Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

red span · 22-06-11

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Σωστή παρατήρηση και την περίμενα. Το πεδίο ορισμού της f θα έπρεπε να δίνεται. Είναι παράλειψη της εκφώνησης, γι αυτό και έκανα την παραδοχή ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το ευρύτερο δυνατό για το οποίο η εξίσωση (f(x))^3+2f(x)=3x έχει μοναδική πραγματική λύση.

Θεώρησε τη συνάρτηση g(y)=y^3+2y+α όπου α πραγματικός αριθμός. Το πεδίο ορισμού της g είναι το Dg=R ως πολυωνυμικής συνάρτησης.

Η συνάρτηση g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με παράγωγο g'(y)=3y^2+2>=2>0. Επειδή η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με g΄(y)>0 για κάθε y ανήκει R τότε η g είναι γνησίως αύξουσα στο R και συνεπώς 1-1 οπότε και αντιστρέψιμη.

Επειδή η g είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R με lim(y->+άπειρο)g(y)=+άπειρο και lim(y->-άπειρο)g(y)=-άπειρο τότε το πεδίο τιμών της είναι το g(Dg)=(-άπειρο,+άπειρο)=R. Επειδή το 0 ανήκει στο g(Dg) και η g είναι 1-1 τότε υπάρχει μοναδικό y0 στο R τέτοιο ώστε g(y0)=0 => y0^3+2y0=-α.

Άρα για κάθε πραγματικό αριθμό α, υπάρχει μοναδικό y τέτοιο ώστε y^3+2y=-α. Αν λοιπόν α=α(x)=-3χ όπου χ πραγματικός αριθμός τότε υπάρχει μοναδικό y=f(x) τέτοιο ώστε (f(x))^3+2f(x)=3x. Συνεπώς για κάθε πραγματικό αριθμό x υπάρχει μοναδικό πραγματικό f(x). Εφόσον λοιπόν δεν δίνεται το πεδίο ορισμού της f από την εκφώνηση, τότε γίνεται η παραδοχή ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το ευρύτερο δυνατό σύνολο για το οποίο η εξίσωση (f(x))^3+2f(x)=3x έχει μοναδική λύση ως προς f(x).

Αν για κάποιο x η εξίσωση αυτή έδινε 2 ή 3 πραγματικές λύσεις (εξίσωση 3ου βαθμού) τότε η διαδικασία f δεν θα ήταν συνάρτηση και δεν θα είχε έννοια η άσκηση. Αν για κάποιο x αυτή η εξίσωση δεν είχε λύση, τότε το αυτό το x δεν θα ανήκε στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Στη συγκεκριμένη περίπτωση δεν συμβαίνει τίποτα από τα δύο.

--

Ισχύει (f(x))^3+2f(x)=-x για κάθε x στο πεδίο ορισμού Α της f. Επειδή το πεδίο ορισμού της f δεν δίνεται γίνεται η παραδοχή ότι είναι το σύνολο εκείνο, υποσύνολο του R, για το οποίο η εξίσωση (f(x))^3+2f(x)=-x έχει για κάθε x μοναδική πραγματική λύση ως προς f(x). Αν για κάποιο x η εξίσωση αυτή είναι αδύνατη τότε αυτό το x δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της f. Σε περίπτωση που για κάποιο x η εξίσωση αυτή έχει 2 ή 3 πραγματικές λύσεις τότε πάλι το x αυτό δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της f καθώς τότε η διαδικασία f δεν θα ήταν συνάρτηση αφού από ένα x θα προκύπτουν 2 ή 3 f(x), που είναι άτοπο.

Θεωρώ την συνάρτηση g(y)=y^3+2y+α με πεδίο ορισμού Dg=R και α πραγματικός αριθμός. Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R ως πολυωνυμική με g΄(y)=3y^2+2>=2>0 για κάθε πραγματικό y. Επιπλέον lim(y->-άπειρο)g(y)=-άπειρο και lim(y->+άπειρο)g(y)=+άπειρο. Επειδή η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με g΄(y)>0 για κάθε y ανήκει R τότε η g είναι γνησίως αύξουσα στο R. Άρα η g είναι 1-1 και συνεπώς είναι αντιστρέψιμη. Επειδή η g είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R με lim(y->-άπειρο)g(y)=-άπειρο και lim(y->+άπειρο)g(y)=+άπειρο τότε g(Dg)=(-άπειρο,+άπειρο)=R. Επειδή η g είναι 1-1 και 0 ανήκει g(Dg) τότε υπάρχει μοναδικό y0 στο R τέτοιο ώστε g(y0)=0 => y0^3+2y0+α=0.

Άρα για κάθε πραγματικό αριθμό α υπάρχει μοναδικός πραγματικός αριθμός y τέτοιος ώστε y^3+2y+α=0. Αν α=h(x)=x οπου x πραγματικός αριθμός τότε για κάθε x στο R υπάρχει μοναδικό y=f(x) τέτοιο ώστε
(f(x))^3+2f(x)+x=0

Άρα για κάθε x ανήκει R, η παραπάνω εξίσωση έχει μοναδική πραγματιή ρίζα ως προς R και συνεπώς το ευρύτερο δυνατό σύνολο για το οποίο η εξίσωση αυτή έχει ως προς f(x) μοναδική πραγματική ρίζα είναι το R. Άρα γίνεται η παραδοχή λόγω ανεπάρκειας δεδομένων ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το R.

α) Θεωρούνται x1,x2 ανήκουν R για τα οποία f(x1)=f(x2). Τότε θα ισχύουν (f(x1))^3=(f(x2))^3 και 2f(x1)=2f(x2). Προσθέτωντας τις δύο τελευταίες ισότητες προκύπτει (f(x1))^3+2f(x1)=(f(x2))^3+2f(x2) => -x1=-x2 => x1=x2

Αποδείχτηκε ότι για δύο οποιοαδήποτε x1, x2 στο R για τα οποία f(x1)=f(x2) τότε x1=x2. Άρα η f είναι 1-1 και συνεπώς αντιστρέψιμη.

β) Η h(x)=x έχει πεδίο οριμσού και πεδίο τιμών το R, οπότε το α κινεσε όλο το R για τα διάφορα x. Επειδή η g παραπάνω έχει πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών το R τότε για κάθε x στο R το y ανήκει στο R έτσι ώστε οι τιμές του y για τα διάφορα x να καταλαμβάνουν όλο το R και όχι κάποιο γνήσιο υποσύνολό του. Αυτό σημαίνει ότι y κινείται σε όλο το R και συνεπώς το πεδίο τιμών της f(x) είναι το R. Άρα f(A)=R εφόσον A=R.

Εφόσον η f είναι αντιστρέψιμη τότε για κάθε x στο Α=R και για κάθε y στο f(A)=R ισχύει η ισοδυναμία:
y=f(x) <=> x=(f-1)(y)

(f(x))^3+2f(x)+x=0 => y^3+2y+(f-1)(y)=0 => (f-1)(y)=-y^3-2y

γ) f(-9x+15)=x-1 <=> -9x+15=(f-1)(x-1) <=> -9x+15=-(x-1)^3-2(x-1) <=> x^3-3x^2-4x+12=0 <=>
<=> x^2(x-3)-4(x-3)=0 <=> (x-3)(x^2-4)=0 <=> (x-3)(x-2)(x+2)=0 <=> x=3 ή x=2 ή x=-2

Cilvara,παρα την προσπαθεια μου δεν μπορω να καταλαβω τις μεθοδευσεις που ακολουθεις,αν θες μπορεις να γινεις πιο κατανοητος?

Civilara · 22-06-11

Αρχική Δημοσίευση από red span:
Cilvara,παρα την προσπαθεια μου δεν μπορω να καταλαβω τις μεθοδευσεις που ακολουθεις,αν θες μπορεις να γινεις πιο κατανοητος?

Πες μου ποιο σημείο δεν καταλαβαίνεις να στο εξηγήσω.

Sal Paradise · 23-06-11

παιδια σε ερωτησεις Σ-Λ:
1)αν μια συναρτηση f ειναι γνησιως αυξουσα σενα διαστημα Δ,τοτε η συναρτηση -f ειναι γνησιως φθινουσα στο Δ.(νομιζω οτι ειναι σωστο,αφου προσπαθησα γραφικα να το αποδειξω)
2)Μια συναρτηση f εχει πεδιο ορισμου το R, ειναι γνησιως αυξουσα και εχει Σ.Τ το (0,+ ∞).Tοτε η συναρτηση 1/f ειναι γνησιως φθινουσα στο R(νομιζω ειναι λαθος)
3)αν μια συναρτηση f ειναι αρτια,τοτε ειναι 1-1(Νομιζω παλι λαθος)
4)αν μια συναρτηση f ειναι 1-1,τοτε ειναι παντοτε περιττη.(νομιζω λαθος)

οποια βοηθεια καλοδεχουμενη.ευχαριστω.

Civilara · 23 Ιουνίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από ReDeM:
1)αν μια συναρτηση f ειναι γνησιως αυξουσα σενα διαστημα Δ,τοτε η συναρτηση -f ειναι γνησιως φθινουσα στο Δ.(νομιζω οτι ειναι σωστο,αφου προσπαθησα γραφικα να το αποδειξω)

Σωστό

Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ τότε για κάθε x1, x2 στο Δ με x1<x2 ισχύει f(x1)<f(x2). Οπότε:
x1<x2 => f(x1)<f(x2) => -f(x1)>-f(x2) => (-f)(x1)>(-f)(x2)

Για κάθε x1, x2 στο Δ με x1<x2 ισχύει (-f)(x1)>(-f)(x2). Άρα η -f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.

Αρχική Δημοσίευση από ReDeM:
2)Μια συναρτηση f εχει πεδιο ορισμου το R, ειναι γνησιως αυξουσα και εχει Σ.Τ το (0,+ ∞).Tοτε η συναρτηση 1/f ειναι γνησιως φθινουσα στο R(νομιζω ειναι λαθος)

Σωστό

Εδώ υπενθυμίζεται ότι η συνάρτηση g(x)=1/x είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, +άπειρο) αφού η παράγωγος της g΄(x)=-(1/(x^2))<0 στο (0,+άπειρο).

Η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και για κάθε x1, x2 στο R με x1<x2 ισχύει 0<f(x1)<f(x2).
χ1<χ2 => 0<f(x1)<f(x2) => 1/f(x1)>1/f(x2)>0 => (1/f)(x1)>(1/f)(x2)>0
Άρα η 1/f είναι γνησίως φθίνουσα στο R

Αρχική Δημοσίευση από ReDeM:
3)αν μια συναρτηση f ειναι αρτια,τοτε ειναι 1-1(Νομιζω παλι λαθος)

Λάθος.

Αν μια συνάρτηση είναι άρτια τότε για κάθε x στο πεδίο ορισμού της A, το -x ανήκει στο Α και ισχύει f(-x)=f(x) για κάθε x ανήκει Α. Επομένως για χ ανήκει A-{0} ισχύει -x διάφορο x και f(-x)=f(x). Άρα η f δεν είναι 1-1.

Αρχική Δημοσίευση από ReDeM:
4)αν μια συναρτηση f ειναι 1-1,τοτε ειναι παντοτε περιττη.(νομιζω λαθος)

Λάθος. Π.χ. η f(x)=e^x είναι 1-1 αλλά δεν είναι περιττή.

Sal Paradise · 23-06-11

να σαι καλα φιλος.καταλαβα και τον τροπο σκεψης σου,ολα ενταξει.απλα στο 3) οταν ειναι αρτια η συναρτηση δεν ισχυει οτι f(x)=f(-x);

Civilara · 23-06-11

Αρχική Δημοσίευση από ReDeM:
να σαι καλα φιλος.καταλαβα και τον τροπο σκεψης σου,ολα ενταξει.απλα στο 3) οταν ειναι αρτια η συναρτηση δεν ισχυει οτι f(x)=f(-x);

Αυτό προφανώς ισχύει γιατί είναι ο ορισμός της άρτιας συνάρτησης αλλά η πρόταση 3) είναι λανθασμένη.

red span · 23-06-11

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Πες μου ποιο σημείο δεν καταλαβαίνεις να στο εξηγήσω.

Κυρωις στην ευρεση του συνολου τιμων

Civilara · 23-06-11

Αρχική Δημοσίευση από red span:
Cilvara,παρα την προσπαθεια μου δεν μπορω να καταλαβω τις μεθοδευσεις που ακολουθεις,αν θες μπορεις να γινεις πιο κατανοητος?

Θα θεωρήσω κατευθείαν α=-3x για απλοποίηση. Θεώρησε την συνάρτηση g(y)=y^3+2y-3x όπου x ανήκει R. Το x στην g είναι παράμετρος (σταθερά) και η μεταβλητή της συνάρτησης είναι η y η οποία δεν έχει καμία σχέση από την x. Το πεδίο ορισμού της g είναι το R. Ως γνωστόν η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική με g΄(y)=3y^2+2>0 για κάθε y στο R, άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο R και συνεπώς 1-1, συνεπώς και αντιστρέψιμη. Τα όρια lim(y->-άπειρο)=-άπειρο και lim(y->+άπειρο)=+άπειρο βγαίνουν πολύ εύκολα, οπότε επειδή η g είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R τότε το πεδίο τιμών της είναι το (-άπειρο, +άπειρο) δηλαδή το R. Η g δηλαδή έχει πεδίο ορισμού το R, πεδίο τιμών το R και είναι 1-1 για κάθε x ανήκει R. Νομίζω ότι μέχρι εδώ είναι κατανοητό.

Επειδή η g είναι 1-1 και το 0 ανήκει στο πεδίο τιμών της g, τότε υπάρχει ΜΟΝΑΔΙΚΟ y τέτοιο ώστε g(y)=0 για κάθε x ανήκει R. Δηλαδή για κάθε x ανήκει R υπάρχει μοναδικό y τέτοιο ώστε y^3+2y=3x. Επειδή λοιπόν το y είναι μοναδικό για κάθε x ανήκει R, τότε υπάρχει συνάρτηση f(x) ώστε y=f(x) για κάθε x ανήκει R (σε κάθε πραγματικό x αντιστοιχεί ένα πραγματικό y).

Το πεδίο τιμών της f είναι ίσο με το πεδίο ορισμού της αντίστροφης συνάρτησης f-1. Έτσι θα βρεθεί το πεδίο τιμών της f. Η f-1 βρίσκεται εύκολα αν αντικαταστήσω στην εξήσωση f(x)^3+2f(x)=3x το y=f(x) και το x=(f-1)(y), οπότε (f-1)(y)=(1/3)y^3+(2/3)y. Το πεδίο ορισμού της f-1 είναι το R, άρα το πεδίο τιμών της f είναι R. Το πεδίο τιμών της f-1 προκύπτει πως είναι το R, άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το R που το ξέρουμε.

(ίσως πιο πάνω το πεδίο τιμών της f να μην το έκανα καλά)

red span · 27 Ιουνίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από red span:
Δεν θελω να ξεχαστει,δειτε λιγο αν εχετε χρονο
Φιλικα Χαρης

Cilvara ευχαριστω πολυ
Ε) Αν η f περιοδικη τοτε f(x+κΤ)=f(x)
Παραγωγιοντας ευκολα προκυπτει οτι f'(x+κΤ)=f'(x)
Αρα η f' περιοδικη

Z)Αν η f αρτια τοτε η f' περριτη και αντιστροφως
η f(-x)=f(x)
-f'(-x)=f'(x)
f'(-x)=-f'(x) αρα περριτη

Η)η f γνησιως αυξουσα τοτε και η αντιστροφη ειναι γνησιωως αυξουσα
Εστω οτι για y1<y2 εχω f^-1(y1)>f^-1(y2) τοτε συνθετοντας με f η οποια ειναι προφανως γνησιως αυξουσα απο την υποθεση
y1>=y2 το οποιο ειναι ατοπο διοτι εκανα διαφορετικη υποθεση στην αρχη
Φιλικα Χαρης

Θ)Αν η f περριτη και γνησιως φθινουσα τοτε τα κοινα σημεια της f και της αντιστροφης ανηκουν πανω στην y=-x.Ειναι χρησιμο τα παιδια να θυμουνται,οτι οταν η f ειναι γνησιως αυξουσα τοτε τα κοινα σημεια ανηκουν στην y=x,αλλιως αν η f ειναι γνησιως φθινουσα(σκετο) τα κοινα σημεια δεν ειναι αναγκαιο να ανηκουν στην y=-x
Π.χ η f(x)=-x^3
η f ειναι γνησιως φθινουσα και περριτη αρα τα σημεια ΑΝΗΚΟΥΝ ΣΤΗΝ y=-x,H αποδειξη δεν ειναι δυσκολη αλλα με αυτο το παραδειγμα νομιζω εγινε πιο κατανοητο
Φιλικα Χαρης

Ι) Eστω f,g με πεδιο και συνολο τιμων το R για της οποιες ισχυει fog ειναι 1-1 τοτε και f,g ειναι 1-1 (δυσκολο ερωτημα)
Παμε πρωτα στο ευκολο g(x1)=g(x2) συνθετοντας με f εχω fog(x1)=fog(x2) η fog ειναι 1-1 αρα χ1=χ2
Τωρα ερχονται φουρτουνες
Πως θα δειξουμε οτι η f ειναι 1-1????????????
Εχω την παρακατω αποδειξη που προτεινετε απο Τον Γ.Τσικαλουδακη στο βιβλιο του ΑΝΑΛΥΣΗ αλλα ειναι μια δυσκολη σκεψη
Λημμα
Αν η f ειναι 1-1 τοτε και η f^-1 ειναι 1-1
Ομοιως αν η fοg ειναι 1-1 τοτε και η (fog)og^-1 ειναι 1-1
Αποδειξη
(fog)og^-1=fo(gog^-1)(Λογω της προσετεριστικης ιδιοτητας) = f αρα η f ειναι 1-1
Δυσκολο σκεπτικο αν εχει καποιος καμια αλλη προσεγγιση ας με πει ωστε να γινει πιο κατανοητο στους μαθητες

Κ)Αν η f εχει ελαχσιτο και ειναι περριτη ,να αποδειξετε οτι παρουσιαζει και μεγιστο
η f εχει ελαχιστο αρα υπαρχει χο f(x)<=f(x0) V xe R
Θετω οπου χ το το -χ
και τελικα προκυπτει οτι f(x)>=f(xo) αρα η φ παρουσιαζει μεγιστο
Φιλικα Χαρης
Θα επανελθω με μεθοδολογιες και πραγματα που πρεπι να ξεκαθαριστουν

rebel · 25-06-11

Αρχική Δημοσίευση από Madclocker:
μια γρήγορη απορία από εμένα

λοιπόν έχουμε την f(x)=√(χ-1) (όλο κάτω απ την ρίζα) με A=[1,+oo)
και θέλω να βρώ το limf(x) όταν το χ-->1
και έχω μπερδευτεί στο εξής σημείο!

στην συγκεκριμένη περίπτωση το χ μπορούμε να το πλησιάσουμε μόνο από δεξιά γιατί οι τιμές για χ<1 δεν ανοίκουν στο Α
απαντάμε οτι δεν υπάρχει όριο της f(x) όταν χ-->1 γιατί μπορούμε να υπολογίσουμε μόνο το ένα πλευρικό όριο, η απαντάμε το το όριο της είναι ίσο με το 0;;;;;;

Αν μία συνάρτηση είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής $(x_0,\beta)$ αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής $(a,x_0)$ τότε ορίζουμε

$\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)$

σελ 162 σχολικού

Madclocker · 25-06-11

μια γρήγορη απορία από εμένα

λοιπόν έχουμε την f(x)=√(χ-1) (όλο κάτω απ την ρίζα) με A=[1,+oo)
και θέλω να βρώ το limf(x) όταν το χ-->1
και έχω μπερδευτεί στο εξής σημείο!

στην συγκεκριμένη περίπτωση το χ μπορούμε να το πλησιάσουμε μόνο από δεξιά γιατί οι τιμές για χ<1 δεν ανοίκουν στο Α
απαντάμε οτι δεν υπάρχει όριο της f(x) όταν χ-->1 γιατί μπορούμε να υπολογίσουμε μόνο το ένα πλευρικό όριο, η απαντάμε το το όριο της είναι ίσο με το 0;;;;;;

vassilis498 · 26-06-11

Αρχική Δημοσίευση από Madclocker:
μια γρήγορη απορία από εμένα

λοιπόν έχουμε την f(x)=√(χ-1) (όλο κάτω απ την ρίζα) με A=[1,+oo)
και θέλω να βρώ το limf(x) όταν το χ-->1
και έχω μπερδευτεί στο εξής σημείο!

στην συγκεκριμένη περίπτωση το χ μπορούμε να το πλησιάσουμε μόνο από δεξιά γιατί οι τιμές για χ<1 δεν ανοίκουν στο Α
απαντάμε οτι δεν υπάρχει όριο της f(x) όταν χ-->1 γιατί μπορούμε να υπολογίσουμε μόνο το ένα πλευρικό όριο, η απαντάμε το το όριο της είναι ίσο με το 0;;;;;;

Έχεις μια συνάρτηση με ένα πεδίο ορισμού Α, και ψάχνεις αν έχει όριο σε ένα σημείο. Αν στο σημείο υπάρχουν και τα δύο πλευρικά όρια τότε για να μπορούμε να πούμε ότι το όριο υπάρχει πρέπει τα δύο πλευρικά να είναι μεταξύ τους ίσα. Αν δεν είναι ίσα μεταξύ τους τότε θα λέμε ότι όριο στο σημείο δεν υπάρχει.
Αν πάλι υπάρχει μόνο το ένα απο τα δύο πλευρικά τότε θα λέμε ότι το όριο υπάρχει και κάνει όσο και το πλευρικό.

Στην περίπτωση που δίνεις λες ότι το όριο υπάρχει και είναι ίσο με 0.

edit: α, τώρα πρόσεξα ότι έχει απαντηθεί, καλά δεν πειράζει.

Or3st1s SOAD · 26-06-11

Παιδια μια απορια...αν σε μια ασκηση ζητα να αποδειξουμε οτι z ειναι φανταστικος απο μια σχεση με αλλους μιγαδικους πχ z=z1 *z2/z1+z1 συζ και βγει z=0 τοτε το εχουμε αποδειξει ετσι δεν ειναι?

papas · 26-06-11

Αρχική Δημοσίευση από Or3st1s SOAD:
Παιδια μια απορια...αν σε μια ασκηση ζητα να αποδειξουμε οτι z ειναι φανταστικος απο μια σχεση με αλλους μιγαδικους πχ z=z1 *z2/z1+z1 συζ και βγει z=0 τοτε το εχουμε αποδειξει ετσι δεν ειναι?

μπορεις να μας δωσεις την ασκηση που θες;

natasoula... · 26-06-11

Έχουμε (χστοτετράγωνο-5)στηνέκτη+1/χ-2..Πώς μπορούμε να βγάλουμε τον παρονομαστή?(ο παρονομαστής είναι σε όλη την παράσταση,όχι μόνο στο 1)..Ευχαριστώ!

antwwwnis · 26-06-11

Αρχική Δημοσίευση από natasoula...:
Έχουμε (χστοτετράγωνο-5)στηνέκτη+1/χ-2..Πώς μπορούμε να βγάλουμε τον παρονομαστή?(ο παρονομαστής είναι σε όλη την παράσταση,όχι μόνο στο 1)..Ευχαριστώ!

Σε πρωτη αναγνωση, κανε τις πραξεις στον αριθμητη και πολυωνυμικη διαιρεση κατοπιν. :hmm:

(Οταν τελειωσεις βαλε χ διαφορο του 2)

Or3st1s SOAD · 26-06-11

papas για την ασκηση ενταξει το βρηκα απλως το 0 ανηκει και στους παγματικους και στους φανταστικους ετσι δεν ειναι?η ασκηση ειναι σχετικα ευκολη : αν z1,z2 μιγαδικοι και z1 μη πραγματικος νδο w=z2*z2 συζ/z1-z1συζ ειναι φανταστικος.Πηρα την ιδιοτητα wσυζ=-w και βγηκε 0=0,που ισχυει.

Civilara · 26-06-11

Αρχική Δημοσίευση από Or3st1s SOAD:
papas για την ασκηση ενταξει το βρηκα απλως το 0 ανηκει και στους παγματικους και στους φανταστικους ετσι δεν ειναι?η ασκηση ειναι σχετικα ευκολη : αν z1,z2 μιγαδικοι και z1 μη πραγματικος νδο w=z2*z2 συζ/z1-z1συζ ειναι φανταστικος.Πηρα την ιδιοτητα wσυζ=-w και βγηκε 0=0,που ισχυει.

Η ιδιότητα w_=-w (με w_ συμβολίζω τον συζυγή του w) ισχύει για όλους τους φανταστικούς αριθμούς και δεν έχει ως μόνη λύση το 0. Αποδεικνύεται με βάση την ταυτότητα Im(w)=(w-w_)/(2i). Επίσης ισχύουν Re(w)=(w+w_)/2 και w*w_=|w|^2 για κάθε μιγαδικό αριθμό w. Να σημειώσω ότι πρέπει να ισχύει z1 δεν ανήκει R αλλιώς μηδενίζεται ο παρονομαστής του w.

Επειδή z2*z2_=|z2|^2 και 2iIm(z1)=z1-z1_ τότε προκύπτει με απλή αντικατάσταση:

w=-(|z2|^2/(2Im(z1)))i => w φανταστικός

Madclocker · 27 Ιουνίου 2011

μια ακόμα από εμένα....

έχουμε lim[x*√(x-1/x)] και το χ-->0 (το χ-1/χ είναι όλο κάτω απ την ρίζα)
βρίσκω ότι το όριο αυτό κάνει 0! είμαι σωστός; μπορείτε να μου πείτε και την διαδικασία; (μήπως είμαι κατα τύχη σωστός)
ευχαριστώ!

χίλια συγνώμη αλλά αν κάποιος ξέρει να μου πει...! βιάζομαι πολύ....

rebel · 27 Ιουνίου 2011

H συνάρτηση είναι ορισμένη στο $(-\infty,0)\bigcup (1,+\infty)$ .Άρα

$\lim_{x\to 0}x\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0^-}x\sqrt{1-\frac{1}{x}}\stackrel{x<0}{=} \lim_{x\to 0^-}-|x| \sqrt{1-\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0^-}-\sqrt{x^2} \sqrt{1-\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0^-}-\sqrt{x^2-x}=0$

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Διακεκριμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος