Civilara
Περιβόητο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
[*]Δίνεται η συνάρτησηγια την οποία ισχύει
. Να βρείτε το
.
[/LIST][/FONT][/SIZE]
Θέτουμε u=4-x <=> x=4-u. Έχουμε:
lim(x->2)(4-x)=4-2=2
Επομένως
lim(x->2)[f(x)+3f(4-x)]=lim(u->2)[f(4-u)+3f(u)]. Επομένως lim(u->2)[f(4-u)+3f(u)]=2. Το όριο αυτό γράφεται ισοδύναμα lim(x->2)[f(4-x)+3f(x)]=2.
Έχουμε
lim(x->2)[f(4-x)+3f(x)]=4 <=> (-3)lim(x->2)[f(4-x)+3f(x)]=(-3)*4 <=> lim(x->2){(-3)*[f(4-x)+3f(x)]}=-12 <=> lim(x->2)[-3f(4-x)-9f(x)]=-12
Έχουμε τα εξής όρια:
lim(x->2)[f(x)+3f(4-x)]=4
lim(x->2)[-3f(4-x)-9f(x)]=-12
Προσθέτουμε κατά μέλη τα ανωτέρω όρια:
lim(x->2)[f(x)+3f(4-x)]+lim(x->2)[-3f(4-x)-9f(x)]=4-12
lim(x->2)[f(x)+3f(4-x)-3f(4-x)-9f(x)]=-8
lim(x->2)(- 8 f(x))=-8
(-1/8 )*lim(x->2)(-8f(x))=(-1/8 )*( -8 )
lim(x->2)[(-1/8 )*( -8f(x))]=1
lim(x->2)f(x)=1
Επομένως lim(x->2)f(x)=1
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Για χ κοντά στο 0 είναι:
κι επειδή
Επεξεργασία:
Ουπς τώρα το είδα, είναι
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
JKaradakov
Τιμώμενο Μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
1)
Για χ κοντά στο 0 είναι:
κι επειδήέχουμε
Επεξεργασία:
Ουπς τώρα το είδα, είναικαι όχι
ε; Μάλλον πρόκειται για τυπογραφικό οπότε αφήνω την λύση όπως είναι.
Ναι τυπογραφικό απο μεριάς μου είναι.
![Embarrassment :redface: :redface:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/redface.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
[*]Έστωμια συνάρτηση για την οποία ισχύει
, για κάθε
. Να βρείτε το
[/LIST][/FONT][/SIZE]
Μια διαφορετική λύση πιο πολύπλοκη από εκείνη του Κώστα.
Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=(x^3)+x+2, x ανήκει R
Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R ως πολυωνυμική με πρώτη παράγωγο g΄(x)=3(x^2)+1>0 για κάθε x ανήκει R. Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα στο R και συνεπώς 1-1, άρα και αντιστρέψιμη.
Επίσης έχουμε lim(x->-άπειρο)g(x)=-άπειρο και lim(x->+άπειρο)g(x)=+άπειρο. Επειδή η g είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R έχουμε g(R)=(-άπειρο,+άπειρο)=R. Επομένως το πεδίο τιμών της g είναι το R. Ισχύει η ισοδυναμία:
y=g(x) <=> x=(g-1)(y) όπου x ανήκει R και y ανήκει g(R)=R
Έχουμε:
g(0)=2 <=> (g-1)(2)=0
Επειδή η g είναι συνεχής στο R τότε και η αντίστροφή της g-1 είναι συνεχής στο g(R)=R (αφήνεται ως άσκηση η απόδειξη αυτής της πρότασης)
Η αρχική εξίσωση γράφεται στη μορφή g(f(x))=x. Επομένως έχουμε ισοδύναμα:
g(f(x))=x <=> f(x)=(g-1)(x) όπου x ανήκει R
Θεωρούμε την αντικατάσταση που αναφέρθηκε παραπάνω y=g(x) οπότε x=(g-1)(y)
Έχουμε
lim(x->2)f(x)=lim(x->2)(g-1)(x)=(g-1)(2)=0 αφού η g-1 είναι συνεχής συνάρτηση στο g(R)=R οπότε είναι συνεχής και στο g(0)=2.
Άρα lim(x->2)f(x)=0
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mary-blackrose
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![hmmm :hmm: :hmm:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/hmmm.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
antwwwnis
Διάσημο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
e^(f(x1))=e^(f(x2))
(+) κατα μελη και λογω της δοθεισας
χ1+1=χ2+1
χ1=χ2
αρα f αντιστρέψιμη
εναλλάσοντας μεταβλητές στη δοθείσα
e^x+x=y+1
y=e^x+x-1
η y ειναι γνησίως αύξουσα(y'=e^x+1>0)
αρα και η αντιστροφη αυτης f(x) ειναι γνησιως αυξουσα.
Μεσω Λαμίας το πήγα, αλλά βγαίνει.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Giannis721
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
δινεται συναρτηση f:R -->R για την οποια ισχυει e^(f(x)) + f(x) = x+1. N δ ο f γνησιως αυξουσα.Καμια ιδεα γ αυτη????
Θα το αποδείξουμε με "άτοπο"
Έστω ότι δεν είναι γν.αύξουσα. Τότε για
όμως για
Άρα τελικά f γν.αυξουσα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
antonisd95
Δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Θέτω g(x)=e^x + x με XeR . Εύκολα αποδεικνύεται ότι g(x) -> γνησίως αύξουσα στο R
Έχουμε g(f(x))=x+1 , όπου εύκολα αποδεικνύεται ότι gof είναι γνησίως αύξουσα στο R.
ΑΡΑ:
για κάθε χ1,χ2 eR με χ1<χ2 -> (gof)(x1)<(gof)(x2) , αλλά g:αύξουσα ........-> f(x1)<f(x2) άρα F: γν. αύξουσα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
antwwwnis
Διάσημο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
antonisd95
Δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![hmmm :hmm: :hmm:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/hmmm.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Giannis721
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Αντώνη, αν και μου άρεσε ιδιαίτερα η λύση σου, νομίζω πως πρέπει ακόμα να αποδείξεις ότι η F^-1 και η f έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας.![]()
Ε είναι κλασσική η απόδειξη γι'αυτό δεν την παρέθεσε..
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
x1<x2 <=> f(x1)<f(x2)
Η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ οπότε για κάθε x1,x2 στο Δ με x1<x2 οπότε σύμφωνα με τον ορισμό ισχύει η συνεπαγωγή:
x1<x2 => f(x1)<f(x2)
Αν ίσχυε η συνεπαγωγή f(x1)<f(x2) => x1>x2 τότε προκύπτει ότι f(x1)>f(x2) αφού η f είναι γνησίως αύξουσα που είναι άτοπο
Αν ίσχυε η συνεπαγωγή f(x1)<f(x2) => x1=x2 τότε θα προέκυπτε f(x1)=f(x2) που είναι άτοπο
Επομένως θα ισχύει υποχρεωτικά η συνεπαγωγή f(x1)<f(x2) => x1<x2
Συνεπώς ισχύει η ισοδυναμία x1<x2 <=> f(x1)<f(x2)
Πρόταση: Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ τότε για κάθε x1,x2 στο Δ ισχύει η ισοδυναμία:
x1<x2 <=> f(x1)>f(x2)
Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ οπότε για κάθε x1,x2 στο Δ με x1<x2 οπότε σύμφωνα με τον ορισμό ισχύει η συνεπαγωγή:
x1<x2 => f(x1)>f(x2)
Αν ίσχυε η συνεπαγωγή f(x1)>f(x2) => x1>x2 τότε προκύπτει ότι f(x1)<f(x2) αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα που είναι άτοπο
Αν ίσχυε η συνεπαγωγή f(x1)>f(x2) => x1=x2 τότε θα προέκυπτε f(x1)=f(x2) που είναι άτοπο
Επομένως θα ισχύει υποχρεωτικά η συνεπαγωγή f(x1)>f(x2) => x1<x2
Συνεπώς ισχύει η ισοδυναμία x1<x2 <=> f(x1)<f(x2)
Πρόταση: Αν η συνάρτηση f είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της Α και γνησίως αύξουσα στο Δ υποσύνολο Α τότε και η αντίστροφη συνάρτηση f-1 είναι γνησίως αύξουσα στο f(Δ)
Η f είναι 1-1 οπότε και αντιστρέψιμη. Συνεπώς ισχύει η ισοδυναμία:
y=f(x) <=> x=(f-1)(y) όπου x ανήκει A και y ανήκει f(A)
Η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ οπότε για κάθε x1,x2 στο Δ με x1<x2 ισχύει η ισοδυναμία:
x1<x2 <=> f(x1)<f(x2)
Αν y1=f(x1) και y2=f(x2) τότε x1=(f-1)(y1) και x2=(f-1)(y2)
Επομένως η παραπάνω ισοδυναμία γράφεται στη μορφή
(f-1)(y1)<(f-1)(y2) <=> y1<y2 ή αναδιατάσσοντας τα μέλη λόγω της ισοδυναμίας y1<y2 <=> (f-1)(y1)<(f-1)(y2)
Άρα για κάθε y1, y2 στο Δ με y1<y2 ισχύει η συνεπαγωγή:
y1<y2 => (f-1)(y1)<(f-1)(y2)
Επομένως η αντίστροφη συνάρτηση f-1 είναι γνησίως αύξουσα στο f(Δ)
Πρόταση: Αν η συνάρτηση f είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της Α και γνησίως φθίνουσα στο Δ υποσύνολο Α τότε και η αντίστροφη συνάρτηση f-1 είναι γνησίως φθίνουσα στο f(Δ)
Η f είναι 1-1 οπότε και αντιστρέψιμη. Συνεπώς ισχύει η ισοδυναμία:
y=f(x) <=> x=(f-1)(y) όπου x ανήκει A και y ανήκει f(A)
Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ οπότε για κάθε x1,x2 στο Δ με x1<x2 ισχύει η ισοδυναμία:
x1<x2 <=> f(x1)>f(x2)
Αν y1=f(x1) και y2=f(x2) τότε x1=(f-1)(y1) και x2=(f-1)(y2)
Επομένως η παραπάνω ισοδυναμία γράφεται στη μορφή
(f-1)(y1)<(f-1)(y2) <=> y1>y2 ή αναδιατάσσοντας τα μέλη λόγω της ισοδυναμίας y1>y2 <=> (f-1)(y1)<(f-1)(y2)
Άρα για κάθε y1, y2 στο Δ με y1>y2 ισχύει η συνεπαγωγή:
y1>y2 => (f-1)(y1)<(f-1)(y2)
Επομένως η αντίστροφη συνάρτηση f-1 είναι γνησίως φθίνουσα στο f(Δ)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mary-blackrose
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Όχι, νομίζω τέτοιο παράδειγμα έχει και το σχολικό βιβλίο με την συνάρτησηη οποία είναι συνεχής στο 0 αλλά όχι παραγωγίσιμη σε αυτό.
σε ευχαριστω πολυ
![Χαμόγελο :) :)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/smilenew.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Giannis721
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Αν η f είναι παραγωγισιμη σε ένα χο τότε είναι και συνεχής σε αυτο. Το αντιστροφο ισχυει?
Όχι. Δεν ισχύει το αντίστροφο κανενός θεωρήματος. Για να σε πείσω στην προκειμένη περίπτωση: Μπορεί να είναι συνεχής η συνάρτηση σε ένα γωνιακό σημείο αλλά προφανώς εκεί δεν επιδέχεται εφαπτομένη. Σκέψου την συνάρτηση με τύπο
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
t00nS
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Αυτή αν γίνετε
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
antonisd95
Δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
έστω ότι οι ρίζες της εξίσωσης ανήκουν στο C , έστω οι λύσεις z1=x+,-yi με x,y ε R τότε:
(z1' = z1 συζυγής)
VIETA ---> S=(-B)/A=1 ------> z1+z1'= 1 ------> RE(Z1) = 1/2
P=Γ/Α=λ ------> Z1*Z1' = λ ......
με πράξεις συνεχίζεις και βρίσκεις τον z1 συναρτήση του λ, μετά πηγαίνεις στην σχέση που σου δίνει και κάνεις πράξεις.(αν δεν έκανα κάπου λάθος, νομίζω έχεις 2 περιπτώσεις και βγάζεις 2 πιθανές τιμές του λ)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Χρήστες Βρείτε παρόμοια
-
Τα παρακάτω 0 μέλη και 3 επισκέπτες διαβάζουν μαζί με εσάς αυτό το θέμα:Tα παρακάτω 270 μέλη διάβασαν αυτό το θέμα:
- thepigod762
- Mariosm.
- soulatso
- oteletampis
- phleidhs
- *
- Hased Babis
- nearos
- AggelikiGr
- *
- sir ImPeCaBlE
- veiNqh
- Scandal
- alekos
- Debugging_Demon
- just some guy
- xristosgkm
- ismember
- Apocalypse
- arrow25
- *
- rempelos42
- *
- ggl
- *
- *
- GStef
- QWERTY23
- xrisamikol
- Σωτηρία
- nikoletaz57
- _Aggelos123
- Mariam38
- *
- SlimShady
- *
- strsismos88
- *
- Georgekk
- Lia 2006
- igeorgeoikonomo
- marian
- tsiobieman
- constansn
- Xristosdimitra
- Panagiotis849
- *
- ρενακι 13
- *
- Memetchi
- eukleidhs1821
- Nikkkpat
- Unboxholics
- korlef
- *
- kwstaseL
- Thanos_D
- *
- the purge
- T C
- Giii
- Papachrist
- liaiscool
- Αννα Τσιτα
- globglogabgalab
- Pharmacist01
- thanahss
- abcdefg12345
- nicole1982
- *
- *
- *
- thecrazycretan
- kvstas92
- KingOfPop
- *
- nPb
- maria301
- papa2g
- stefan
- *
- Κλημεντίνη
- TonyMontanaEse
- Athens2002
- Alexecon1991
- Μάρκος Βασίλης
- *
- Cortes
- το κοριτσι του μαη
- calliope
- *
- *
- *
- *
- ale
- panagiotis G
- *
- Kleanth
- aggelosst9
- BioChemical
- spring day
- nucomer
- Georgia110
- LeoDel
- pink_panther
- Alexandros973
- marsenis
- den antexw allh apotyxia
- KaterinaL
- kiyoshi
- drosos
- Λαμπρινηη
- Bill22
- Chrysablac.
- giorgosp97
- *
- Βλα
- Monster Hunter
- jul25
- xxxtolis
- Stroka
- *
- nicks1999
- totiloz
- *
- Earendil
- mitsakos
- tasost
- lnesb
- ssalex
- Vasilina93
- alan09
- *
- Livaja10
- χημεια4λαιφ
- *
- *
- Viedo
- UncleJ
- Kostakis45
- Infrared
- Zgian
- pepatogourounaki
- hirasawayui
- GeoCommand
- Eleni54
- American Economist
- EiriniS20
- Johny4Life
- ΘανάσοςG4
- *
- stamoul1s
- Αριάνα123
- uni77
- tasoss
- *
- PanosCh002
- Unseen skygge
- *
- Νικόλας Ραπ.
- *
- cel123
- The Limit Does Not Exist
- *
- don_vito
- suaimhneas
- Αλκης Κ.
- alexrami
- Baggelitsa36
- Νομικάριος13
- spinalgr1990
- d_th
- *
- Adolfo valencia
- Πα.Κ
- Vasilis25
- Johnman97
- Steffie88
- rekcoR
- *
- gwgw_5
- fockos
- Mariahj
- roud
- kostas83
- Cpt.Philips
- *
- Makis45
- *
- Χρησλου
- Panos_02
- Vold
- *
- *
- tymvorixos
- GiorgosAsi
- Neos167
- *
- *
- theodoraooo
- *
- George187
- Άρτεμις Α.
- Μαρία2222
- christos87
- Idontknoww
- jimis2001
- Metamorph
- Γατόπαρδος.
- Johnsk
- mitsos14
- johnsiak
- *
- Elel
- Dreamer_SW
- Γιαννης1987Θεσσ
- *
-
Φορτώνει...
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.