Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

P@NT?LO$ · 30-01-13

1Δινεται η εξισωση $2{x}^{3}-3{x}^{2}+6x+\lambda =0$ , $\lambda \varepsilon R$
i Να δειξετε οτι για καθε $\lambda \varepsilon R$ η εξισωση εχει μονο μια ριζα
ii Να βρειτε τις τιμες του λ ωστε η εξισωση να εχει μοναδικη ριζα στο διαστημα (0,1)

τη θετω f(x) βρισκω την 1η παραγωγο $12{x}^{2}-12x+6$ και μετα τη 2η $12x-12$ αρα εχω οτι η 1η παραγωγος ειναι γνησιως αυξουσα για καθε x>1 Μετα τι κανω για να δειξω τα παραπανω??

Civilara · 30-01-13

Αρχική Δημοσίευση από P@NT?LO$:
1Δινεται η εξισωση $2{x}^{3}-3{x}^{2}+6x+\lambda =0$ , $\lambda \varepsilon R$
i Να δειξετε οτι για καθε $\lambda \varepsilon R$ η εξισωση εχει μονο μια ριζα
ii Να βρειτε τις τιμες του λ ωστε η εξισωση να εχει μοναδικη ριζα στο διαστημα (0,1)

τη θετω f(x) βρισκω την 1η παραγωγο $12{x}^{2}-12x+6$ και μετα τη 2η $12x-12$ αρα εχω οτι η 1η παραγωγος ειναι γνησιως αυξουσα για καθε x>1 Μετα τι κανω για να δειξω τα παραπανω??

Έχει λυθεί στο #6144

P@NT?LO$ · 30-01-13

1)Εστω μια συναρτηση $f:R\rightarrow R$ η οποια ειναι παραγωγισιμη και ισχυει ${f}^{3}(x)+f(x)={e}^{x}-x+1$ για καθε x που ανηκει στο R. Να εξετασετε την f ως προς τη μονοτονια και τα ακροτατα.

2) Εστω μια συναρτηση $f:\left(0,+\propto \right)\rightarrow R$ με f(x)>0 ,για καθε x>0 η οποια ειναι παραγωγισιμη και ισχυει $lnf(x)+{e}^{f(x)}=2xlnx-3x+2\sqrt{e}+e$ για καθε x>0. Να εξετασετε την f ως προς τη μονοτονια και τα ακροτατα.

SOS τις θελω επειγοντως HELP!

Civilara · 31 Ιανουαρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από P@NT?LO$:
1)Εστω μια συναρτηση $f:R\rightarrow R$ η οποια ειναι παραγωγισιμη και ισχυει ${f}^{3}(x)+f(x)={e}^{x}-x+1$ για καθε x που ανηκει στο R. Να εξετασετε την f ως προς τη μονοτονια και τα ακροτατα.

Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=(x^3)+x, x ανήκει Dg=R. Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:
g΄(x)=3(x^2)+1>=1>0 για κάθε x ανήκει R.

Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει R. Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο R, άρα και 1-1. Επομένως ισχύει η ισοδυναμία:

y=g(x) <=> x=(g-1)(y) για κάθε x ανήκει Dg=R, y ανήκει g(Dg)=R

Είναι g(1)=2 <=> (g-1)(2)=1

lim(x->-oo)g(x)=lim(x->-oo)[(x^3)+x]=lim(x->-oo)(x^3)=-oo
lim(x->+oo)g(x)=lim(x->+oo)[(x^3)+x]=lim(x->-oo)(x^3)=+oo

Η g είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R, οπότε g(Dg)=g(R)=(lim(x->-oo)g(x),lim(x->+oo)g(x))=(-oo,+oo)=R

Θεωρούμε την σύνθεση (gof)(x)=g(f(x))=[f(x)^3]+f(x). Για να ορίζεται η gof πρέπει x ανήκει Df=R και f(x) ανήκει Dg=R. Άρα Dgof=R. Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο Df=R και η g είναι παραγωγίσιμη στο f(Df) υποσύνολο του R τότε η gof είναι παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:

(gof)΄(x)=g΄(f(x))f΄(x)=[3(f(x)^2)+1]f΄(x), x ανήκει R

Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=(e^x)-x+1, x ανήκει Dh=R. Η h είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:
h΄(x)=(e^x)-1. Έχουμε h΄(0)=0.

Η h είναι συνεχής στο (-οο,0], παραγωγίσιμη στο (-οο,0) και ισχύει h΄(x)<0 για κάθε x ανήκει (-οο,0). Άρα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο (-οο,0]. Η h είναι συνεχής στο [0,+οο), παραγωγίσιμη στο (0,+οο) και ισχύει h΄(x)>0 για κάθε x ανήκει (0,+οο). Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+οο).

Η h είναι συνεχής στο R, γνησίως φθίνουσα στο (-οο,0] και γνησίως αύξουσα στο [0,+οο). Άρα η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x0=0 με τιμή h(0)=2

h(x)>=h(0) <=> h(x)>=2>0 για κάθε x ανήκει R

Η εξίσωση [f(x)^3]+f(x)=(e^x)-x+1 γράφεται ισοδύναμα

(gof)(x)=h(x) <=> g(f(x))=h(x) για κάθε x ανήκει R

Επομένως

(gof)΄(x)=h΄(x) <=> [3(f(x)^2)+1]f΄(x)=h΄(x) <=> f΄(x)=h΄(x)/ [3(f(x)^2)+1]=[(e^x)-1]/[3(f(x)^2)+1]

Η f είναι συνεχής στο (-οο,0], παραγωγίσιμη στο (-οο,0) και ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x ανήκει (-οο,0). Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-οο,0]. Η f είναι συνεχής στο [0,+οο), παραγωγίσιμη στο (0,+οο) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει (0,+οο). Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+οο).

Η f είναι συνεχής στο R, γνησίως φθίνουσα στο (-οο,0] και γνησίως αύξουσα στο [0,+οο). Άρα η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x0=0.

Για x=0 έχουμε
g(f(0))=h(0) <=> f(0)=(g-1)(h(0)) <=> f(0)=(g-1)(2) <=> f(0)=1

Άρα f(x)>=f(0) <=> f(x)>=1 για κάθε x ανήκει R.

P@NT?LO$ · 31-01-13

λαθος ειναι φιλε..

lowbaper92 · 31-01-13

Αρχική Δημοσίευση από P@NT?LO$:
λαθος ειναι φιλε..

Ναι, έκανε ένα μικρό λαθάκι σε κάποιο σημείο, το οποίο μεταφέρθηκε παρακάτω. Φαντάζομαι όμως μπορείς να τη λύσεις τώρα.

ΥΓ. Civilara, αυτό που κάνεις με τη σύνθεση είναι περιττό. Σου λέει ότι είναι παραγωγίσιμη η f, οπότε την παραγωγίζεις κατευθείαν. 3 ώρες είναι οι εξετάσεις, όχι 3 μέρες

P@NT?LO$ · 31-01-13

αυτη λυθηκε οκ..την αλλη με τον lnx e κτλ??

antonisd95 · 31-01-13

Αρχική Δημοσίευση από P@NT?LO$:
λαθος ειναι φιλε..

Δεν φτάνει που αφιέρωσε τόσο χρόνο για να στη λύσει, και εσύ του βάζεις και -1 και του επισημαίνεις ένα μικρό λαθάκι.

Ergotelis · 31-01-13

1Δινεται η συναρτηση $f(x)=\lambda {e}^{\lambda x}-{x}^{2}-\frac{2}{{\lambda }^{2}}$ , λ>0
ι Να βρειτε τα σημεια καμπης της Cf
ιι να βρειτε το συνολο τιμων των τετμημενων των σημειων καμπης της Cf
ιιι να βρειτε το γεωμετρικο τοπο των σημειων καμπης Μ της Cf

2Eστω μια συναρτηση $f:\left(0,1 \right)\rightarrow R$ η οποια ειναι δυο φορες παραγωγισιμη και ισχυει $f(x)(2f(x)-1)=x-{x}^{2}$ , για καθε $x\varepsilon \left(0,1 \right)$ . Να δειξετε οτι η f δεν παρουσιαζει καμπη!!!

ΑΣ ΤΙΣ ΛΥΣΕΙ ΚΑΙ ΤΙΣ 2 ΚΑΠΟΙΟΣ ΠΑΡΑΚΑΛΩ!! ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ..
*ειμαι καινουργιος και θελω να με βοηθησετε ετσι ωστε να σας βοηθησω κι εγω σε κατι στο μελλον..

rebel · 31-01-13

Αρχική Δημοσίευση από Ergotelis:
2Eστω μια συναρτηση $f:\left(0,1 \right)\rightarrow R$ η οποια ειναι δυο φορες παραγωγισιμη και ισχυει $f(x)(2f(x)-1)=x-{x}^{2}$ , για καθε $x\varepsilon \left(0,1 \right)$ . Να δειξετε οτι η f δεν παρουσιαζει καμπη!!!

Έστω ότι παρουσιάζει σημείο καμπής στο $x_0 \in \mathbb{R}$ . Τότε θα είναι $f''(x_0)=0,\,\,(*)$ . Παραγωγίζοντας δύο φορές την αρχική παίρνουμε $4\left(f'(x) \right)^2+4f(x)f''(x)-f''(x)=-2,\,\,x \in \mathbb{R}$ . Για $x=x_0$ λόγω (*) έχουμε $4\left(f'(x_0) \right)^2=-2$ , άτοπο. Άρα η $f$ δεν έχει σημεία καμπής.

lowbaper92 · 31 Ιανουαρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από vimaproto:
3)Αν κάνεις τις πράξεις στην ισότητα των μέτρων που δίνει βρίσκεις $f(a).f(b)+{(ab)}^{2}=0 \Rightarrow f(a).f(b)=-{(ab)}^{2}<0$ που δηλώνει ότι μεταξύ α και β υπάρχει αριθμός ξ ώστε f(ξ)=0

2) Διαιρείς αριθμητή και παρονομαστή με χ^2 και επειδή 1/χ----> 0 απομένει ${lim}_{x\rightarrow -\propto }\frac{f(a)}{f(b)}.x\rightarrow -\propto$
αφού f(a) και f(b) λέει ότι δεν είναι μηδέν.

Ωπ τώρα το πρόσεξα αυτό. Στο όριο τα $f(a),f(b)$ είναι ετερόσημα, άρα το πηλίκο τους είναι αρνητικό, επομένως το όριο κάνει $+ \infty$

Αρχική Δημοσίευση από P@NT?LO$:
αυτη λυθηκε οκ..την αλλη με τον lnx e κτλ??

Λύνεται ακριβώς όπως η προηγούμενη. Παραγωγίζεις τη σχέση, και λύνεις ως προς $f'(x)$ . Ο παρονομαστής είναι θετικός, οπότε μελετάς το πρόσημο του αριθμητή.

vimaproto · 31-01-13

Σωστά το κλάσμα είναι αρνητικό και το όριο +οο. Sorry

tweetyslvstr · 31-01-13

παιδιά θα μπορούσε κανείς να με βοηθήσει να λύσω την εξής άσκηση γιατί ομολογώ πως δυσκολεύτηκα αρκετά :hmm:

. Λοιπόν η άσκηση έχει ως εξής: Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με Α(-2,4) και Γ(1,2). Βρείτε τις άλλες δύο κορυφές του. Παρακαλώ απαντήστε μου σύντομα.

ΚΑΛΟ ΒΡΑΔΥ!!!!!!! :sleep:

P@NT?LO$ · 31-01-13

Δινεται η συναρτηση $f(x)=\lambda {e}^{\lambda x}-{x}^{2}-\frac{2}{{\lambda }^{2}}$ , λ>0
ι Να βρειτε τα σημεια καμπης της Cf
ιι να βρειτε το συνολο τιμων των τετμημενων των σημειων καμπης της Cf
ιιι να βρειτε το γεωμετρικο τοπο των σημειων καμπης Μ της Cf

την ιδια με τον Ergotelis θελω κι εγω...ειναι σελιδα 194 ασκηση 63 μπαρλας β

vimaproto · 1 Φεβρουαρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από tweetyslvstr:
παιδιά θα μπορούσε κανείς να με βοηθήσει να λύσω την εξής άσκηση γιατί ομολογώ πως δυσκολεύτηκα αρκετά. Λοιπόν η άσκηση έχει ως εξής: Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με Α(-2,4) και Γ(1,2). Βρείτε τις άλλες δύο κορυφές του. Παρακαλώ απαντήστε μου σύντομα.
ΚΑΛΟ ΒΡΑΔΥ!!!!!!!

Βρίσκεις το μήκος ΑΓ από τις συντεταγμένες των Α και Γ.
Τότε η πλευρά του τετραγώνου είναι ΑΒ=ΒΓ=...=ΑΓ/ρίζα2
Γράφεις την εξίσωση της ΒΓ : y=λχ+κ που για τη Γ γίνεται 2=λ.1+κ ==> λ+κ=2
Γράφω τη ΒΓ: λχ-y+κ=0 και βρίσκω την απόσταση του σημείου Α από αυτή d=|λ(-2)-4+κ|/ρίζα(λ²+1)=ΑΓ/ριζα2 και έχεις δύο εξισώσεις με αγνώστους τον κ και τον λ.
Η ΒΓ//ΑΔ Αρα έχουν ίδιο λ
ΑΒ κάθετη στη ΑΔ Αρα έχει συντελεστή κατεύθυνσης -1/λ κλπ
Κουράγιο με τις πράξεις

Εγώ έκανα τις πράξεις και βρήκα
ΒΓ: y=-5x+7 y=0,2x+1,8
ΑΔ: y=-5x-6 y=0,2x+4,4
ΑΒ: y=0,2x+4,4 y=-5x-6
ΓΔ: y=0,2x+1,8 y=-5x+7

Μπορεί να φαίνονται δύο οι λύσεις αλλά το τετράγωνο είναι ένα , γιατί οι τετράδες των εξισώσεων ταυτίζονται άσχετα με την ονομασία τους

vimaproto · 01-02-13

Και η γραφική παράσταση

Civilara · 1 Φεβρουαρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από Ergotelis:
2. Eστω μια συναρτηση $f:\left(0,1 \right)\rightarrow R$ η οποια ειναι δυο φορες παραγωγισιμη και ισχυει $f(x)(2f(x)-1)=x-{x}^{2}$ , για καθε $x\varepsilon \left(0,1 \right)$ . Να δειξετε οτι η f δεν παρουσιαζει καμπη!!!

Μια διαφορετική προσέγγιση που έχει περισσότερο διδακτικό χαρακτήρα. Έχουμε

f(x)(2f(x)-1)=x-(x^2) <=> 2(f(x)^2)-f(x)=-(x^2)+x <=> 2(f(x)^2)-f(x)+(1/8 )=-(x^2)+x+(1/8 ) <=> 2{[f(x)-(1/4)]^2}=-(x^2)+x+(1/8 )

Θεωρούμε το πολυώνυμο P(x)=-(x^2)+x+(1/8 ), x ανήκει R.
Η διακρίνουσα της εξίσωσης P(x)=0 είναι Δ=(1^2)-4*(-1)*(1/8 )=3/2>0. Επομένως η εξίσωση P(x)=0 έχει δύο πραγματικές λύσεις:

x1=[2-SQRT(6)]/4
x2=[2+SQRT(6)]/4

Για να έχει λύση η 2{[f(x)-(1/4)]^2}=P(x) ως προς f(x) πρέπει να ισχύει P(x)>=0. Αυτό ισχύει όταν:
[2-SQRT(6)]/4<=x<=[2+SQRT(6)]/4

Επειδή [2-SQRT(6)]/4<0<1<[2+SQRT(6)]/4 τότε η παραπάνω εξίσωση έχει λύση για κάθε x ανήκει (0,1). Επομένως έχουμε:

2{[f(x)-(1/4)]^2}=P(x) <=> [f(x)-(1/4)]^2=P(x)/2 <=> |f(x)-(1/4)|=SQRT(P(x)/2) για 0<x<1

Αν f(x)>=1/4 για κάθε 0<x<1 τότε έχουμε
f(x)-(1/4)=SQRT(P(x)/2) <=> f(x)=(1/4)+SQRT(P(x)/2) <=> f(x)=(1/4)[1+SQRT(-8(x^2)+8x+1)]

Αν f(x)<1/4 για κάθε 0<x<1 τότε έχουμε
f(x)-(1/4)=-SQRT(P(x)/2) <=> f(x)=(1/4)-SQRT(P(x)/2) <=> f(x)=(1/4)[1-SQRT(-8(x^2)+8x+1)]

Επομένως η εξίσωση f(x)(2f(x)-1)=x-(x^2) γράφεται ισοδύναμα

[f(x)-g(x)][f(x)-h(x)]=0 για κάθε 0<x<1 όπου

g(x)=(1/4)[1-SQRT(-8(x^2)+8x+1)], 0<x<1
h(x)=(1/4)[1+SQRT(-8(x^2)+8x+1)], 0<x<1

Επομένως για δύο 0<x1<x2<1 είναι δυνατόν να ισχύει f(x1)=g(x1) και f(x2)=h(x2)

Μπορεί να αποδειχθεί ότι καμία από τις g και h δεν έχουν σημεία καμπής στο πεδίο ορισμού τους. Αυτό αφήνεται ως άσκηση.
Λαμβάνοντας υπόψη ότι οι h, g είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο (0,1) και για κάθε x ανήκει (0,1) ισχύουν οι σχέσεις:

h(x)=-g(x)+(1/2)
h΄(x)=-g΄(x)
h΄΄(x)=-g΄΄(x)

προκύπτει ότι οι h και g έχουν αντίθετα είδη μονοτονίας και κυρτότητας.

mary-blackrose · 02-02-13

1)Αν η συνάρτηση f παρουσιαζει ακροτατο σε σημείο χο του πεδίου ορισμού της τότε ισχύει ότι f'(xo)=0. Σωστό ή λάθος
2)έστω f παραγωγισιμη συνάρτηση σε διάστημα Δ και ε εφαπτομενη της Cf σε σημείο χο του Δ.Αν η f στρέφει τα κοιλα άνω στο Δ τότε η Cf δεν βρίσκεται κάτω από την ε. Σωστό ή λάθος

Εγώ νομίζω πως και το 1 και το 2 είναι σωστά...μπορεί κάποιος να το επιβεβαιώσει...???

Civilara · 2 Φεβρουαρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
1)Αν η συνάρτηση f παρουσιαζει ακροτατο σε σημείο χο του πεδίου ορισμού της τότε ισχύει ότι f'(xo)=0. Σωστό ή λάθος
2)έστω f παραγωγισιμη συνάρτηση σε διάστημα Δ και ε εφαπτομενη της Cf σε σημείο χο του Δ.Αν η f στρέφει τα κοιλα άνω στο Δ τότε η Cf δεν βρίσκεται κάτω από την ε. Σωστό ή λάθος

Εγώ νομίζω πως και το 1 και το 2 είναι σωστά...μπορεί κάποιος να το επιβεβαιώσει...???

1) Λάθος.

Για παράδειγμα η συνάρτηση f(x)=x^2 με πεδίο ορισμού Α=[1,+οο). Η f είναι παραγωγίσιμη στο [1,+οο) με πρώτη παράγωγο f΄(x)=2x, x>=1. Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x0=1 με f΄(1)=2 διάφορο 0.

Επίσης η συνάρτηση g(x)=|x| με πεδίο ορισμού το R παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x0=0 αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό.

2) Σωστό

alex2395 · 02-02-13

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
1)Αν η συνάρτηση f παρουσιαζει ακροτατο σε σημείο χο του πεδίου ορισμού της τότε ισχύει ότι f'(xo)=0. Σωστό ή λάθος
2)έστω f παραγωγισιμη συνάρτηση σε διάστημα Δ και ε εφαπτομενη της Cf σε σημείο χο του Δ.Αν η f στρέφει τα κοιλα άνω στο Δ τότε η Cf δεν βρίσκεται κάτω από την ε. Σωστό ή λάθος

Εγώ νομίζω πως και το 1 και το 2 είναι σωστά...μπορεί κάποιος να το επιβεβαιώσει...???

1.Λαθος.Δεν ειναι απαραιτητο αυτο.Θα μπορουσε να ειναι και ακρο διαστματος η σημειο οπου η φ δεν παραγωγιζεται.
2.Σωστο.Η εφαπτομενη ειναι απο κατω αφου η φ στρεφει τα κοιλα ανω

Ας με επιβεβαιωσει καποιος :confused:

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένο μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Συνημμένα

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος