εστω οι f,g γνησιως αυξουσες στο R.
Ν.Α.Ο oι gof ,g+f ειναι αυξουσες
2) αν f(3)=0 τότε ν.λυσετε την εξισωση f (2x-1) = -f(x+1)
3) ν λυσετε την ανισωση f(2e^x -1) +f (e^x +1) <
το 1ο ερωτημα το εχω κανει.
για το δευτερο παρατηρησα οτι η χ=2 ειναι προφανης ριζα ,που ειναι και μοναδικη γτ η f ως αυξουσα ειναι και 1-1
για το 3 παρα τηρω οτι το ln2 ειναι ριζα αλλα πως το αποδεικνυω;;
Θα γίνει χρήση της πρότασης "Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ τότε για κάθε x1, x2 στο Δ ισχύει η ισοδυναμία x1<x2 <=> f(x1)<f(x2)" (έχει αποδειχθεί σε προηγούμενα posts)
2)
Για x>2 έχουμε:
x>2 <=> 2x>4 <=> 2x-1>3 <=> f(2x-1)>f(3) (f γνησίως αύξουσα) <=> f(2x-1)>0
x>2 <=> x+1>3 <=> f(x+1)>f(3) (f γνησίως αύξουσα) <=> f(x+1)>0
Άρα για x>2 ισχύει f(2x-1)>0 και f(x+1)>0
Προσθέτοντας κατά μέλη τις 2 τελευταίες ανισότητες προκύπτει ότι f(2x-1)+f(x+1)>0 <=> f(2x-1)>-f(x+1) για x>2
Για x<2 έχουμε:
x<2 <=> 2x<4 <=> 2x-1

<=> f(2x-1)<f(3) (f γνησίως αύξουσα) <=> f(2x-1)<0
x<2 <=> x+1

<=> f(x+1)<f(3) (f γνησίως αύξουσα) <=> f(x+1)<0
Άρα για x<2 ισχύει f(2x-1)<0 και f(x+1)<0
Προσθέτοντας κατά μέλη τις 2 τελευταίες ανισότητες προκύπτει ότι f(2x-1)+f(x+1)<0 <=> f(2x-1)<-f(x+1) για x<2
Επομένως για x διάφορο 2 ισχύει f(2x-1) διάφορο -f(x+1)
Για x=2 παρατηρούμε ότι η εξίσωση ικανοποιείται που είναι και η μοναδική λύση της εξίσωσης
3)
Για x>ln2 έχουμε:
x>ln2 <=> e^x>2 <=> 2(e^x)>4 <=> 2(e^x)-1>3 <=> f(2(e^x)-1)>f(3) (f γνησίως αύξουσα) <=> f(2(e^x)-1)>0
x>ln2 <=> e^x>2 <=> (e^x)+1>3 <=> f((e^x)+1)>f(3) (f γνησίως αύξουσα) <=> f((e^x)+1)>0
Άρα για x>2 ισχύει f(2(e^x)-1)>0 και f((e^x)+1)>0
Προσθέτοντας κατά μέλη τις 2 τελευταίες ανισότητες προκύπτει ότι f(2(e^x)-1)+f((e^x)+1)>0 x>ln2
Για x<ln2 έχουμε:
x<ln2 <=> e^x<2 <=> 2(e^x)<4 <=> 2(e^x)-1

<=> f(2(e^x)-1)<f(3) (f γνησίως αύξουσα) <=> f(2(e^x)-1)<0
x<ln2 <=> e^x<2 <=> (e^x)+1

<=> f((e^x)+1)<f(3) (f γνησίως αύξουσα) <=> f((e^x)+1)<0
Άρα για x<ln2 ισχύει f(2(e^x)-1)<0 και f((e^x)+1)<0
Προσθέτοντας κατά μέλη τις 2 τελευταίες ανισότητες προκύπτει ότι f(2(e^x)-1)+f((e^x)+1)<0 για x<ln2
Για x=ln2 παρατηρούμε ότι ισχύει f(2(e^x)-1)+f((e^x)+1)=0.
Επομένως ισχύει f(2(e^x)-1)+f((e^x)+1)<0 για x<ln2