Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

greekgohan · 02-02-13

Συναρτηση f συνεχης και f:[0,1]-->IR.Ισχυει f(0)=f(1).Nα δειξω οτι υπαρχει ξ στο (0,1) ωστε f(ξ)=f(ξ+1/3).
Γινεται να πω εστω οτι ισχυει η ισοτητα,να συνεχισω με bolzano και φτανοντας στο οτι υπαρχει ριζα να πω οτι ισχυει? Κατι δεν μου αρεσει με αυτη την προσεγγιση...

rebel · 3 Φεβρουαρίου 2013

Θεωρείς την συνάρτηση
$g(x)=f\left(x+\frac{1}{3}\right)-f(x)$
Παρατήρησε τώρα ότι
$g(0)+g \left( \frac{1}{3} \right) + g \left( \frac{2}{3} \right) = f(1)-f(0)=0$
Δηλαδή το άθροισμα τριών αριθμών κάνει 0. Αυτό σημαίνει ότι είτε είναι και οι τρεις μηδέν οπότε το ζητούμενο είναι προφανές, είτε δύο από αυτούς είναι ετερόσημοι καθώς αν ήταν όλοι ομόσημοι το άθροισμα θα ήταν θετικός ή αρνητικός αριθμός. Έτσι αν για παράδειγμα είναι
$g(0)g \left( \frac{1}{3} \right)<0$
με Βολτζανο στο $\left[0,\frac{1}{3} \right]$ παίρνουμε το ζητούμενο.

Έγινε επεξεργασία, δες κόκκινα γράμματα.

*Serena* · 02-02-13

Να βρείτε τις τιμές του αεR ώστε η f να ικανοποιει τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [0, π/2]
f(x)= x^2*ημ2/x για x διάφορο του μηδενός.
α για x =0
Λιγη βοήθεια γιατί άλλο α βγάζω από τη συνέχεια, άλλο από την ισότητα των τιμών στα άκρα και από την παραγωγισιμότητα δεν βγαίνει. :worry:

P@NT?LO$ · 03-02-13

1Αν $f:\left(a ,+\propto \right)\rightarrow R$ ειναι παραγωγισιμη με $\lim_{x\rightarrow +\propto }f(x)=\lambda \varepsilon R$ και υπαρχει το οριο $\lim_{x\rightarrow +\propto }(f'(x)+f(x))$ να δειξετε οτι $\lim_{x\rightarrow +\propto }f'(x)=0$

2Εστω η συναρτηση $Εστω η συναρτηση f(x)\begin{cases} \lambda +x{e}^{-\frac{1}{x}}& \text{ if } x>0 \\ 0 & \text{ if } x=0 \end{cases}$
i Nα βρειτε το λ ωστε η f να ειναι συνεχης
ii Για λ=0 βα βρειτε την f' και να δειξετε οτι ειναι συνεχης

rebel · 03-02-13

Αρχική Δημοσίευση από P@NT?LO$:
1Αν $f:\left(a ,+\propto \right)\rightarrow R$ ειναι παραγωγισιμη με $\lim_{x\rightarrow +\propto }f(x)=\lambda \varepsilon R$ και υπαρχει το οριο $\lim_{x\rightarrow +\propto }(f'(x)+f(x))$ να δειξετε οτι $\lim_{x\rightarrow +\propto }f'(x)=0$

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x f(x)}{e^x} \stackrel{\frac{ \pm \infty} {+\infty}\,\,DLH}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{\left( e^x f(x) \right)'}{\left( e^x \right)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x f(x)+e^x f'(x)}{e^x} = \lim_{ x \to +\infty} \left[f(x)+f'(x)\right] = \lambda$
Άρα $\lim_{x \to +\infty} f'(x) = \lim_{x \to +\infty} \left[f(x)+f'(x)-f(x) \right]=\lambda - \lambda =0$
κλεμμένο από εδώ

mary-blackrose · 03-02-13

καλησπερα!θα ηθελα τη βοηθεια σας στις παρακατω ασκησεις:
1)δινεται η συναρτηση $f\left( x \right) =xlnx-\lambda x+1,\quad \lambda \quad \in \quad R$
α)να βρειτε την ελαχιστη τιμη της f
β)να βρειτε το γεωμετρικο τοπο των σημειων Μ(x,f(x)) οπου χ η θεση ελαχιστου της f
γ)να βρειτε τη μεγαλυτερη τιμη του λ για την οποια ισχυει $\\ xlnx\ge \lambda x-1\quad \gamma \iota \alpha \quad \kappa \alpha \theta \varepsilon \quad x>0$
δ)για τη μεγαλυτερη τιμη του λ που θα βρειτε παραπανω ,να αποδειξετε οτι η ευθεια $\\ y=\lambda x-1$ εφαπτεται της γραφικης παραστασης της συναρτησης $\\ g\left( x \right) =xlnx$

2)δινεται η συναρτηση f:[-2,2]->R για την οποια γνωριζουμε οτι :
ειναι παραγωγισιμη στο [-2,2]
f'(x)<0,x ε (-2,2)
f(-2)=9 και f(2)=1
να δειξετε οτι:
α) η ευθεια y=5 τεμνει τη Cf σε μοναδικο σημειο με τετμημενη χο ε (-2,2)
β)υπαρχει μοναδικο χ1 ε(-2,2) με $f\left( { x }_{ 1 } \right) =\frac { f(-1)+f(0)+f(1) }{ 3 } \\ \\ \\$
γ)υπαρχει σημειο της Cf στο οποιο η εφαπτομενη της να ειναι παραλληλη στημ ευθεια y=-2x+2006

BILL KEXA · 03-02-13

για την άσκηση 2 το ερώτημα α ειναι ΘΕΤ και το ερώτημα β είναι μέγιστα ελάχιστα απο το κεφάλαιο της συνέχειας (νομίζω

)

Civilara · 03-02-13

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
καλησπερα!θα ηθελα τη βοηθεια σας στις παρακατω ασκησεις:
1)δινεται η συναρτηση $f\left( x \right) =xlnx-\lambda x+1,\quad \lambda \quad \in \quad R$
α)να βρειτε την ελαχιστη τιμη της f
β)να βρειτε το γεωμετρικο τοπο των σημειων Μ(x,f(x)) οπου χ η θεση ελαχιστου της f
γ)να βρειτε τη μεγαλυτερη τιμη του λ για την οποια ισχυει $\\ xlnx\ge \lambda x-1\quad \gamma \iota \alpha \quad \kappa \alpha \theta \varepsilon \quad x>0$
δ)για τη μεγαλυτερη τιμη του λ που θα βρειτε παραπανω ,να αποδειξετε οτι η ευθεια $\\ y=\lambda x-1$ εφαπτεται της γραφικης παραστασης της συναρτησης $\\ g\left( x \right) =xlnx$

α) Η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με πρώτη παράγωγο
f΄(x)=lnx+1-λ, x>0

f΄(x)=0 <=> lnx+1-λ=0 <=> lnx=λ-1 <=> x=e^(λ-1)

Η f είναι συνεχής στο (0,e^(λ-1)], παραγωγίσιμη στο (0,e^(λ-1)) και ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x στο (0,e^(λ-1)). Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,e^(λ-1)]. Η f είναι συνεχής στο [e^(λ-1),+οο), παραγωγίσιμη στο (e^(λ-1),+οο) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο (e^(λ-1),+οο). Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [e^(λ-1),+οο).

Η f είναι συνεχής στο (0,+οο), γνησίως φθίνουσα στο (0,e^(λ-1)] και γνησίως αύξουσα στο [e^(λ-1),+οο). Επομένως η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x0=e^(λ-1) με τιμή f(x0)=f(e^(λ-1))=1-(e^(λ-1))

β) Το σημείο Μ(x,y) ελαχίστου της Cf έχει συντεταγμένες:

x=e^(λ-1)
y=1-(e^(λ-1))
όπου λ ανήκει R

Άρα y=1-x. Επομένως το σημείο Μ βρίσκεται στην ευθεία (ε) y=-x+1 για τις διάφορες τιμές του λ ανήκει R.

γ) Έχουμε:
xlnx>=λx-1 <=> xlnx-λx+1>=0 <=> f(x)>=0 για κάθε x>0

Εφόσον η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x0 τότε ισχύει f(x)>=f(x0) για κάθε x>0. Επομένως για να ισχύει f(x)>=0 για κάθε x>0 πρέπει να ισχύει f(x0)>=0. Έχουμε:

f(x0)=1-(e^(λ-1))=h(λ) όπου λ ανήκει R. Επομένως πρέπει να ισχύει g(λ)>=0

Η συνάρτηση h είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο h΄(λ)=-e^(λ-1)<0 για κάθε λ ανήκει R.

Η h είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R και ισχύει h΄(λ)<0 για κάθε λ ανήκει R. Άρα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο R.
Έχουμε h(1)=0.

λ<1 => h(λ)>h(1) =>h(λ)>0
λ>1 => h(λ)<h(1) => h(λ)<0

Επομένως για λ<=1 ισχύει h(λ)>=0. Η μέγιστη τιμή του λ για την οποία f(x)>=0 για κάθε x>0 είναι η λmax=1.

δ) Για λ=1 η ευθεία είναι η (ζ) y=x-1

Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με πρώτη παράγωγο g΄(x)=lnx+1, x>0

Θα προσδιορίσουμε την εφαπτομένη της Cg στο σημείο A(1,g(1)). Έχουμε g(1)=0 και g΄(1)=1. Συνεπώς

y-g(1)=g΄(1)(x-1) <=> y-0=1*(x-1) <=> y=x-1

Άρα η (ζ) είναι εφαπτομένη της Cg στο σημείο Α(1,g(1)).

mary-blackrose · 03-02-13

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
α) Η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με πρώτη παράγωγο
f΄(x)=lnx+1-λ, x>0

f΄(x)=0 <=> lnx+1-λ=0 <=> lnx=λ-1 <=> x=e^(λ-1)

Η f είναι συνεχής στο (0,e^(λ-1)], παραγωγίσιμη στο (0,e^(λ-1)) και ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x στο (0,e^(λ-1)). Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,e^(λ-1)]. Η f είναι συνεχής στο [e^(λ-1),+οο), παραγωγίσιμη στο (e^(λ-1),+οο) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο (e^(λ-1),+οο). Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [e^(λ-1),+οο).

Η f είναι συνεχής στο (0,+οο), γνησίως φθίνουσα στο (0,e^(λ-1)] και γνησίως αύξουσα στο [e^(λ-1),+οο). Επομένως η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x0=e^(λ-1) με τιμή f(x0)=f(e^(λ-1))=1-(e^(λ-1))

β) Το σημείο Μ(x,y) ελαχίστου της Cf έχει συντεταγμένες:

x=e^(λ-1)
y=1-(e^(λ-1))
όπου λ ανήκει R

Άρα y=1-x. Επομένως το σημείο Μ βρίσκεται στην ευθεία (ε) y=-x+1 για τις διάφορες τιμές του λ ανήκει R.

γ) Έχουμε:
xlnx>=λx-1 <=> xlnx-λx+1>=0 <=> f(x)>=0 για κάθε x>0

Εφόσον η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x0 τότε ισχύει f(x)>=f(x0) για κάθε x>0. Επομένως για να ισχύει f(x)>=0 για κάθε x>0 πρέπει να ισχύει f(x0)>=0. Έχουμε:

f(x0)=1-(e^(λ-1))=h(λ) όπου λ ανήκει R. Επομένως πρέπει να ισχύει g(λ)>=0

Η συνάρτηση h είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο h΄(λ)=-e^(λ-1)<0 για κάθε λ ανήκει R.

Η h είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R και ισχύει h΄(λ)<0 για κάθε λ ανήκει R. Άρα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο R.
Έχουμε h(1)=0.

λ<1 => h(λ)>h(1) =>h(λ)>0
λ>1 => h(λ)<h(1) => h(λ)<0

Επομένως για λ<=1 ισχύει h(λ)>=0. Η μέγιστη τιμή του λ για την οποία f(x)>=0 για κάθε x>0 είναι η λmax=1.

δ) Για λ=1 η ευθεία είναι η (ζ) y=x-1

Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με πρώτη παράγωγο g΄(x)=lnx+1, x>0

Θα προσδιορίσουμε την εφαπτομένη της Cg στο σημείο A(1,g(1)). Έχουμε g(1)=0 και g΄(1)=1. Συνεπώς

y-g(1)=g΄(1)(x-1) <=> y-0=1*(x-1) <=> y=x-1

Άρα η (ζ) είναι εφαπτομένη της Cg στο σημείο Α(1,g(1)).

σ ευχαριστω πολυ!!

aris-bas · 04-02-13

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
2)δινεται η συναρτηση f:[-2,2]->R για την οποια γνωριζουμε οτι :
ειναι παραγωγισιμη στο [-2,2]
f'(x)<0,x ε (-2,2)
f(-2)=9 και f(2)=1
να δειξετε οτι:
α) η ευθεια y=5 τεμνει τη Cf σε μοναδικο σημειο με τετμημενη χο ε (-2,2)
β)υπαρχει μοναδικο χ1 ε(-2,2) με $f\left( { x }_{ 1 } \right) =\frac { f(-1)+f(0)+f(1) }{ 3 } \\ \\ \\$
γ)υπαρχει σημειο της Cf στο οποιο η εφαπτομενη της να ειναι παραλληλη στημ ευθεια y=-2x+2006

επειδη ενδιαφερομαι και γω για αυτες τις ασκησεις μηπως ειναι ευκολο να λυσει καποιος το β) και το γ) ερωτημα απο τη 2η ασκηση??? :confused:

greekgohan · 4 Φεβρουαρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
2)δινεται η συναρτηση f:[-2,2]->R για την οποια γνωριζουμε οτι :
ειναι παραγωγισιμη στο [-2,2]
f'(x)<0,x ε (-2,2)
f(-2)=9 και f(2)=1
να δειξετε οτι:
α) η ευθεια y=5 τεμνει τη Cf σε μοναδικο σημειο με τετμημενη χο ε (-2,2)
β)υπαρχει μοναδικο χ1 ε(-2,2) με $f\left( { x }_{ 1 } \right) =\frac { f(-1)+f(0)+f(1) }{ 3 } \\ \\ \\$
γ)υπαρχει σημειο της Cf στο οποιο η εφαπτομενη της να ειναι παραλληλη στημ ευθεια y=-2x+2006

A) Kανεις bolzano για την g(x)=f(x)-5 στο [-2.2] και φτανεις στο ζητουμενο
Β)Κανεις τρεις φορες bolzano για g1(x)=f(x)-f(-1),g2(x)=f(x)-f(0) και g3(x)=f(x)-f(1) στο [-2,2].Επειδη f'(x)<0 ,f φθηνουσα στο διαστημα αυτο και συνεπως υπαρχει μοναδικο χ1 ωστε να ισχυει g1(x)=0 g2(x)=0 και g3(x)=0.Στο τελος κανεις προσθεση και τις τρεις συναρτησεις.
Γ)θα πρεπει f'(x)=-2 αρα θεωρουμε h(x)=f(x)+2x και με θεωρημα Rolle στο [-2,2] βγαινει το ζητουμενο...

Ας δει καποιος το Β) για να πει με σιγουρια οτι ειναι σωστο γιατι εχω ενδιασμους...

φρι · 04-02-13

Αρχική Δημοσίευση από greekgohan:
A) Kανεις bolzano για την g(x)=f(x)-5 στο [-2.2] και φτανεις στο ζητουμενο
Β)Κανεις τρεις φορες bolzano για g1(x)=f(x)-f(-1),g2(x)=f(x)-f(0) και g3(x)=f(x)-f(1) στο [-2,2].Επειδη f'(x)<0 ,f φθηνουσα στο διαστημα αυτο και συνεπως υπαρχει μοναδικο χ1 ωστε να ισχυει g1(x)=0 g2(x)=0 και g3(x)=0.Στο τελος κανεις προσθεση και τις τρεις συναρτησεις.
Γ)θα πρεπει f'(x)=-2 αρα θεωρουμε h(x)=f(x)+2x και με θεωρημα Rolle στο [-2,2] βγαινει το ζητουμενο...

Ας δει καποιος το Β) για να πει με σιγουρια οτι ειναι σωστο γιατι εχω ενδιασμους...

Για το Β ειναι με τον συνδυασμο των θεωρηματων μεγιστης-ελαχιστης και ενδιαμεσων τιμων!

(νομίζω)

υγ.βεβαια,μπορει να βγαινει και με μπολζανο,αλλα πολυ κουραστικο..

greekgohan · 04-02-13

Αρχική Δημοσίευση από φρι:
Για το Β ειναι το τεχνασμα με τον συνδυασμο των θεωρηματων μεγιστης-ελαχιστης και ενδιαμεσων τιμων!

υγ.βεβαια,μπορει να βγαινει και με μπολζανο,αλλα πολυ κουραστικο..

Εκει που κολλαω ειναι οτι δεν νομιζω να ειναι το ιδιο χ και στις 3 συναρτησεις η λυση.

rebel · 04-02-13

Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο $[-2,2]$ είναι
$f(2)<f(-1)<f(-2)$
$f(2)<f(0)<f(-2)$
$f(2)<f(1)<f(-2)$
Προσθέτουμε κατά μέλη και παίρνουμε
$<3$ f(-2) \Rightarrow \\ f(2)< \frac{f(-1)+f(0)+f(1)}{3} < f(-2)" />
Λόγω του ΘΕΤ υπάρχει ένα $x_1 \in (-2,2)$ τέτοιο ώστε
$f(x_1)=\frac{f(-1)+f(0)+f(1)}{3}$
Αν ήθελε κάποιος με Βολτζανο μπορούσε να πάρει την $g(x)=f(-1)+f(0)+f(1)-3f(x),\,\,x \in [-2,2]$ με τα ίδια αποτελέσματα.

P@NT?LO$ · 04-02-13

Εστω η συναρτηση $f(x)\begin{cases} \lambda +x{e}^{-\frac{1}{x}}& \text{ if } x>0 \\ 0 & \text{ if } x=0 \end{cases}$
i Nα βρειτε το λ ωστε η f να ειναι συνεχης
ii Για λ=0 βα βρειτε την f' και να δειξετε οτι ειναι συνεχης
!!!!μη δωσετε σημασια στο που γραφει,δεν ξερω πως βγαινει!!!! ασ την λυσει καποιος

antonisd95 · 04-02-13

Αρχική Δημοσίευση από P@NT?LO$:
Εστω η συναρτηση $f(x)\begin{cases} \lambda +x{e}^{-\frac{1}{x}}& \text{ if } x>0 \\ 0 & \text{ if } x=0 \end{cases}$
i Nα βρειτε το λ ωστε η f να ειναι συνεχης
ii Για λ=0 βα βρειτε την f' και να δειξετε οτι ειναι συνεχης
!!!!μη δωσετε σημασια στο που γραφει,δεν ξερω πως βγαινει!!!! ασ την λυσει καποιος

Η χρήση και το διάβασμα του σχολικού βιβλίου δεν βλάπτει.
Απλή χρήση του θεωρήματος της συνέχειας στην σελίδα 188 και της παραγώγου στην σελίδα 213.

JKaradakov · 04-02-13

Μια ερώτηση. Έχω μια συνάρτηση f δις παραγωγίσημη.
Κάνω Θ.Rolle στην f και βγάζω ξ που ανείκη στο (α,β): f'(ξ)=0
Κάνω Θ.Rolle στην f' και βγάζω ξ που ανείκη στο (α,β): f''(ξ)=0
Αυτά τα δύο ξ δεν είναι το ίδιο, έτσι;
Μπορεί να είναι αλλά μπορεί και να μην είναι.

greekgohan · 04-02-13

Αρχική Δημοσίευση από JKaradakov:
Μια ερώτηση. Έχω μια συνάρτηση f δις παραγωγίσημη.
Κάνω Θ.Rolle στην f και βγάζω ξ που ανείκη στο (α,β): f'(ξ)=0
Κάνω Θ.Rolle στην f' και βγάζω ξ που ανείκη στο (α,β): f''(ξ)=0
Αυτά τα δύο ξ δεν είναι το ίδιο, έτσι;
Μπορεί να είναι αλλά μπορεί και να μην είναι.

Μα και με την λογικη να το δεις,δεν ειναι απαραιτητο να ειναι το ιδιο,δοκιμασε το με μια τυχαια συναρτηση...

φρι · 04-02-13

Αρχική Δημοσίευση από JKaradakov:
Μια ερώτηση. Έχω μια συνάρτηση f δις παραγωγίσημη.
Κάνω Θ.Rolle στην f και βγάζω ξ που ανείκη στο (α,β): f'(ξ)=0
Κάνω Θ.Rolle στην f' και βγάζω ξ που ανείκη στο (α,β): f''(ξ)=0
Αυτά τα δύο ξ δεν είναι το ίδιο, έτσι;
Μπορεί να είναι αλλά μπορεί και να μην είναι.

Γιατί χρησιμοποιείς ξ και στο δεύτερο Rolle? Βαλε x0. Αν και δεν είναι απαραίτητο να είναι ίδια, εσυ αποδεικνύεις ότι είναι.

JKaradakov · 04-02-13

Αρχική Δημοσίευση από greekgohan:
Μα και με την λογικη να το δεις,δεν ειναι απαραιτητο να ειναι το ιδιο,δοκιμασε το με μια τυχαια συναρτηση...

Οκ, ευχαριστώ!

Αρχική Δημοσίευση από φρι:
Γιατί χρησιμοποιείς ξ και στο δεύτερο Rolle? Βαλε x0. Αν και δεν είναι απαραίτητο να είναι ίδια, εσυ αποδεικνύεις ότι είναι.

Έστω!

Πάρε ξ1 και ξ2. Το θέμα μου είναι ότι μπορεί να είναι αλλά μπορεί και να μην είναι ίσα. Αυτό ρωτάω.

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Τιμώμενο Μέλος