IasonasM
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
"(για κάθε x e A, [f(x)]^2=[g(x)]^2) <=> (για κάθε x e A, f(x)=g(x))" (στην συγκεκριμένη , g(x)=x )
Όμως αυτό δεν ισχύει αφού το (για κάθε x e A, [f(x)]^2=x^2) ισχύει και για μία συνάρτηση διάφορη της f(x)=x. Πχ μία με διακλάδωση
f(x) = { x για x>3 , -x για x<=3 }
Οι δύο ισοδυναμίες δεν είναι ισοδύναμες, έχουν αλλού είναι το "ή". (Τουλάχιστον έτσι είχα δει από ένα .pdf από το mathematica για ποσοδείκτες κλπ )
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
sokratis lyras
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
σίγουρα;
η ισοδυναμία "(για κάθε x e A, [f(x)]^2=[g(x)]^2 ) <=> (για κάθε x e A, f(x)=g(x) ) ή (για κάθε x e A, f(x)=-g(x) ) "
δεν είναι λάθος;
(η σωστή δεν είναι "(για κάθε x e A, [f(x)]^2=[g(x)]^2 ) <=> (για κάθε x e A, f(x)=g(x) ή f(x)=-g(x) ) " ; )
Όχι,καμία από τις 2 δεν είναι σωστές.Αν f,g συνεχείς και
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
IasonasM
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
το bold δεν είναι ίδιο με το "(για κάθε x e A, f(x)=g(x) ή f(x)=-g(x) )" ;Όχι,καμία από τις 2 δεν είναι σωστές.Αν f,g συνεχείς καιγια κάθε x στο Α τότε ισχύει
για κάποια
και
για τα υπόλοιπα(εκτός αν υπάρχουν επιπλέον συνθήκες στην άσκηση και η μια περίπτωση απορρίπτεται).
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
sokratis lyras
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
σίγουρα;
η ισοδυναμία "(για κάθε x e A, [f(x)]^2=[g(x)]^2 ) <=> (για κάθε x e A, f(x)=g(x) ) ή (για κάθε x e A, f(x)=-g(x) ) "
δεν είναι λάθος;
(η σωστή δεν είναι "(για κάθε x e A, [f(x)]^2=[g(x)]^2 ) <=> (για κάθε x e A, f(x)=g(x) ή f(x)=-g(x) ) " ; )
το bold δεν είναι ίδιο με το "(για κάθε x e A, f(x)=g(x) ή f(x)=-g(x) )" ;
Εγώ κατάλαβα ότι ή για όλα τα x θα ισχύει το ένα ή για όλα τα x θα ισχύει το άλλο.Ίσως το παρεξήγησα.Πάντως για κάθε ενδεχόμενο θα συνιστούσα να το αναφέρετε όπως το bold παραπάνω που είναι ξεκάθαρο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
vivianouz
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
1)έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση στο [α,β] με
να δείξετε ότι:
α)
β)υπάρχει
γ)υπαρχουν
δ)αν για την
2)δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί
α)να δείξετε ότι
β)να βρείτε τα
γ)να δείξετε ότι η
δ)να δείξετε ότι η εξίσωση
3)δίνεται η συνάρτηση
να δείξετε ότι:
α)
β)
γ)η συνάρτηση
δ)
ε)η
στ)η
ζ)η ευθεία
η)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Just a sweetie!!
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Αν δίνεται η συνέχεια της f ξέρεις ότι διατηρεί πρόσημο άρα f(x)=x για όλα τα χ ή f(x)=-x για όλα τα χ. Αν επιπλέον ξέρεις και μία τιμή της f, τότε από το πρόσημό της καταλαβαίνεις ποιος από τους δύο τύπους είναι ο σωστός για την f.για τον προσδιορισμό των οποίων, άρα κ της f απαιτούνται επιπλέον δεδομένα.
Υ.Γ.: Φυσικά η
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
α) Αν ήτανκαλησπερα!!!!Μηπως μπορει να βοηθησει κανεις στα παρακατω θεματακια...???
1)έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση στο [α,β] μεγια κάθε
να δείξετε ότι:
α)
β)υπάρχειτέτοιο ώστε
γ)υπαρχουνκαι
τέτοια ώστε
δ)αν για τηνισχύει επιπλέον ότι
για κάθε
,να δείξετε ότι η εξίσωση
έχει τουλάχιστον μια λύση στο
![]()
β) Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι
και αφού η f είναι συνεχής στο [a,b], από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών θα υπάρχει
γ) Προφανές από Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα
δ) Αν
Αν
Αν
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
vivianouz
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
α) Αν ήταντότε από Rolle θα υπήρχε
, άτοπο απ' την υπόθεση.
β) Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι( εντελώς όμοια βγαίνει και για
). Εύκολα επαληθεύεται ότι
και αφού η f είναι συνεχής στο [a,b], από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών θα υπάρχει
γ) Προφανές από Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα
δ) Αντο ζητούμενο είναι προφανές.
Αντότε αφού η
είναι γνησίως φθίνουσα είναι
. Με Bolzano για την
στο διάστημα
έπεται το ζητούμενο.
Αντότε αφού η
είναι γνησίως φθίνουσα είναι
. Με Bolzano για την
στο διάστημα
έπεται το ζητούμενο.
σ ευχαριστω πολυ!!
![Χαμόγελο :) :)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/smilenew.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Aris90
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
εστω πολυωνυμικη συναρτηση f για την οποια ισχυουν :
α) να βρεθουν ο τυπος της f
β)η εξισωση της εφαπτομενης Cf στις παρακατω περιπτωσεις:
ι)εχει συντελεστη διευθυνσης λ=-1/2
ιι)σχηματιζει με τον αξονα χ'χ γωνια 135°
ιιι)ειναι παρ/λλη στην ευθεια 2x-y+1=0
ιv) ειναι καθετη στην ευθεια 2x+y-3=0
v)ειναι παραλληλη στον αξονα x'x
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
sokratis lyras
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
χρειαζομαι βοηθεια σε συτη την ασκηση
εστω πολυωνυμικη συναρτηση f για την οποια ισχυουν :
και
για καθε xΕR
α) να βρεθουν ο τυπος της f
β)η εξισωση της εφαπτομενης Cf στις παρακατω περιπτωσεις:
ι)εχει συντελεστη διευθυνσης λ=-1/2
ιι)σχηματιζει με τον αξονα χ'χ γωνια 135°
ιιι)ειναι παρ/λλη στην ευθεια 2x-y+1=0
ιv) ειναι καθετη στην ευθεια 2x+y-3=0
v)ειναι παραλληλη στον αξονα x'x
Κάποιες υποδείξεις μόνο μιας και η άσκηση είναι απλή και βασική.
α)Αν
β)
ι)
ιι)
Όλα ακολουθούν το ίδιο μοτίβο,προσπαθησέ την με τις παραπάνω υποδείξεις.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mary-blackrose
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![Confused :confused: :confused:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/confused.gif)
1)έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
i)είναι γνησίως αύξουσα στο R και να βρείτε το σύνολο τιμών της
ii)είναι κοίλη
iii)έχει μοναδική ρίζα τη χ=0
β)να αποδείξετε ότι:
i)ισχυει
ii)η f αντιστρέφεται και να βρείτε τον τύπο της
iii)αν
γ)να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της
2)δίνεται η συνάρτηση
α)να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β)να δείξετε ότι για κάθε
γ)να βρείτε τα όρια
δ)να μελετήσετε την
ε)να βρείτε το σύνολο τιμών της
στ)να εξετασετε αν η
ζ)να εξετάσετε αν υπάρχει εφαπτομένη της
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Aris90
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
ενταξει το β το καταλαβα πανευκολο τελικαΚάποιες υποδείξεις μόνο μιας και η άσκηση είναι απλή και βασική.
α)Ανο βαθμός του πολυωνύμου τότε
...ισότητα πολυωνύμων κλπ.
β)
ι)
ιι)
Όλα ακολουθούν το ίδιο μοτίβο,προσπαθησέ την με τις παραπάνω υποδείξεις.
το α δεν μπορω να καταλαβω
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Εν συντομία2)δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοίκαι η συνάρτηση
με
και
.Αν ισχύει
, τότε:
α)να δείξετε ότι
β)να βρείτε τα
γ)να δείξετε ότι ηδεν έχει ασύμπτωτες
δ)να δείξετε ότι η εξίσωσηείναι αδύνατη στο
![]()
α)
και με Fermat για την
β)
Βρίσκω
και προφανώς
γ) Η f είναι συνεχής σε όλο το
οπότε
άρα η f δεν έχει ούτε πλάγιες ασύμπτωτες.
δ)
Είναι
Η συνάρτηση
Επειδή όμως
Επίσης
Λόγω (1) και (2) έχουμε
και το ζητούμενο αποδείχθηκε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
sokratis lyras
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
ενταξει το β το καταλαβα πανευκολο τελικα
το α δεν μπορω να καταλαβω
Το ζητούμενο πολυώνυμο είναι της μορφής
Ο βαθμός του παραπάνω πολυωνύμου είναι προφανώς n.Ο βαθμός της παραγώγου ενός πολυωνύμου είναι ένας κάτω,δηλαδή ο βαθμός του
H δοσμένη σχέση τώρα λέει ότι τα πολυώνυμα
Ο βαθμός του f είναι έστω n και ο βαθμός του [f'(x)]^2 είναι 2(n-1).Άρα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
vivianouz
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
σ ευχαριστω πολυ!!![]()
α) Αν ήταντότε από Rolle θα υπήρχε
, άτοπο απ' την υπόθεση.
β) Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι( εντελώς όμοια βγαίνει και για
). Εύκολα επαληθεύεται ότι
και αφού η f είναι συνεχής στο [a,b], από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών θα υπάρχει
γ) Προφανές από Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα
δ) Αντο ζητούμενο είναι προφανές.
Αντότε αφού η
είναι γνησίως φθίνουσα είναι
. Με Bolzano για την
στο διάστημα
έπεται το ζητούμενο.
Αντότε αφού η
είναι γνησίως φθίνουσα είναι
. Με Bolzano για την
στο διάστημα
έπεται το ζητούμενο.
μηπως σου ειναι ευκολο να μου εξηγησεις λιγο το β ερωτημα...??τωρα που το ξαναειδα κολλησα....
![Λυπημένος :( :(](https://www.e-steki.gr/images/smilies/frown.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
1)έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση στο [α,β] μεγια κάθε
να δείξετε ότι:
α)
β)υπάρχειτέτοιο ώστε
γ)υπαρχουνκαι
τέτοια ώστε
δ)αν για τηνισχύει επιπλέον ότι
για κάθε
,να δείξετε ότι η εξίσωση
έχει τουλάχιστον μια λύση στο
![]()
Βγαίνει πάντως εύκολα και με Bolzano:μηπως σου ειναι ευκολο να μου εξηγησεις λιγο το β ερωτημα...??τωρα που το ξαναειδα κολλησα....![]()
Στο 1ο ερώτημα δείξαμε ότι f(α) διάφορο του f(β). Θεωρούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας, όπως είπε και ο Κώστας, ότι f(α)>f(β).
Έστω
Άρα
Συνεπώς, από Bolzano στο [α.β] υπάρχει
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
2)δίνεται η συνάρτηση![]()
α)να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β)να δείξετε ότι για κάθεισχύει
γ)να βρείτε τα όρια
δ)να μελετήσετε τηνως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα
ε)να βρείτε το σύνολο τιμών της
στ)να εξετασετε αν ηείναι
ζ)να εξετάσετε αν υπάρχει εφαπτομένη τηςπαράλληλη στην ευθεία
![]()
α) Για να ορίζεται η f πρέπει να ισχύει ((e^x)-1)/x>0 και x διάφορο 0.
Για x<0 έχουμε:
x<0 => e^x<1 => (e^x)-1<0
Επειδή για x<0 είναι (e^x)-1<0 τότε ισχύει x((e^x)-1)>0 και ((e^x)-1)/x>0
Για x>0 έχουμε:
x>0 => e^x>1 => (e^x)-1>0
Επειδή για x>0 είναι (e^x)-1>0 τότε ισχύει x((e^x)-1)>0 και ((e^x)-1)/x>0
Επομένως για x διάφορο ισχύει x((e^x)-1)>0 και ((e^x)-1)/x>0. Συνεπώς το πεδίο ορισμού της f είναι το A=R*
β) Για κάθε x ανήκει R* έχουμε
f(-x)=ln(((e^(-x))-1)/(-x))=ln((1-(e^(-x)))/x)=ln(((e^x)-1)/(x(e^x)))=ln[(((e^x)-1)/x)*(e^(-x))]=ln(((e^x)-1)/x)+ln(e^(-x))=
=ln(((e^x)-1)/x)+(-x)lne=f(x)-x*1=f(x)-x
Άρα για κάθε x ανήκει R* ισχύει f(-x)=f(x)-x <=> f(x)=x+f(-x)
γ) Θεωρούμε την συνάρτηση F(x)=e^x. Η F είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο F΄(x)=e^x. Για x=0 έχουμε F(0)=F΄(0)=1. Από τον ορισμό της παραγώγου έχουμε:
lim(x->0)((F(x)-F(0))/(x-0))=F΄(0) <=> lim(x->0)(((e^x)-1)/x)=1
Θεωρούμε τον μετασχηματισμό u=((e^x)-1)/x. Ισχύει u>0 για κάθε x ανήκει R*. Έχουμε:
lim(x->0)f(x)=lim(x->0)ln(((e^x)-1)/x)=lim(u->1)lnu=ln1=0
lim(x->-oo)((e^x)-1)=lim(x->-oo)(e^x)+lim(x->-oo)(-1)=0+(-1)=-1
lim(x->-oo)(1/x)=0
Επομένως lim(x->-oo)(((e^x)-1)/x=[lim(x->-oo)((e^x)-1)]*[lim(x->-oo)(1/x)]=(-1)*0=0
Συνεπώς lim(x->-oo)f(x)=lim(x->-oo)ln(((e^x)-1)/x)=lim(u->0+)lnu=-oo
Θεωρούμε τις συναρτήσεις f1(x)=(e^x)+1 και f2(x)=x με πεδίο ορισμού το R. Οι συναρτήσεις f1 και f2 είναι συνεχείς και παραγωγίσιμες στο R με πρώτες παραγώγους:
f1΄(x)=e^x
f2΄(x)=1
Υπολογίζουμε το όριο lim(x->+oo)(f1΄(x)/f2΄(x)). Έχουμε:
lim(x->+oo)(f1΄(x)/f2΄(x))=lim(x->+oo)(e^x)=+oo
Επειδή lim(x->+oo)(e^x)=+oo τότε lim(x->+oo)f1(x)=lim(x->+oo)((e^x)+1)=+oo. Επίσης lim(x->+oo)f2(x)=lim(x->+oo)x=+oo.
Επειδή lim(x->+oo)f1(x)=lim(x->+oo)f2(x)=+oo τότε το όριο lim(x->+oo)(f1(x)/f2(x)) οδηγεί σε απροσδιόριστη μορφή (+oo)/(+oo). Επομένως σύμφωνα με τον κανόνα De L' Hospital έχουμε:
lim(x->+oo)(f1(x)/f2(x))=lim(x->+oo)(f1΄(x)/f2΄(x))=+oo
Άρα lim(x->+oo)(((e^x)-1)/x)=+oo
Επομένως lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)ln(((e^x)-1)/x)=lim(u->+oo)lnu=+oo
δ),ε) Θεωρούμε την συνάρτηση g με τύπο g(x)=(x-1)(e^x)+1, x ανήκει R. Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:
g΄(x)=x(e^x), x ανήκει R
Για x=0 έχουμε g(0)=0
Η g είναι συνεχής στο (-oo,0], παραγωγίσιμη στο (-οο,0) και ισχύει g΄(x)<0 για κάθε x ανήκει (-οο,0). Επομένως η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (-οο,0]. Η g είναι συνεχής στο [0,+οο), παραγωγίσιμη στο (0,+οο) και ισχύει g΄(x)>0 για κάθε x ανήκει (0,+οο). Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+οο).
x<0 => g(x)>g(0) (g γνησίως φθίνουσα) => g(x)>0
x>0 => g(x)>g(0) (g γνησίως αύξουσα) => g(x)>0
Επομένως για κάθε x ανήκει R* ισχύει g(x)>0
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R* με πρώτη παράγωγο
f΄(x)=((x-1)(e^x)+1)/(x((e^x)-1))=g(x)/(x((e^x)-1)), x ανήκει R*
Ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο R*
Η f είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο (-oo,0) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει (-οο,0). Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο (-oo,0). Η f είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο (0,+οο) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει (0,+οο). Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+οο).
lim(x->0)f(x)=0 <=> lim(x->0-)f(x)=lim(x->0+)f(x)=0
Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (-οο,0) τότε η εικόνα του (-οο,0) είναι το διάστημα:
f((-oo,0))=(lim(x->-oo)f(x),lim(x->0-)f(x))=(-oo,0)
Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (0,+oo) τότε η εικόνα του (0,+oo) είναι το διάστημα:
f((0,+oo))=(lim(x->0+)f(x),lim(x->+oo)f(x))=(0,+oo)
Το πεδίο τιμών της f είναι το εξής σύνολο:
f(A)=(-oo,0)U(0,+oo)=R*
Έχει βρεθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (-οο,0) και (0,+οο). Άρα:
i) Για δύο οποιαδήποτε x1,x2 με x1<x2<0 ισχύει f(x1)<f(x2)<0
ii) Για δύο οποιαδήποτε x1,x2 με 0<x1<x2 ισχύει 0<f(x1)<f(x2)
Για δύο οποιαδήποτε x1,x2 με x1<0<x2 ισχύει f(x1)<0<f(x2).
Επομένως για κάθε x1,x2 στο R* ισχύει η συνεπαγωγή x1<x2 => f(x1)<f(x2)
Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R*.
Όπως φαίνεται από τη μονοτονία και το πεδίο τιμών της η f δεν έχει ακρότατα.
στ) Εφόσον η f είναι γνησίως αύξουσα στο R* τότε είναι και 1-1.
ζ) Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=(e^x)-x, x ανήκει R. Η h είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο h΄(x)+(e^x)-1. Έχουμε h(0)=1
Η h είναι συνεχής στο (-οο,0], παραγωγίσιμη στο (-οο,0) και ισχύει h΄(x)<0 για κάθε x ανήκει (-oo,0). Επομένως η h είναι γνησίως φθίνουσα στο (-οο,0]. Η h είναι συνεχής στο [0,+oo), παραγωγίσιμη στο (0,+oo) και ισχύει h΄(x)>0 για κάθε x ανήκει (0,+oo). Επομένως η h είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+oo).
x<0 => h(x)>h(0) (h γνησίως φθίνουσα) => h(x)>1
x>0 => h(x)>h(0) (h γνησίως αύξουσα) => h(x)>1
Επομένως για κάθε x ανήκει R* ισχύει h(x)>1. Συνεπώς προκύπτει για κάθε x ανήκει R*:
h(x)>1 <=> (e^x)-x>1 <=> -(e^x)+1<-x <=> x(e^x)-(e^x)+1<x(e^x)-x <=> (x-1)(e^x)+1<x((e^x)-1) <=> ((x-1)(e^x)+1)/(x((e^x)-1))<1 <=>
<=> f΄(x)<1 για κάθε x στο R* εφόσον x((e^x)-1)>0 για κάθε x ανήκει R*.
Άρα f΄(x) διάφορο 1 για κάθε x στο R*
Επομένως δεν υπάρχει σε κανένα σημείο της Cf εφαπτομένη που να είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση y=x+1
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
1)έστω η παραγωγίσιμη συνάρτησηγια τν οποία ισχύουν
για καθε
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
i)είναι γνησίως αύξουσα στο R και να βρείτε το σύνολο τιμών της
ii)είναι κοίλη
iii)έχει μοναδική ρίζα τη χ=0
β)να αποδείξετε ότι:
i)ισχυειγια καθε
ii)η f αντιστρέφεται και να βρείτε τον τύπο της
iii)ανοι συντελεστές διεύθυνσης των εφαπτομένων των
αντίστοιχα στην αρχή των αξόνων ,τότε
γ)να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη τηςστο
και στο
![]()
α) Η f έχει πεδίο ορισμού το A=R
i) Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο R τότε είναι συνεχής στο R. Για κάθε x ανήκει R ισχύει f΄(x)=1/(2+(e^f(x)))>0 για κάθε x ανήκει R.
Η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει R. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.
ii) Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο R τότε και η πρώτ η παράγωγος f΄ είναι παραγωγίσιμη στο R. Άρα η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με δεύτερη παράγωγο:
f΄΄(x)=(f΄(x))΄=(1/(2+(e^f(x))))΄=-[(e^f(x))/(2+(e^f(x)))]f΄(x)=-[(e^f(x))/((2+(e^f(x)))^3)]<0 για κάθε x ανήκει R
Η f είναι συνεχής και δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f΄΄(x)<0 για κάθε x ανήκει R. Επομένως η f είναι κοίλη στο R που σημαίνει ότι η f΄ είναι γνησίως φθίνουσα στο R.
iii) Για x=0 έχουμε f΄(0)=1/(2+(e^f(0))). Επειδή f΄(0)=1/3 τότε έχουμε
1/(2+(e^f(0)))=1/3 <=> 2+(e^f(0))=3 <=> e^f(0)=1 <=> e^f(0)=e^0 <=> f(0)=0
Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο R τότε είναι και 1-1. Επομένως το x0=0 είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης f(x)=0 αφού
f(x)=0 <=> f(x)=f(0) <=> x=0 εφόσον η f είναι 1-1
β)
i) Θεωρούμε την συνάρτηση g με τύπο g(x)=(e^f(x))+2f(x)-x, x ανήκει R. Επειδή η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R τότε και η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:
g΄(x)=(e^f(x))f΄(x)+2f΄(x)-1=(2+(e^f(x)))f΄(x)-1=(2+(e^f(x)))*[1/(2+(e^f(x)))]-1=1-1=0
Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R και ισχύει g΄(x)=0 για κάθε x ανήκει R. Επομένως υπάρχει πραγματική σταθερά c τέτοια ώστε g(x)=c για κάθε x ανήκει R.
Για x=0 έχουμε g(0)=(e^f(0))+2f(0)=(e^0)+2*0=1+0=1 και g(0)=c. Επομένως c=1 και ισχύει g(x)=1 για κάθε x ανήκει R. Άρα
g(x)=1 <=> (e^f(x))+2f(x)-x=1 <=> (e^f(x))+2f(x)=x+1 για κάθε x ανήκει R
ii) Η f είναι 1-1 άρα και αντιστρέψιμη. Θα προσδιοριστεί το πεδίο τιμών της το οποίο είναι το πεδίο ορισμού της f-1.
H f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R, οπότε
f(A)=f(R)=(lim(x->-oo)f(x),lim(x->+oo)f(x))=(-oo,+oo)=R
Επομένως ισχύει η ισοδυναμία
y=f(x) <=> x=(f-1)(y), x ανήκει A=R, y ανήκει f(A)=R
Έχουμε:
(e^f(x))+2f(x)=x+1 <=> (e^y)+2y=x+1 <=> x=(e^y)+2y-1 <=> (f-1)(y)=(e^y)+2y-1
Άρα (f-1)(y)=(e^y)+2y-1, y ανήκει f(A)=R
έχουμε f(0)=0 <=> (f-1)(0)=0
που επαληθεύεται αφού για y=0 παίρνουμε (f-1)(0)=(e^0)+2*0-1=1+0-1=0
iii) Η f-1 είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο
(f-1)΄(y)=(e^y)+2, y ανήκει R
Για y=0 έχουμε (f-1)΄(0)=(e^0)+2=1+2=3
Με γνωστή την παράγωγο της αντίστροφης συνάρτησης (f-1)΄(y), η παράγωγος της συνάρτησης f προσδιορίζεται από τον τύπο
f΄(x)=1/(f-1)΄(f(x)), x ανήκει A=R ή
f΄((f-1)(y))=1/(f-1)΄(y), y ανήκει f(A)=R
Επομένως από τον δεύτερο τύπο για y=0 προκύπτει
f΄((f-1)(0))=1/(f-1)΄(0) <=> f΄(0)=1/3
Επομένως λ1=f΄(0)=1/3 και λ2=(f-1)΄(0)=3. Συνεπώς λ1*λ2=(1/3)*3=1
γ) Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=x, x ανήκει R. Η h είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο h΄(x)=1
Θεωρούμε τον μετασχηματισμό y=f(x). Επειδή lim(x->+oo)f(x)=+oo τότε lim(x->+oo)(e^f(x))=lim(y->+oo)(e^y)=+oo και επομένως
lim(y->+oo)(2+(e^y))=+oo. Επειδή lim(y->+oo)(2+(e^y))=+oo τότε lim(y->+oo)(1/(2+(e^y)))=0. Έχουμε:
lim(x->+oo)f΄(x)=lim(x->+oo)(1/(2+(e^f(x))))=lim(y->+oo)(1/(2+(e^y)))=0
lim(x->+oo)(f(x)-0*x)=lim(x->+oo)f(x)=+oo
Άρα η Cf δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο +οο
Υπολογίζουμε το όριο lim(x->-oo)(f΄(x)/h΄(x)). Λαμβάνοντας υπόψη ότι lim(x->-oo)f(x)=-oo έχουμε
lim(x->-oo)(f΄(x)/h΄(x))=lim(x->-oo)(f΄(x)/1)=lim(x->-oo)f΄(x)=lim(x->-oo)(1/(2+(e^f(x))))=lim(y->-oo)(1/(2+(e^y)))=1/(2+0)=1/2
lim(x->-oo)(f(x)-(x/2))=lim(y->-oo)[y-((f-1)(y)/2)]=lim(y->-oo)[y-(((e^y)+2y-1)/2)]=lim(y->-oo)[(1-(e^y))/2]=(1-0)/2=1/2
Επομένως η ευθεία y=(1/2)x+(1/2) είναι ασύμπτωτη της Cf στο -οο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Χρήστες Βρείτε παρόμοια
-
Τα παρακάτω 0 μέλη και 13 επισκέπτες διαβάζουν μαζί με εσάς αυτό το θέμα:Tα παρακάτω 270 μέλη διάβασαν αυτό το θέμα:
- thepigod762
- Mariosm.
- soulatso
- oteletampis
- phleidhs
- *
- Hased Babis
- nearos
- AggelikiGr
- *
- sir ImPeCaBlE
- veiNqh
- Scandal
- alekos
- Debugging_Demon
- just some guy
- xristosgkm
- ismember
- Apocalypse
- arrow25
- *
- rempelos42
- *
- ggl
- *
- *
- GStef
- QWERTY23
- xrisamikol
- Σωτηρία
- nikoletaz57
- _Aggelos123
- Mariam38
- *
- SlimShady
- *
- strsismos88
- *
- Georgekk
- Lia 2006
- igeorgeoikonomo
- marian
- tsiobieman
- constansn
- Xristosdimitra
- Panagiotis849
- *
- ρενακι 13
- *
- Memetchi
- eukleidhs1821
- Nikkkpat
- Unboxholics
- korlef
- *
- kwstaseL
- Thanos_D
- *
- the purge
- T C
- Giii
- Papachrist
- liaiscool
- Αννα Τσιτα
- globglogabgalab
- Pharmacist01
- thanahss
- abcdefg12345
- nicole1982
- *
- *
- *
- thecrazycretan
- kvstas92
- KingOfPop
- *
- nPb
- maria301
- papa2g
- stefan
- *
- Κλημεντίνη
- TonyMontanaEse
- Athens2002
- Alexecon1991
- Μάρκος Βασίλης
- *
- Cortes
- το κοριτσι του μαη
- calliope
- *
- *
- *
- *
- ale
- panagiotis G
- *
- Kleanth
- aggelosst9
- BioChemical
- spring day
- nucomer
- Georgia110
- LeoDel
- pink_panther
- Alexandros973
- marsenis
- den antexw allh apotyxia
- KaterinaL
- kiyoshi
- drosos
- Λαμπρινηη
- Bill22
- Chrysablac.
- giorgosp97
- *
- Βλα
- Monster Hunter
- jul25
- xxxtolis
- Stroka
- *
- nicks1999
- totiloz
- *
- Earendil
- mitsakos
- tasost
- lnesb
- ssalex
- Vasilina93
- alan09
- *
- Livaja10
- χημεια4λαιφ
- *
- *
- Viedo
- UncleJ
- Kostakis45
- Infrared
- Zgian
- pepatogourounaki
- hirasawayui
- GeoCommand
- Eleni54
- American Economist
- EiriniS20
- Johny4Life
- ΘανάσοςG4
- *
- stamoul1s
- Αριάνα123
- uni77
- tasoss
- *
- PanosCh002
- Unseen skygge
- *
- Νικόλας Ραπ.
- *
- cel123
- The Limit Does Not Exist
- *
- don_vito
- suaimhneas
- Αλκης Κ.
- alexrami
- Baggelitsa36
- Νομικάριος13
- spinalgr1990
- d_th
- *
- Adolfo valencia
- Πα.Κ
- Vasilis25
- Johnman97
- Steffie88
- rekcoR
- *
- gwgw_5
- fockos
- Mariahj
- roud
- kostas83
- Cpt.Philips
- *
- Makis45
- *
- Χρησλου
- Panos_02
- Vold
- *
- *
- tymvorixos
- GiorgosAsi
- Neos167
- *
- *
- theodoraooo
- *
- George187
- Άρτεμις Α.
- Μαρία2222
- christos87
- Idontknoww
- jimis2001
- Metamorph
- Γατόπαρδος.
- Johnsk
- mitsos14
- johnsiak
- *
- Elel
- Dreamer_SW
- Γιαννης1987Θεσσ
- *
-
Φορτώνει...
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.