Rania.
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
qwerty111
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Το όριο υπάρχει και είναι ίσο με το αριστερό όριοΝαι αλλα σου λεει οτι οριζεται για χ στο διαστημα (-οο,0]ενωση[1,+οο), δηλαδη βλεπεις οτι στο (0,1) δεν υπαρχει συναρτηση, επομενως δεν μπορεις να προσεγγισεις την τιμη της στο 0 απο το ενα ακρο, δηλαδη δεν υπαρχει το ενα πλευρικο οριο! Αρα δεν υπαρχει και οριο, επομενως δεν ειναι συνεχης.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
dark_knight
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
α) Αυτή η συνάρτηση ΔΕΝ ορίζεται στο (0,1) και συνεπώς δεν μπορείς να μιλάς για όριο από τα θετικά στο 0. Σε αυτήν την περίπτωση το όριο στο 0 είναι όσο είναι το όριο από τα αρνητικά. Η f δηλαδή τείνει στο 5 για χ->0.
Αυτό που έγραψε στο β), όπως σωστά παρατήρησες, δεν ισχύει (μάλλον θα μπήκε από αβλεψία του exc, αφού άλλωστε έρχεται σε αντίθεση με όσα έγραψε στο α). Εδώ σου αρκεί να πάρεις το ένα πλευρικό όριο, αφού το άλλο δεν έχει νόημα. Το (0,1) δεν υπάρχει στον χώρο σου, δουλεύεις στο R\(0,1) και η συνάρτησή σου είναι συνεχής παντού στο R\(0,1).
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
dark_knight
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
ως διάστημα ορίζεται ένα συνεχές σύνολο πραγματικών αριθμών. Το R\(0,1) δεν είναι ένα συνεχές σύνολο πραγματικών αριθμών και για αυτό χαρακτήρισα ως ασυνεχές το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
Τα συνήθη θεωρήματα, όταν μιλούν για συνέχεια, εννοούν πάντα συνέχεια σε διάστημα (και εδώ το π.ο. της δεν είναι διάστημα), γι' αυτό παρότι βάσει του κλασικού ορισμού ε-δ για τη συνέχεια, που εφαρμόζεται μόνο εντός του πεδίου ορισμού, είναι συνεχής, δεν τη χαρακτήρια συνεχή.
Αν σου δώσω π.χ. την λ(x) που είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και σου πω ότι λ(α)<0 και λ(β)>0 τότε βάσει ορισμού ε-δ για τη συνέχεια ΔΕΝ μπορείς να μου πεις ότι έχει ρίζα μεταξύ α και β γιατί η συνέχεια στο π.ο. δεν σημαίνει ότι το π.ο. είναι διάστημα.
Είναι λοιπόν καθαρά θέμα ορισμών και όχι ουσίας.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
dark_knight
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Τα συνήθη θεωρήματα, όταν μιλούν για συνέχεια, εννοούν πάντα συνέχεια σε διάστημα
Δεν το εννοούν απλά, χρειάζεται να το δηλώνουν ρητά στις υποθέσεις, γιατί αλλιώς δεν είναι αυτονόητο, πχ. στο θ. Μπολζάνο που αναφέρεις "Έστω f συνεχής στο διάστημα [α,β]...". Στη συνάρτηση του qwerty δεν μπορείς να εφαρμόσεις θ. Μπολζάνο στο [-1,5] επειδή η συνάρτηση δεν ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Μπολζάνο στο διάστημα αυτό (δεν είναι συνεχής στο [-1,5] αφού δεν ορίζεται σε αυτό).
Είναι λοιπόν καθαρά θέμα ορισμών και όχι ουσίας.
Ο ορισμός της συνέχειας συναρτήσεων είναι ένας και αν θες να δείξεις ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής ή όχι, θα πρέπει να χρησιμοποιήσεις είτε αυτόν, είτε κάποιον από τους ισοδύναμους χαρακτηρισμούς του. Το να κατανοήσεις τον ορισμό είναι το πιο ουσιαστικό βήμα για να προχωρήσεις στην απόδειξη ενός ισχυρισμού.
Για να επανέλθουμε στο αρχικό ερώτημα του qwerty,
ναι είναι συνεχής παντού στο πεδίο ορισμού της. Ένα άλλο παράδειγμα είναι να θεωρήσεις τη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού τους φυσικούςΣτο πεδίο ορισμού της είναι συνεχής;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Για να επανέλθουμε στο αρχικό ερώτημα του qwerty, ναι είναι συνεχής παντού στο πεδίο ορισμού της. Ένα άλλο παράδειγμα είναι να θεωρήσεις τη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού τους φυσικούςγια την οποία
. Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής παντού στο
. Γενικώς, οποιαδήποτε συνάρτηση
είναι συνεχής στο
.
Εδώ είσαι λάθος. Η συνάρτηση f(n) όπου n φυσικός είναι ακολυθία και για καμία ακολουθία δεν ορίζεται όριο lim(n->n0)f(n) για οποιοδήποτε φυσικό αριθμό n0. Ο λόγος είναι απλός και θέλει κατανόηση του ορισμού του ορίου και της συνέχειας συνάρτησης. Για να είναι συνεχής μία συνάρτηση F στο x0 του πεδίου ορισμού της πρέπει να είναι ορισμένη τουλάχιστον σε ένα διάστημα της μορφής (α,x0], [x0,β) ή μπορεί να είναι ορισμένη στο (α,β) όπου α<x0<β. Για μία ακολουθία f(n) ορισμένη στο Ν, δεν υπάρχει κανένα διάστημα της μορφής (α,n0] ή [n0, β) ή (α,β) με α<n0<β για οποιοδήποτε φυσικό αριθμό n0, γιατί πολύ απλά περιέχονται σε αυτά τα διαστήματα πραγματικοί αριθμοί που ΔΕΝ είναι φυσικοί. Γι αυτό το λόγο όχι μόνο οι ακολουθίες δεν είναι συνεχείς συναρτήσεις αλλά δεν ορίζεται για κανένα φυσικό αριθμό n0 και για καμία ακολουθία το όριο lim(n->n0)f(n). Το μόνο όριο που υφίσταται ως έννοια για μία ακολουθία f(n) ορισμένη στο N, είναι το lim(n->+άπειρο)f(n).
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Kostas741
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![Πολύ χαρούμενος :D :D](https://www.e-steki.gr/images/smilies/biggrin.gif)
Εστω f,g 2 γνησιως μονοτονες συναρτησεις με f,g: R-->R. Η Cf τεμνει τον αρνητικο ημιαξονα Ox' και τον αξονα y'y στο Α(0,-1) και η Cg τεμνει τον αξονα χ'χ στο -1 και τον θετικο ημιαξονα Oy.
Ποια η μονοτονια των f και g?
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
qwerty111
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Εκμεταλλεύσου τη γνήσια μονοτονία των συναρτήσεων και κάνε ένα πρόχειρο σχήμα με τα δεδομένα που σου δίνει. Αν πάλι δεν τα καταφέρεις, πες μαςΟποτε μπορειτε δωστε λιγο τα φωτα σας
Εστω f,g 2 γνησιως μονοτονες συναρτησεις με f,g: R-->R. Η Cf τεμνει τον αρνητικο ημιαξονα Ox' και τον αξονα y'y στο Α(0,-1) και η Cg τεμνει τον αξονα χ'χ στο -1 και τον θετικο ημιαξονα Oy.
Ποια η μονοτονια των f και g?
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Insomnie
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Οποτε μπορειτε δωστε λιγο τα φωτα σας
Εστω f,g 2 γνησιως μονοτονες συναρτησεις με f,g: R-->R. Η Cf τεμνει τον αρνητικο ημιαξονα Ox' και τον αξονα y'y στο Α(0,-1) και η Cg τεμνει τον αξονα χ'χ στο -1 και τον θετικο ημιαξονα Oy.
Ποια η μονοτονια των f και g?
Για την f: f(a)=0>f(0),όπου α η τετμημένη του σημείου τομής με τον Οχ'
με α<0 άρα φ γνησίως φθίνουσα.
Βρές με παρόμοιο τρόπο τη μονοτονία της g^^
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
dark_knight
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Εδώ, για ε=1/3, η ανοικτή περιοχήΓια να είναι συνεχής μία συνάρτηση F στο x0 του πεδίου ορισμού της πρέπει να είναι ορισμένη τουλάχιστον σε ένα διάστημα της μορφής (α,x0], [x0,β) ή μπορεί να είναι ορισμένη στο (α,β) όπου α<x0<β.
Σε αυτό συμφωνώ απόλυτα, άλλωστε ο λόγος που κάνουμε αυτή τη συζήτηση είναι ότι δεν έχετε κατανοήσει σε βάθος την έννοια αυτή. Από ότι βλέπω οι σχολές σας (Φυσικό και Πολ. Μηχανικοί), αν και χτίζουν ένα πολύ καλό μαθηματικό υπόβαθρο, δεν υπεισέρχονται (και δικαιολογημένα άλλωστε) σε λεπτομέρειες σε θεμελιώδη θέματα ανάλυσης. Ακόμα και αρκετοί συνάδελφοί μου μαθηματικοί θα μπερδεύονταν εύκολα στο συγκεκριμένο.θέλει κατανόηση του ορισμού του ορίου και της συνέχειας συνάρτησης.
Τέλοσπάντων, αυτό για την f από το Ν στο R μπορείτε να το ελέγξετε και στις σημειώσεις του κυριού Γιαννόπουλου, σελίδα 28, Παραδείγματα 2.2.2, β), όπου γράφει Χ εννοεί μετρικό χώρο, πχ. το R είναι μετρικός χώρος.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Έχεις δίκαιο. Είπα τεράστια βλακεία πριν.
Sorry.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Kostas741
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![Πολύ χαρούμενος :D :D](https://www.e-steki.gr/images/smilies/biggrin.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
dark_knight
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
@Civilara
Αν κατάλαβα καλά ρωτάς:Με λίγα λόγια, αν η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη στο διάστημα Δ και συνεχής στο n0 ανήκει Δ, όπου n0 φυσικός αριθμός, τότε η ακολουθία αn=f(n) όπου n ανήκει Α=N τομή Df είναι συνεχής στο n0. Ισχύει αυτό;
Έστω συνάρτηση
Απάντηση: Ναι, όπως και σε κάθε άλλο σημείο του πεδίου ορισμού της, δηλαδή του
Απλά δεν καταλαβαίνω τί ρόλο παίζει η f εδώ. Το ότι η f είναι συνεχής δεν έχει σημασία για τη συνέχεια της g.
Πρόσεξε ότι στο αρχικό πρόβλημα με την τυχούσα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Έστω η συνάρτηση f: R->R η οποία είναι γνησίως φθίνουσα και η συνάρτηση g(x)= f(3x-2)-f(1-2x), x ανήκει R
Να εξετάσετε την g ως προς την μονοτονία της. (Εδώ πρέπει να δουλέψουμε με προφανής ρίζα??)
ΚΑΙ
Έστω η συνάρτηση f:[0, +άπειρο)->R με f(0)=0, η οποία είναι γνησίως αύξουσα και η συνάρτηση g(x)=f(x)/ln(x+1), x>0. Να δείξετε ότι g(x)>0 για κάθε χ ανήκει R
Και πάλι ευχαριστώ!!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Έστω η συνάρτηση f: R->R η οποία είναι γνησίως φθίνουσα και η συνάρτηση g(x)= f(3x-2)-f(1-2x), x ανήκει R. Να εξετάσετε την g ως προς την μονοτονία της.
Θεωρώ x1, x2 ανήκουν R τέτοια ώστε x1<x2. Έχουμε:
g(x2)-g(x1)=f(3x2-2)-f(1-2x2)-f(3x1-2)+f(1-2x1)=[f(3x2-2)-f(3x1-2)]+[f(1-2x1)-f(1-2x2)]
x1<x2 => 3x1
![Love2 <3 <3](https://www.e-steki.gr/images/smilies/2018/love2.gif)
![Love2 <3 <3](https://www.e-steki.gr/images/smilies/2018/love2.gif)
x1<x2 => -2x1>-2x2 => 1-2x1>1-2x2 => f(1-2x1)<f(1-2x2) => f(1-2x1)-f(1-2x2)<0 αφού f γνησίως φθίνουσα
Αν προσθέσω κατά μέλη τις 2 τελευταίες ανισότητες προκύπτει:
[f(3x2-2)-f(3x1-2)]+[f(1-2x1)-f(1-2x2)]<0 => g(x2)-g(x1)<0 => g(x1)>g(x2)
Για κάθε x1, x2 στο R με x1<x2 ισχύει g(x1)>g(x2). Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο R.
Έστω η συνάρτηση f:[0, +άπειρο)->R με f(0)=0, η οποία είναι γνησίως αύξουσα και η συνάρτηση g(x)=f(x)/ln(x+1), x>0. Να δείξετε ότι g(x)>0 για κάθε χ ανήκει R.
Για x>0 προκύπτει f(x)>f(0) => f(x)>0 αφού η f είναι γνησίως αύξουσα. Άρα f(x)>0 για κάθε x στο (0,+άπειρο)
x>0 => x+1>1 => ln(x+1)>ln1 => ln(x+1)>0 για κάθε x στο (0,+άπειρο)
Επειδή f(x)>0 και ln(x+1)>0 για κάθε x στο (0,+άπειρο) τότε g(x)>0 για κάθε x στο (0,+άπειρο)
Το "Να δείξετε ότι g(x)>0 για κάθε χ ανήκει R" είναι λάθος αφού το πεδίο ορισμού της g είναι το (0,+άπειρο).
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Θεωρώ x1, x2 ανήκουν R τέτοια ώστε x1<x2. Έχουμε:
g(x2)-g(x1)=f(3x2-2)-f(1-2x2)-f(3x1-2)+f(1-2x1)=[f(3x2-2)-f(3x1-2)]+[f(1-2x1)-f(1-2x2)]
x1<x2 => 3x1x2 => 3x1-2
x2-2 => f(3x1-2)>f(3x2-2) => f(3x2-2)-f(3x1-2)<0 αφού f γνησίως φθίνουσα
x1<x2 => -2x1>-2x2 => 1-2x1>1-2x2 => f(1-2x1)<f(1-2x2) => f(1-2x1)-f(1-2x2)<0 αφού f γνησίως φθίνουσα
Αν προσθέσω κατά μέλη τις 2 τελευταίες ανισότητες προκύπτει:
[f(3x2-2)-f(3x1-2)]+[f(1-2x1)-f(1-2x2)]<0 => g(x2)-g(x1)<0 => g(x1)>g(x2)
Για κάθε x1, x2 στο R με x1<x2 ισχύει g(x1)>g(x2). Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο R.
Για x>0 προκύπτει f(x)>f(0) => f(x)>0 αφού η f είναι γνησίως αύξουσα. Άρα f(x)>0 για κάθε x στο (0,+άπειρο)
x>0 => x+1>1 => ln(x+1)>ln1 => ln(x+1)>0 για κάθε x στο (0,+άπειρο)
Επειδή f(x)>0 και ln(x+1)>0 για κάθε x στο (0,+άπειρο) τότε g(x)>0 για κάθε x στο (0,+άπειρο)
Το "Να δείξετε ότι g(x)>0 για κάθε χ ανήκει R" είναι λάθος αφού το πεδίο ορισμού της g είναι το (0,+άπειρο).
Φίλε μου είσαι φοβερός κατάλαβα τον τρόπο λύσης σου!! όσο για την δεύτερη άσκηση έχει απόλυτο δίκιο είναι δικό μου λάθος!! Και πάλι ένα μεγάλο ευχαριστώ!!
![Πολύ χαρούμενος :D :D](https://www.e-steki.gr/images/smilies/biggrin.gif)
![Πολύ χαρούμενος :D :D](https://www.e-steki.gr/images/smilies/biggrin.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
antwwwnis
Διάσημο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![Γλώσσα :P :P](https://www.e-steki.gr/images/smilies/tongue.gif)
Είμαι στους μιγαδικούς (Πολύ πίσω ε;
![Γλώσσα :P :P](https://www.e-steki.gr/images/smilies/tongue.gif)
Έχω μια απορία, λοιπόν.
Μέχρι τώρα ήξερα πως η εξίσωση ( χ^ν=α ) με ν περιττο και α>0 έχει ως ριζα μία και μοναδική, την νιοστή ρίζα του α.
Τώρα με τους μιγαδικούς, βρήκα την εξίσωση χ³=1 η οποία αν λυθεί με τα παραπάνω, έχει ρίζα το χ=1
Αν όμως γίνει χ³-1=0 και γινει παραγοντοποίηση, τότε βγάζουμε άλλες 2 ρίζες, μιγαδικές.
Τελικά, σε μια εξίσωση τέτοιου τύπου, ποιος είναι ο σίγουρος τρόπος να μην χάνουμε ρίζες;
πχ στο χ^5=2
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Χρήστες Βρείτε παρόμοια
-
Τα παρακάτω 0 μέλη και 14 επισκέπτες διαβάζουν μαζί με εσάς αυτό το θέμα:Tα παρακάτω 270 μέλη διάβασαν αυτό το θέμα:
- thepigod762
- Mariosm.
- soulatso
- oteletampis
- phleidhs
- *
- Hased Babis
- nearos
- AggelikiGr
- *
- sir ImPeCaBlE
- veiNqh
- Scandal
- alekos
- Debugging_Demon
- just some guy
- xristosgkm
- ismember
- Apocalypse
- arrow25
- *
- rempelos42
- *
- ggl
- *
- *
- GStef
- QWERTY23
- xrisamikol
- Σωτηρία
- nikoletaz57
- _Aggelos123
- Mariam38
- *
- SlimShady
- *
- strsismos88
- *
- Georgekk
- Lia 2006
- igeorgeoikonomo
- marian
- tsiobieman
- constansn
- Xristosdimitra
- Panagiotis849
- *
- ρενακι 13
- *
- Memetchi
- eukleidhs1821
- Nikkkpat
- Unboxholics
- korlef
- *
- kwstaseL
- Thanos_D
- *
- the purge
- T C
- Giii
- Papachrist
- liaiscool
- Αννα Τσιτα
- globglogabgalab
- Pharmacist01
- thanahss
- abcdefg12345
- nicole1982
- *
- *
- *
- thecrazycretan
- kvstas92
- KingOfPop
- *
- nPb
- maria301
- papa2g
- stefan
- *
- Κλημεντίνη
- TonyMontanaEse
- Athens2002
- Alexecon1991
- Μάρκος Βασίλης
- *
- Cortes
- το κοριτσι του μαη
- calliope
- *
- *
- *
- *
- ale
- panagiotis G
- *
- Kleanth
- aggelosst9
- BioChemical
- spring day
- nucomer
- Georgia110
- LeoDel
- pink_panther
- Alexandros973
- marsenis
- den antexw allh apotyxia
- KaterinaL
- kiyoshi
- drosos
- Λαμπρινηη
- Bill22
- Chrysablac.
- giorgosp97
- *
- Βλα
- Monster Hunter
- jul25
- xxxtolis
- Stroka
- *
- nicks1999
- totiloz
- *
- Earendil
- mitsakos
- tasost
- lnesb
- ssalex
- Vasilina93
- alan09
- *
- Livaja10
- χημεια4λαιφ
- *
- *
- Viedo
- UncleJ
- Kostakis45
- Infrared
- Zgian
- pepatogourounaki
- hirasawayui
- GeoCommand
- Eleni54
- American Economist
- EiriniS20
- Johny4Life
- ΘανάσοςG4
- *
- stamoul1s
- Αριάνα123
- uni77
- tasoss
- *
- PanosCh002
- Unseen skygge
- *
- Νικόλας Ραπ.
- *
- cel123
- The Limit Does Not Exist
- *
- don_vito
- suaimhneas
- Αλκης Κ.
- alexrami
- Baggelitsa36
- Νομικάριος13
- spinalgr1990
- d_th
- *
- Adolfo valencia
- Πα.Κ
- Vasilis25
- Johnman97
- Steffie88
- rekcoR
- *
- gwgw_5
- fockos
- Mariahj
- roud
- kostas83
- Cpt.Philips
- *
- Makis45
- *
- Χρησλου
- Panos_02
- Vold
- *
- *
- tymvorixos
- GiorgosAsi
- Neos167
- *
- *
- theodoraooo
- *
- George187
- Άρτεμις Α.
- Μαρία2222
- christos87
- Idontknoww
- jimis2001
- Metamorph
- Γατόπαρδος.
- Johnsk
- mitsos14
- johnsiak
- *
- Elel
- Dreamer_SW
- Γιαννης1987Θεσσ
- *
-
Φορτώνει...
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.