
30-10-11

17:45
Αν f(x)=x^x +3,x>0 να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο xo=1 και να δείξετε ότι σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν 9/2. Βρήκα εφαπτομένη την ψ=χ αλλά μετά δεν ξέρω τι να κάνω για το εμβαδόν.Λίγη βοήθεια?
f(x)=x^x+3=e^(xlnx)+3, x>0
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+άπειρο) με παράγωγο f΄(x)=e^(xlnx)(1+lnx)=(x^x)(1+lnx)
f(1)=4, f΄(1)=1
Η εφαπτομένη (ε) της Cf στο (1, f(1)) έχει εξίσωση:
y=f΄(1)(x-1)+f(1) => y=x-1+4 => y=x+3
Η (ε) τέμνει τον άξονα x στο σημείο Α(-3,0) και τον άξονα y στο σημείο Β(0,3)
Επομένως (ΟΑ)=3 και (ΟΒ)=3 όπου Ο(0,0)
Το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο με ορθή γωνία στο Ο. Επομένως το εμβαδόν του είναι
E=(1/2)*(OA)*(OB) => E=9/2 τετραγωνικές μονάδες.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.