2)δίνεται η συνάρτηση
α)να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β)να δείξετε ότι για κάθε

ισχύει
=x+f(-x))
γ)να βρείτε τα όρια
,\lim _{x\rightarrow \ 0 }f(x),\lim _{x\rightarrow +\propto }f(x))
δ)να μελετήσετε την

ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα
ε)να βρείτε το σύνολο τιμών της

στ)να εξετασετε αν η

είναι

ζ)να εξετάσετε αν υπάρχει εφαπτομένη της

παράλληλη στην ευθεία
α) Για να ορίζεται η f πρέπει να ισχύει ((e^x)-1)/x>0 και x διάφορο 0.
Για x<0 έχουμε:
x<0 => e^x<1 => (e^x)-1<0
Επειδή για x<0 είναι (e^x)-1<0 τότε ισχύει x((e^x)-1)>0 και ((e^x)-1)/x>0
Για x>0 έχουμε:
x>0 => e^x>1 => (e^x)-1>0
Επειδή για x>0 είναι (e^x)-1>0 τότε ισχύει x((e^x)-1)>0 και ((e^x)-1)/x>0
Επομένως για x διάφορο ισχύει x((e^x)-1)>0 και ((e^x)-1)/x>0. Συνεπώς το πεδίο ορισμού της f είναι το A=R*
β) Για κάθε x ανήκει R* έχουμε
f(-x)=ln(((e^(-x))-1)/(-x))=ln((1-(e^(-x)))/x)=ln(((e^x)-1)/(x(e^x)))=ln[(((e^x)-1)/x)*(e^(-x))]=ln(((e^x)-1)/x)+ln(e^(-x))=
=ln(((e^x)-1)/x)+(-x)lne=f(x)-x*1=f(x)-x
Άρα για κάθε x ανήκει R* ισχύει f(-x)=f(x)-x <=> f(x)=x+f(-x)
γ) Θεωρούμε την συνάρτηση F(x)=e^x. Η F είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο F΄(x)=e^x. Για x=0 έχουμε F(0)=F΄(0)=1. Από τον ορισμό της παραγώγου έχουμε:
lim(x->0)((F(x)-F(0))/(x-0))=F΄(0) <=> lim(x->0)(((e^x)-1)/x)=1
Θεωρούμε τον μετασχηματισμό u=((e^x)-1)/x. Ισχύει u>0 για κάθε x ανήκει R*. Έχουμε:
lim(x->0)f(x)=lim(x->0)ln(((e^x)-1)/x)=lim(u->1)lnu=ln1=0
lim(x->-oo)((e^x)-1)=lim(x->-oo)(e^x)+lim(x->-oo)(-1)=0+(-1)=-1
lim(x->-oo)(1/x)=0
Επομένως lim(x->-oo)(((e^x)-1)/x=[lim(x->-oo)((e^x)-1)]*[lim(x->-oo)(1/x)]=(-1)*0=0
Συνεπώς lim(x->-oo)f(x)=lim(x->-oo)ln(((e^x)-1)/x)=lim(u->0+)lnu=-oo
Θεωρούμε τις συναρτήσεις f1(x)=(e^x)+1 και f2(x)=x με πεδίο ορισμού το R. Οι συναρτήσεις f1 και f2 είναι συνεχείς και παραγωγίσιμες στο R με πρώτες παραγώγους:
f1΄(x)=e^x
f2΄(x)=1
Υπολογίζουμε το όριο lim(x->+oo)(f1΄(x)/f2΄(x)). Έχουμε:
lim(x->+oo)(f1΄(x)/f2΄(x))=lim(x->+oo)(e^x)=+oo
Επειδή lim(x->+oo)(e^x)=+oo τότε lim(x->+oo)f1(x)=lim(x->+oo)((e^x)+1)=+oo. Επίσης lim(x->+oo)f2(x)=lim(x->+oo)x=+oo.
Επειδή lim(x->+oo)f1(x)=lim(x->+oo)f2(x)=+oo τότε το όριο lim(x->+oo)(f1(x)/f2(x)) οδηγεί σε απροσδιόριστη μορφή (+oo)/(+oo). Επομένως σύμφωνα με τον κανόνα De L' Hospital έχουμε:
lim(x->+oo)(f1(x)/f2(x))=lim(x->+oo)(f1΄(x)/f2΄(x))=+oo
Άρα lim(x->+oo)(((e^x)-1)/x)=+oo
Επομένως lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)ln(((e^x)-1)/x)=lim(u->+oo)lnu=+oo
δ),ε) Θεωρούμε την συνάρτηση g με τύπο g(x)=(x-1)(e^x)+1, x ανήκει R. Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:
g΄(x)=x(e^x), x ανήκει R
Για x=0 έχουμε g(0)=0
Η g είναι συνεχής στο (-oo,0], παραγωγίσιμη στο (-οο,0) και ισχύει g΄(x)<0 για κάθε x ανήκει (-οο,0). Επομένως η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (-οο,0]. Η g είναι συνεχής στο [0,+οο), παραγωγίσιμη στο (0,+οο) και ισχύει g΄(x)>0 για κάθε x ανήκει (0,+οο). Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+οο).
x<0 => g(x)>g(0) (g γνησίως φθίνουσα) => g(x)>0
x>0 => g(x)>g(0) (g γνησίως αύξουσα) => g(x)>0
Επομένως για κάθε x ανήκει R* ισχύει g(x)>0
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R* με πρώτη παράγωγο
f΄(x)=((x-1)(e^x)+1)/(x((e^x)-1))=g(x)/(x((e^x)-1)), x ανήκει R*
Ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο R*
Η f είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο (-oo,0) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει (-οο,0). Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο (-oo,0). Η f είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο (0,+οο) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει (0,+οο). Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+οο).
lim(x->0)f(x)=0 <=> lim(x->0-)f(x)=lim(x->0+)f(x)=0
Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (-οο,0) τότε η εικόνα του (-οο,0) είναι το διάστημα:
f((-oo,0))=(lim(x->-oo)f(x),lim(x->0-)f(x))=(-oo,0)
Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (0,+oo) τότε η εικόνα του (0,+oo) είναι το διάστημα:
f((0,+oo))=(lim(x->0+)f(x),lim(x->+oo)f(x))=(0,+oo)
Το πεδίο τιμών της f είναι το εξής σύνολο:
f(A)=(-oo,0)U(0,+oo)=R*
Έχει βρεθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (-οο,0) και (0,+οο). Άρα:
i) Για δύο οποιαδήποτε x1,x2 με x1<x2<0 ισχύει f(x1)<f(x2)<0
ii) Για δύο οποιαδήποτε x1,x2 με 0<x1<x2 ισχύει 0<f(x1)<f(x2)
Για δύο οποιαδήποτε x1,x2 με x1<0<x2 ισχύει f(x1)<0<f(x2).
Επομένως για κάθε x1,x2 στο R* ισχύει η συνεπαγωγή x1<x2 => f(x1)<f(x2)
Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R*.
Όπως φαίνεται από τη μονοτονία και το πεδίο τιμών της η f δεν έχει ακρότατα.
στ) Εφόσον η f είναι γνησίως αύξουσα στο R* τότε είναι και 1-1.
ζ) Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=(e^x)-x, x ανήκει R. Η h είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο h΄(x)+(e^x)-1. Έχουμε h(0)=1
Η h είναι συνεχής στο (-οο,0], παραγωγίσιμη στο (-οο,0) και ισχύει h΄(x)<0 για κάθε x ανήκει (-oo,0). Επομένως η h είναι γνησίως φθίνουσα στο (-οο,0]. Η h είναι συνεχής στο [0,+oo), παραγωγίσιμη στο (0,+oo) και ισχύει h΄(x)>0 για κάθε x ανήκει (0,+oo). Επομένως η h είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+oo).
x<0 => h(x)>h(0) (h γνησίως φθίνουσα) => h(x)>1
x>0 => h(x)>h(0) (h γνησίως αύξουσα) => h(x)>1
Επομένως για κάθε x ανήκει R* ισχύει h(x)>1. Συνεπώς προκύπτει για κάθε x ανήκει R*:
h(x)>1 <=> (e^x)-x>1 <=> -(e^x)+1<-x <=> x(e^x)-(e^x)+1<x(e^x)-x <=> (x-1)(e^x)+1<x((e^x)-1) <=> ((x-1)(e^x)+1)/(x((e^x)-1))<1 <=>
<=> f΄(x)<1 για κάθε x στο R* εφόσον x((e^x)-1)>0 για κάθε x ανήκει R*.
Άρα f΄(x) διάφορο 1 για κάθε x στο R*
Επομένως δεν υπάρχει σε κανένα σημείο της Cf εφαπτομένη που να είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση y=x+1