Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

jjoohhnn · 17-11-11

Έστω μιγαδικός zx=e^x+xi, x ανήκει IR. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός zα που έχει το ελάχιστο μέτρο με ανήκει στο (-1,0).

Παίρνω, έστω f(x)=μέτρο του z, παραγωγίζω την f για να βρω το ελάχιστό της και έχω στον αριθμητή e^2x+x. Στη συνέχεια
παίρνω, έστω g(χ)=e^2x+x και g΄ για να μελετήσω το πρόσημό της αλλά δεν μπορώ να βγάλω κάτι.

13diagoras · 17-11-11

Να ρωτησω κατι το οποιο προεκυψε απο την σχολη την περασμενη βδομαδα.
Στο λυκειο μαθαμε οτι η μορφη 1^(απειρο) ειναι απροδριοριστη ,οπως επισης η μορφη 0^(απειρο).
Μαλιστα μερικοι καθηγητες μας λεγαν"Ποσο πιστευετε οτι θα κανει αυτο??"Και οι περισσοτεροι(αν εν το ηξεραν) απαντουσαν 1 και 0 αντιστοιχα.
Μετα γελουσε ο καθηγητης ,κλασσικα,και ελεγε πως αυτο το οριο κανει ο,τι θελει!!
Την περασμενη βδομαδα ,λοιπον,ερχετε ο καθηγητης να διδαξει ακολουθιες και μας λεει οτι το οριο φ(χ)^(απειρο) για φ(χ)=1 μας κανει 1 ,αφου 1χ1χ1χ1χ....1=1 (το οριο τεινει στο απειρο).Ε μετα προεκυψε μια συζητηση,οπου εν τελει ο καθηγητης μπερδευτηκε και δεν μας ελυσε την απορια.
Για πειτε...

diaryofdreams · 17 Νοεμβρίου 2011

Καταρχην ΔΕΝ ειναι , 1 η 0 , αλλα κατι ΠΟΛΥ κοντα στο 1 , η μηδεν , δηλ 1,0000000...1 η 0,99999...

και κατι που κολαει , και ειχε πεσει και σε θεματα ΑΣΕΠ διορισμου μαθηματικων , και απο οτι ειχα μαθει γενικα δεν το ελυσαν πολλοι .

χ=0,999999...
10*χ=9,9999...
10*χ=9+0,999...
10*χ=9+χ ( απο την 1η)
χ=1

παραδοξο και καλα

rebel · 17 Νοεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από 13diagoras:
Να ρωτησω κατι το οποιο προεκυψε απο την σχολη την περασμενη βδομαδα.
Στο λυκειο μαθαμε οτι η μορφη 1^(απειρο) ειναι απροδριοριστη ,οπως επισης η μορφη 0^(απειρο).
Μαλιστα μερικοι καθηγητες μας λεγαν"Ποσο πιστευετε οτι θα κανει αυτο??"Και οι περισσοτεροι(αν εν το ηξεραν) απαντουσαν 1 και 0 αντιστοιχα.
Μετα γελουσε ο καθηγητης ,κλασσικα,και ελεγε πως αυτο το οριο κανει ο,τι θελει!!
Την περασμενη βδομαδα ,λοιπον,ερχετε ο καθηγητης να διδαξει ακολουθιες και μας λεει οτι το οριο φ(χ)^(απειρο) για φ(χ)=1 μας κανει 1 ,αφου 1χ1χ1χ1χ....1=1 (το οριο τεινει στο απειρο).Ε μετα προεκυψε μια συζητηση,οπου εν τελει ο καθηγητης μπερδευτηκε και δεν μας ελυσε την απορια.
Για πειτε...

Ο καθηγητής σου όταν έλεγε ότι κάνει ότι θέλει μάλλον αναφερόταν στο όριο συναρτήσεων $\lim_{x\to x_0}f(x)^{g(x)}$ με $\lim_{x\to x_0}f(x)=1$ και $\lim_{x\to x_0}g(x)=\pm \infty$ το οποίο πράγματι εξαρτάται από τις συναρτήσεις $f,g$ και δεν έχει συγκεκριμένη τιμή. Για παράδειγμα
$\lim_{x\to 0}\left(1+x^2\right)^\frac{1}{x}=1$ ενώ $\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$

Tώρα όταν αναφέρεσαι στην ακολουθία $a_n=1^n$ προφανώς $a_n=1,\,\, \forall n\in \mathbb{N}$ oπότε και το όριο είναι 1.

Αρχική Δημοσίευση από jjoohhnn:
Έστω μιγαδικός zx=e^x+xi, x ανήκει IR. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός zα που έχει το ελάχιστο μέτρο με ανήκει στο (-1,0).

Παίρνω, έστω f(x)=μέτρο του z, παραγωγίζω την f για να βρω το ελάχιστό της και έχω στον αριθμητή e^2x+x. Στη συνέχεια
παίρνω, έστω g(χ)=e^2x+x και g΄ για να μελετήσω το πρόσημό της αλλά δεν μπορώ να βγάλω κάτι.

$g(-1)=e^{-2}-1<0,\,\,g(0)=1>0$ άρα από Βοlzano υπάρχει $\xi \in (-1,0)$ με $g(\xi)=0$ . Επίσης $g^\prime(x)=2e^{2x}+1>0$ άρα $g$ γν. αύξουσα στο $(-1,0)$ οπότε $f^\prime(x)<f^\prime(\xi)=0,\,\,x\in (-1,\xi)$ και $f^\prime(x)>f^\prime(\xi)=0,\,\,x\in (\xi,0)$ Άρα η $f(x)\geq f(\xi),\,\,x \in\(-1,0)$

jjoohhnn · 17-11-11

Αρχική Δημοσίευση από jjoohhnn:
Έστω μιγαδικός zx=e^x+xi, x ανήκει IR. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός zα που έχει το ελάχιστο μέτρο με α ανήκει στο (-1,0).

Παίρνω, έστω f(x)=μέτρο του z, παραγωγίζω την f για να βρω το ελάχιστό της και έχω στον αριθμητή e^2x+x. Στη συνέχεια
παίρνω, έστω g(χ)=e^2x+x και g΄ για να μελετήσω το πρόσημό της αλλά δεν μπορώ να βγάλω κάτι.

^

jjoohhnn · 17-11-11

$g(-1)=e^2-1<0,\,\,g(0)=1>0$ άρα από Βοlzano υπάρχει $\xi \in (-1,0)$ με $g(\xi)=0$ . Επίσης $g^\prime(x)=2e^{2x}+1>0$ άρα $g$ γν. αύξουσα στο $(-1,0)$ οπότε $f^\prime(x)<f^\prime(\xi)=0,\,\,x\in (-1,\xi)$ και $f^\prime(x)>f^\prime(\xi)=0,\,\,x\in (\xi,1)$ Άρα η $f(x)\geq f(\xi),\,\,x \in\(-1,0)$ [/QUOTE]

Μέχρι το ότι g γν. αύξουσα και από Bolzano υπάρχει α ανήκει στο (-1,0), είχα φτάσει. Από εκεί και πέρα έστω x1<x2<=>g(x1)<g(x2)<=>
<=> g(x1)/(e^2x+x^2)^1/2<g(x2)/(e^2x+x^2)^1/2<=>f΄(x1)<f΄(x2) άρα f΄ γνησίως αύξουσα. Σωστό δεν είναι?

diaryofdreams · 17-11-11

Η συναρτηση μετρου , εινα ΠΑΝΤΑ θετικη , και μπορουμε να ελαχιστοποιησουμε το τετραγωνο της (για να απαλλαγουμε απο το ριζικο ) . Αυτη η συναρτηση ειναι η f(x)=e^(2x)+x^2 . για να μελετησουμε μονοτονια (ειναι παραγωγισιμη ) την παραγωγιζουμε και εχουμε g(x)=2e^(2x)+2x Αυτη ειναι συνεχης στο [-1,0] και g(-1)g(0)<0 αρα υπαρχει τουλαχιστον 1 x sto (0,1) : g(x)=0 . Tωρα αποδεικνυεται με 2 τροπους οτι ειναι το μοναδικο (μπορω να το δειξω αν θες ) , οποτε μενει να αποδειξουμε οτι ειναι ελαχιστο και οχι μεγιστο , το οποιο αποδεικνυεται ευκολα , με θεωρημα 2ης παραγωγου , η οποια ειναι η f''(x)=2(2e^2x+1) παντα θετικη στο (-1,0) αρα και στο εν λογω σημειο . συνεπως εινα τ. ελαχιστο

jjoohhnn · 17-11-11

Αρχική Δημοσίευση από diaryofdreams:
Η συναρτηση μετρου , εινα ΠΑΝΤΑ θετικη , και μπορουμε να ελαχιστοποιησουμε το τετραγωνο της (για να απαλλαγουμε απο το ριζικο ) . Αυτη η συναρτηση ειναι η f(x)=e^(2x)+x^2 . για να μελετησουμε μονοτονια (ειναι παραγωγισιμη ) την παραγωγιζουμε και εχουμε g(x)=2e^(2x)+2x Αυτη ειναι συνεχης στο [-1,0] και g(-1)g(0)<0 αρα υπαρχει τουλαχιστον 1 x sto (0,1) : g(x)=0 . Tωρα αποδεικνυεται με 2 τροπους οτι ειναι το μοναδικο (μπορω να το δειξω αν θες ) , οποτε μενει να αποδειξουμε οτι ειναι ελαχιστο και οχι μεγιστο , το οποιο αποδεικνυεται ευκολα , με θεωρημα 2ης παραγωγου , η οποια ειναι η f''(x)=2(2e^2x+1) παντα θετικη στο (-1,0) αρα και στο εν λογω σημειο . συνεπως εινα τ. ελαχιστο

Δεν έχω κάνει ακόμη κριτήριο δεύτερης παραγώγου, αλλά ευχαριστώ.

drosos · 17-11-11

Δεν ειναι εκτος αυτο;

νατ · 20-11-11

λοιπον...άλλη μια ασκηση poy xreiazomai bohueia ..(Ειναι στις παραγωγους μονο ορισμος)

Να αποδειξετε οτi η παραγωgος καθε συναρτησης f στο χo ειναι ιση με 2f(xo)

drosos · 20-11-11

Μονο αυτο σου λεει ουτε σχεσ ηουτε τπτ;

Rempeskes · 20-11-11

Αρχική Δημοσίευση από diaryofdreams:
Καταρχην ΔΕΝ ειναι , 1 η 0 , αλλα κατι ΠΟΛΥ κοντα στο 1 , η μηδεν , δηλ 1,0000000...1 η 0,99999...

και κατι που κολαει , και ειχε πεσει και σε θεματα ΑΣΕΠ διορισμου μαθηματικων , και απο οτι ειχα μαθει γενικα δεν το ελυσαν πολλοι .

χ=0,999999...
10*χ=9,9999...
10*χ=9+0,999...
10*χ=9+χ ( απο την 1η)
χ=1

παραδοξο και καλα

Exμ, είμαι απόλυτα σίγουρος πως ο αριθμός 0,9999.... είναι ακριβώς ίσος με 1,
και αυτό δεν ενέχει κανένα παράδοξο. :worry:

antwwwnis · 20-11-11

Μου θυμίζει αυτό:
1/3=0.33333333333..
1/3 x3=0.333333333.. x 3
1=0.99999999...

νατ · 22 Νοεμβρίου 2011

ναι μονο αυτο..

Αρχική Δημοσίευση από drosos:
Μονο αυτο σου λεει ουτε σχεσ ηουτε τπτ;

Αρχική Δημοσίευση από Miss Daisy:
λοιπον...άλλη μια ασκηση poy xreiazomai bohueia ..(Ειναι στις παραγωγους μονο ορισμος)

Να αποδειξετε οτi η παραγωgος καθε συναρτησης f στο χo ειναι ιση με 2f(xo)

ναι αυτο λέει μονο.....

Civilara · 21-11-11

Αρχική Δημοσίευση από Miss Daisy:
λοιπον...άλλη μια ασκηση poy xreiazomai bohueia ..(Ειναι στις παραγωγους μονο ορισμος)

Να αποδειξετε οτi η παραγωgος καθε συναρτησης f στο χo ειναι ιση με 2f(xo)

Αυτό δεν ισχύει για κάθε συνάρτηση f αλλά για ορισμένες. Οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις σε ένα διάστημα Δ υποσύνολο του R για τις οποίες ισχύει f΄(x)=2f(x) είναι της μορφής f(x)=ce^(2x) όπου c ανήκει R και x ανήκει Δ.

Rempeskes · 22 Νοεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Μου θυμίζει αυτό:
1/3=0.33333333333..
1/3 x3=0.333333333.. x 3
1=0.99999999...

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να αποδειχθεί ότι 0.999...=1. Ενδεικτικά

Το άθροισμα γεωμετρικής προόδου είναι 1+α+α^2+...= 1/(1-α), για |α|<1
Με χρήση αυτού, είναι
0.999...= 0.9+0.09+0.0009+... =9(0.1+0.01+0.001+...)=
9 *(αθροισμα γεωμετρικής προόδου με πρωτο όρο 0.1 και λόγο 0.1)= 9*(1/9)=1

Διαφορετικά.
Έστω πως ίσχυε 0,999...<1.
Θα φτάσουμε σε άτοπο.
Ο αριθμός ε=1-0.999... θα ήταν θετικός.
Στο δεκαδικό του ανάπτυγμα, έστω κ ο μικρότερος όρος με θετικό συντελεστή: α= α_κ(10^{-κ})+...
Εύκολα βλέπουμε πως κ>1 και α_κ<9, αλλιώς τουλάχιστον ο κ+1 όρος θα ήταν εκείνος με τον μικρότερο θετικό συντελεστή.
Τότε ε= (9-α_κ)^10{^-κ}+... >=0.0...01,
δηλαδή 1-0.999...>0.0...01 και άρα 1 > 0.999...+0.0...01 > 1.0....099...

άτοπο.
οπερ έδει δείξαι,
quod erat demonstradum,
whatever lol
όπως θέλετε πείτε το, το γεγονος είναι πως τελείωσε
και μπορούμε να πάμε έξω να πιούμε ένα ποτό.
cheerz

drosos · 22-11-11

x=0.99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999..............................(1)
10x=9.999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999..............................(2)
Αφαιρω (2)-(1)=>9χ=9=>χ=1
Αρα 1=0.9999...

1/3+1/3+1/3=1
1/3=0.33333....
0.33333+0.33333+0.3333=0.9999999
αρα 0.9999=1

Δυο απλοι τροποι αν μπορει καποιος να μου το εξηγησει γτ γινεται αυτο

Ακομα θα σας αποδειξω οτι 1+1=0

(οι περισσοτεροι θα το ξερετε)

$1+1=1+{1}^{\frac{1}{2}}=1+[{(-1)}^{\frac{1}{2}}{(-1)}^{\frac{1}{2}}]=1+{{i}^{2}}^{\frac{1}{2}}{{i}^{2}}^{\frac{1}{2}}=1+{i}^{2}=1-1=0$

Guest 010239 · 23-11-11

Αρχική Δημοσίευση από drosos:
Ακομα θα σας αποδειξω οτι 1+1=0 (οι περισσοτεροι θα το ξερετε)

(-1)^(1/2) :whistle:

koum · 23-11-11

Αρχική Δημοσίευση από drosos:
$1+1=1+{1}^{\frac{1}{2}}=1+[{(-1)}^{\frac{1}{2}}{(-1)}^{\frac{1}{2}}]=1+\color{red}{{{i}^{2}}^{\frac{1}{2}}{{i}^{2}}^{\frac{1}{2}}}$ $=1+{i}^{2}=1-1=0$

Βρες το λάθος.

drosos · 23-11-11

ναι γτ δεν ειναι λογικο το -1^(1/2)=ριζα(-1)

Εδω μαθαινουμε οτι i^2=-1

Παντως αυτο ηταν το λαθος

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 010239

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος