Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[GiwrgosK.]

Καλο πασχα σε ολους και καλο διαβασμα ...!!
Λοιπον θα ηθελα ΕΠΕΙΓΟΝΤΩΣ ΓΡΗΓΟΡΑ βοηθεια σε 2 ΑΣΚΣΕΙΣ
1)View attachment 43961

Για την πρώτη
α) παραγωγίζεις και f'(x)>0 αρα f γνησίως αύξουσα
β) θέτεις στην f(-x) όπου -χ μια άλλη μεταβλητή,προσθέτεις τα ολοκληρώματα και βγήκε
γ)θες f'(x)=1/2 αρα ΘΜΤ στο [-1,1] για την f και θα έχει f'(xo)= f(1)-f(-1)/ 1- (-1) <=> f'(xo)= 1/2 γιατί f(1)-f(-1)=1 από β
δ)το ολοκλήρωμα της f' θα ειν η f άρα Ε=f(1)-f(0) ,για να βρεις το f(1) προσφαφαίρεσε στον αριθμητή στο e στην t και σπάσε τ κλάσμα
Αν θες πιο αναλυτικά πες μου συγκεκριμένα

Για την δεύτερη
α)f(x) f(0) άρα κάνεις Θ.Fermat αρα f'(0)=0
β)ΘΜΤ στο [0,1] και θα έχεις f'(xo)=1 άρα είναι παράλληλες
2)η αρχική είναι η F(x)= / ln6 - / ln4 - / ln3 + / ln2 άρα Ε=F(1)-F(0)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Βασίλης Δ.]

Καλησπέρα..θα ήθελα βοήθεια σε αυτήν εδω την άσκηση..

2xf(x) + (x^2+1)f '(x) = e^x , x e R

Να βρείτε τον τύπο της f.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Johnny15]

Κανόνας του γινομένου είναι.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Βασίλης Δ.]

Κανόνας του γινομένου είναι.

όντως αλλα αυτό εδώ ?

f(x) + f ' (x) = 2e^x

Πάλι να βρούμε τον τύπο της f.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Johnny15]

Πολλαπλασίασε με e^x τα πάντα και βγαίνει

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[panellinios]

αν μια ασκηση ζητάει να δειξουμε ότι η f είναι γν μονοτονη και δείξουμε ότι είναι συνεχής και 1_1, μετά τι άλλο πρεπει να γράψουμε για να ειναι πληρης η απαντηση;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[antwwwnis]

αν μια ασκηση ζητάει να δειξουμε ότι η f είναι γν μονοτονη και δείξουμε ότι είναι συνεχής και 1_1, μετά τι άλλο πρεπει να γράψουμε για να ειναι πληρης η απαντηση;

Υπάρχει και ολοκληρωμένη απόδειξη του ''Αν η f είναι συνεχής και 1-1, είναι γνησίως μονότονη''.
Aλλά και αυτό που έγραψες νομίζω φτάνει.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[natasoula...]

Δεν χρειάζεται κάτι άλλο...Λες απλά:η f,ως συνεχής και 1-1,είναι γνησίως μονότονη.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[panellinios]

f(f(x))=e^x >0 και f συνεχής και f διάφορη του 0
αφού για χ=f(x) η f είναι >0, δεν θα ισχύει f(x) > 0 πάντα;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Johnny15]

Αφού η f είναι συνεχής και διάφορη του 0, κρατάει σταθερό πρόσημο.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[13diagoras]

f(f(x))=e^x >0 και f συνεχής και f διάφορη του 0
αφού για χ=f(x) η f είναι >0, δεν θα ισχύει f(x) > 0 πάντα;

Πιστευω η διατυπωση σου δεν ειναι ακριβως σωστη.
Εκει που λες για χ=f(x) (1)υπαρχει ενα θεματακι.Αποδεικνυεις εν τελει οτι f(x)>0,αρα η σχεση (1) θα ισχυει για χ>0 ?
Προσωπικα θα εγραφα πως για ενα τυχαιο ξ του πεδιου ορισμου ειναι f(f(ξ))>0,αρα (f(ξ)=ω) f(ω)>0 ,ΠΡΟΣΟΧΗ ,για εκεινα τα ω που ανηκουν στο συνολο τιμων.Οποτε αφου για μερικα χ(για χ=ω) ισχυει οτι η f θετικη,τοτε θα ισχυει και για ολα.
Θελει επομενως μια προσοχη στην διατυπωση και την κατανοηση αυτου του "λεπτου"(?) ζητηματος
(τι ειναι αυτα απο κατω?)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[13diagoras]

(1)Δεν εννοει αυτο που νομιζεις
(2)Εχεις την συνεχεια και το διαφορο του μηδενος...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[antwwwnis]

Βρήκα την πλήρη και ακριβή απόδειξη (Βγαίνει και σε πιο μικρή έκδοση, χρησιμοποιώντας την λέξη ''ομοίως''):
https://www.aristeion.gr/math_g_k.pdf

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[natasoula...]

Η συνέχεια δεν είναι αναγκαία συνθήκη για να είναι η συνάρτηση 1-1.

Ναι,δεν είναι..Απλά ήταν ήδη στα δεδομένα του.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[qwerty111]

Ναι,δεν είναι..Απλά ήταν ήδη στα δεδομένα του.

Στη συγκεκριμένη περίπτωση χρειάζεται. Εγώ έγραφα βλακείες γιατί δε διάβασα με προσοχή την άσκηση.
Έχει και ο Μπάρλας αυτή την απόδειξη.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Βασίλης Δ.]

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R --> R για την οποία ισχύει f(-x) f ' (x) = 4 , x e R και η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Μ(0,f(0)) διέρχεται απο το σημείο Α(1,-4)

1)Να βρείτε το f(0) και το f ' (0)
2)Nα αποδείξετε οτι είναι γνησίως φθίνουσα..

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[GiwrgosK.]

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R --> R για την οποία ισχύει f(-x) f ' (x) = 4 , x e R και η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Μ(0,f(0)) διέρχεται απο το σημείο Α(1,-4)

1)Να βρείτε το f(0) και το f ' (0)
2)Nα αποδείξετε οτι είναι γνησίως φθίνουσα..

1)Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι y-f(0)=f'(0)(x-0) αρα y-f(0)=f'(0)x αντικαθιστώντας το σημείο Α που ανήκει στην ευθεία έχεις -4-f(0)=f'(0) (1) και βάζοντας στην αρχική όπου χ το 0 έχεις f(0)f'(0)=4 (2) και λύνεις το σύστημα (1),(2) απο όπου f(0)=-2 και f'(0)=-2
2)H f(x) διάφορη του 0 για κάθε x στο R λόγω της αρχικής άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο και αφού f(0)=-2<0 f(x) αρνητική για κάθε x άρα f'(x)= (4/f(-x))<0 άρα f γνησίως φθίνουσα

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Βασίλης Δ.]

1)Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι y-f(0)=f'(0)(x-0) αρα y-f(0)=f'(0)x αντικαθιστώντας το σημείο Α που ανήκει στην ευθεία έχεις -4-f(0)=f'(0) (1) και βάζοντας στην αρχική όπου χ το 0 έχεις f(0)f'(0)=4 (2) και λύνεις το σύστημα (1),(2) απο όπου f(0)=-2 και f'(0)=-2
2)H f(x) διάφορη του 0 για κάθε x στο R λόγω της αρχικής άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο και αφού f(0)=-2<0 f(x) αρνητική για κάθε x άρα f'(x)= (4/f(-x))<0 άρα f γνησίως φθίνουσα

ευχαριστώ πολύ .. επίσης πως μπορώ να βρώ τον τύπο της f ?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[qwerty111]

Βάζεις στην αρχική σχέση όπου χ το -χ: f(x)f'(-x)=4
Άρα f(x)f'(-x)=f(-x)f'(x)<=> f(-x)f'(x)-f(x)f'(-x)=0<=>f'(x)f(-x)+f(x)(f(-x))'=0<=>(f(x)f(-x))'=0<=>f(x)f(-x)=c
Για χ=0: c=4 (Αν ο φίλος παραπάνω βρήκε σωστά τα f(0), f'(0))
Άρα f(-x)=4/f(x)
H αρχική σχέση γίνεται: f'(x)/f(x)=1<=>ln(-f(x))=χ+c1 <=>f(x)=-e^(x+c1)
Για χ=0 βρίσκεις το c1

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Giorgio-PD]

f'(x)=ln(x^2 + e)

Πως θα βρω αρχική αν f(0)=0...πφφφ...δεν αντέχω άλλο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.