ.ο. ο w κινειται σε ευθεια, κάθετη στην (ε1).
Καμιά ιδέα?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[dimidimi]

Καμιά βοήθεια?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[chester20080]

Μια μικρή βοήθεια γιατί εχω κολλήσει! Κεφαλαιο-μιγαδικοι! Αν ο z κινειται πανω σε μια ευθεια (ε1): x-y+1=0 kai w=2-i(z-1)
a) ν.δ.ο. ο w κινειται σε ευθεια, κάθετη στην (ε1).
Καμιά ιδέα?

Τώρα αν θυμάμαι καλά γιατί έχω ψιλοσκουριάσει...
Έστω z=α+βi,w=χ+ψi.Τότε αφού ο z κινείται στην ε1 ισχύει α-β+1=0<=>α-β=-1 (1)
Αντικαθιστώ στη σχέση w=2-i(z-1) τα w,z, κάνω τις πράξεις και από ισότητα μιγαδικών προκύπτει (λύνοντας ως προς α,β):β=χ-2 και α=1-ψ.Αφαιρώ κατά μέλη και από (1) συνεπάγεται ότι -1=1-ψ-χ+2<=>(ε2)ψ=-χ+4.Αν λ1 ο συντελ. διεύθ. της ε1 και λ2 της ε2 τότε ισχύει λ1*λ2=-1*1=-1 άρα οι δύο ευθείες είναι κάθετες μεταξύ τους.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[rebel]

Αν τότε επειδή ο z κινείται στην συγκεκριμένη ευθεία, θα ισχύει . Άρα οπότε αντικαθιστώντας στην έκφραση του w προκύπτει . Αν τότε



Η απαλοιφή του α γίνεται εύκολα με πρόσθεση κατά μέλη και έτσι παίρνουμε . Η ευθεία με την εξίσωση αυτή είναι προφανώς κάθετη στην ευθεία που κινείται ο z αφού το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης είναι -1.
Εdit:Με πρόλαβαν, το αφήνω για τον κόπο.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.