Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

christosglx · 19-01-11

Εστω f,g συνεχεις συναρτησεις στο [-1,1] Αν f(x)<g(x) για καθε χ που ανηκει στο[-1,1] και ειναι f(-1)-1=g(1)-1=0 να δειξετε οτι υπαρχει ενας τουλαχιστον χ0 ε(-1,1) ωστε να ισχυει 2f(x) + 3 g(x)=5. Εθεσα ως h(x)=2f(x)+3g(x)-5 και πηγα να κανω bolzano και μου βγαινει το h(-1)=3g(-1)-3 και h(1)=2f(1)-2 αλλα δεν ξερω πως να δειξω οτι ειναι <0

Civilara · 19-01-11

Αρχική Δημοσίευση από christosglx:
Εστω f,g συνεχεις συναρτησεις στο [-1,1] Αν f(x)<g(x) για καθε χ που ανηκει στο[-1,1] και ειναι f(-1)-1=g(1)-1=0 να δειξετε οτι υπαρχει ενας τουλαχιστον χ0 ε(-1,1) ωστε να ισχυει 2f(x) + 3 g(x)=5. Εθεσα ως h(x)=2f(x)+3g(x)-5 και πηγα να κανω bolzano και μου βγαινει το h(-1)=3g(-1)-3 και h(1)=2f(1)-2 αλλα δεν ξερω πως να δειξω οτι ειναι <0

Ισχύει f(-1)=g(1)=1. Έχουμε:
f(-1)<g(-1) => g(-1)>1
f(1)<g(1) => f(1)<1

Η συνάρτηση h(x)=2f(x)+3g(x)-5 είναι συνεχής στο [-1,1] αφού οι f και g είναι συνεχείς στο [-1,1]. Έχουμε:
h(-1)=2f(-1)+3g(-1)-5=3g(-1)-3
h(1)=2f(1)+3g(1)-5=2f(1)-2

g(-1)>1 => 3g(-1)>3 => 3g(-1)-3>0 => h(-1)>0
f(1)<1 => 2f(1)<2 => 2f(1)-2<0 => h(1)<0

Άρα η h είναι συνεχής στο [-1,1] και ισχύει h(-1)h(1)<0. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει x0 στο (-1,1) ώστε h(x0)=0 => 2f(x0)+3g(x0)=5

tebelis13 · 19-01-11

Αρχική Δημοσίευση από alchemia:
Ασε με λιγο να το δω, κατι δε μου κολλαει.
Βγαινει σιγουρα με αντιστροφη, απλα δε μας το εδειξε εκεινη τη στιγμη.
Αρχικα δε ξερεις οτι υπαρχει το οριο της f ωστε να παρεις το οριο της και δευτερον καπου κολλαω εκει που βγαζεις τη πρωτη σχεση. θα το ξαναδω αυριο ομως γιατι τωρα κοιμαμαι λιγο ορθια...

Μήν σκέφτεσαι μόνο αυτή τη λύση....

vassilis498 · 19-01-11

Αρχική Δημοσίευση από tebelis13:
Νομίζω πως...

f³(x)+f(x)≥ x ⇔ f³(x)+f²(x)+f(x)≥ x ⇔ f(x) [f²(x)+f(x)+1)≥ x
Οπότε εφόσον f²(x)+f(x)+1>0 στο R ⇒ f(x)≥ x (1)

Άρα (1)⇒ $\lim_{x\rightarrow+00}f(x) = +00$

τη σχέση (1) πώς τη βγάζεις; δεν πρέπει να ισχύει (f²(χ)+f(x)+1) < 1 για κάθε χ θετικό; (δοκίμασε να διαιρέσεις με αυτό και θα δεις τι εννοώ)
(επίσης θετική παρένθεση έβγαζες και χωρίς πρόσθεση του F²(x) εκτός κι αν ήταν και για άλλο λόγο :p

rebel · 20-01-11

Αρχική Δημοσίευση από alchemia:
Παιδία καλησπέρα!
Μήπως μπορεί κάποιος να μου δώσει τα φώτα του σχετικά με μία άσκηση;

Δινεται συναρτηση f απο το R στο R για την οποια ισχυει ${f}^{3}(x) + f(x) \geq x$ για καθε χ που ανηκει στο R.
Να αποδειξετε οτι $\lim_{x\rightarrow+00}f(x) = +00$

Aχ μου κοστισε 10 μοναδες...

Ωραία άσκηση αλλά όχι για διαγώνισμα...

Για $x>0$ έχουμε $f(x)\left(1+f^{2}(x)\left)\geq x >0$ . Άρα $f(x)>0$ εφ'όσον $1+f^{2}(x)>0$ .

Στην συνέχεια $f^{3}(x)+f(x)\geq x\Rightarrow f^{3}(x)+3f^{2}(x)+3f(x)+1\geq x+1+2f(x)+3f^{2}(x)\Rightarrow$
$\left(f(x)+1\right)^{3}\geq x+1+2f(x)+3f^{2}(x)>x \Rightarrow f(x)+1>\sqrt[3]{x} \Rightarrow f(x)>\sqrt[3]{x}-1$

Τελικά $0<\frac{1}{f(x)}<\frac{1}{\sqrt[3]{x}-1}$ οπότε λόγω κ. παρεμβολής $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{f(x)}=0$ επομένως αφού $f(x)>0$ τελικά $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$

strsismos88 · 20-01-11

Παιδια αν μπορει καποιος να βοηθησει,
Εστω η δυο φορες παραγωγισιμη συναρτηση g: R-->R με g'(x) ≠ 0 για καθε x ∈ R και η συναρτηση f(x) = g(x)/g'(x), x ∈ R. Να βρειτε τη γωνια που σχηματιζει με τον αξονα x'x, η εφαπτομενη της Cf στο σημειο που τεμνει η Cf τον αξονα x'x.

Dias · 20-01-11

Αρχική Δημοσίευση από strsismos88:
Εστω η δυο φορες παραγωγισιμη συναρτηση g: R-->R με g'(x) ≠ 0 για καθε x ∈ R και η συναρτηση f(x) = g(x)/g'(x), x ∈ R. Να βρειτε τη γωνια που σχηματιζει με τον αξονα x'x, η εφαπτομενη της Cf στο σημειο που τεμνει η Cf τον αξονα x'x.

koum · 21-01-11

Αρχική Δημοσίευση από tebelis13:
f(x) [f²(x)+f(x)+1)≥ x
Οπότε εφόσον f²(x)+f(x)+1>0 στο R ⇒ f(x)≥ x (1)

Το λάθος βρίσκεται σε αυτό το σημείο. Θεώρησε φερ' ειπείν ότι $f(2)=1$ και θα δεις ότι δεν ισχύει η συνεπαγωγή.

christosglx · 21-01-11

Δυο συναρτησεις f,g ειναι συνεχης στο R.Αν α,β ε R με α<β και f(a)+f(b)=g(a)+g(b) να αποδειξετε οτι η εξισωση f(x)-g(x)=0 εχει μια τουλαχιστον ριζα στο [α,β]

soras7 · 21-01-11

ΘΕΩΡΩ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ h(x)=f(x)-g(x)
h(a)=f(a)-g(a)
h(b)=f(b)-g(b)=-(f(a)-g(a))

ΑΡΑ h(a)h(b)<=0 ΟΠΟΤΕ ΑΠΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO MIA ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΡΙΖΑ ΣΤΟ [a,b]

13diagoras · 22-01-11

Αρχική Δημοσίευση από alchemia:
Παιδία καλησπέρα!
Μήπως μπορεί κάποιος να μου δώσει τα φώτα του σχετικά με μία άσκηση;

Δινεται συναρτηση f απο το R στο R για την οποια ισχυει ${f}^{3}(x) + f(x) \geq x$ για καθε χ που ανηκει στο R.
Να αποδειξετε οτι $\lim_{x\rightarrow+00}f(x) = +00$

Aχ μου κοστισε 10 μοναδες...

Και με αντιστροφη να βγαινει(που δεν μπορω να δω πως),πως γνωριζουμε απο τα δεδομενα οτι f αντιστροφη?

lowbaper92 · 22-01-11

Αρχική Δημοσίευση από christosglx:
Δυο συναρτησεις f,g ειναι συνεχης στο R.Αν α,β ε R με α<β και f(a)+f(b)=g(a)+g(b) να αποδειξετε οτι η εξισωση f(x)-g(x)=0 εχει μια τουλαχιστον ριζα στο [α,β]

Αρχική Δημοσίευση από soras7:
ΘΕΩΡΩ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ h(x)=f(x)-g(x)
h(a)=f(a)-g(a)
h(b)=f(b)-g(b)=-(f(a)-g(a))

ΑΡΑ h(a)h(b)<=0 ΟΠΟΤΕ ΑΠΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO MIA ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΡΙΖΑ ΣΤΟ [a,b]

Πρέπει να διακρίνεις περιπτώσεις.. Αν h(a)h(b)=0 τότε χ=a ή x=b ρίζες της εξίσωσης. Αν h(a)h(b)<0 bolzano

strsismos88 · 22-01-11

Αρχική Δημοσίευση από Dias:

Ευχαριστω φιλε, ασχολεισαι με τα μαθηματικα?

vavlas · 22-01-11

Λίγο βοήθεια σε αυτή αν γίνεται.

Έστω μια συνάρτηση f-R->R και η F(X)=f²(x)+(f′(x))²,x∈ℝ.
Αν f′′(x)+f(x)=0 για κάθε x∈ℝ ,να δείξετε οτι η F είναι σταθερή,και να βρείτε τον τύπο της f όταν f(0)=f′(0)=0

vassilis498 · 22 Ιανουαρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από vavlas:
Λίγο βοήθεια σε αυτή αν γίνεται.

Έστω μια συνάρτηση f-R->R και η F(X)=f²(x)+(f′(x))²,x∈ℝ.
Αν f′′(x)+f(x)=0 για κάθε x∈ℝ ,να δείξετε οτι η F είναι σταθερή,και να βρείτε τον τύπο της f όταν f(0)=f′(0)=0

παίρνεις την πρώτη σχέση και παραγωγίζεις τα 2 μέλη. F'(x)=2f(x)f'(x)+2f'(x)f''(x) <-> βγάζεις κοινό παράγοντα το 2f'(x) και μένει η δεύτερη σχέση που σου δίνεται ότι κάνει 0. F'(x)=0 άρα F(x) σταθερή.

(για το δεύτερο δεν ξέρω :p )

edit: με μια επιφύλαξη:
F(x) σταθερή άρα f²(x)+[f'(x)]²=c <-> (για χ=0) f²(0)+[f'(0)]²=c=0 <-> f²(x)+[f'(x)]²=0
άρα f'(x)=f(x)=0 για xeR.

13diagoras · 22-01-11

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
edit: με μια επιφύλαξη.

vavlas · 22-01-11

Ευχαριστώ πολύ.

mikri_tulubitsa · 22-01-11

Έστω συναρτήσεςι f,g γνησίως μονότονες στο R.
α)Εάν f,g έχουν ίδιο είδος μονοτονίας,τότε να δείξετε ότι η gof είναι γνησίως αύξουσα στο R.
β)Εάν f,g έχουν διαφορετικό είδος μονοτονίας,τότε να δείξετε ότι η gof είναι γνησίως φθίνουσα στο R.
γ)Να δείξετε ότι δεν υπάρχει γνησίως μονότονη συνάρτηση f στο R,ώστε
$f(f(x))=2-x-x^3$ για κάθε $x\epsilon R$
δ)Να βρεθεί το είδος της μονοτονίας της συνάρτησης
$f(x)=4(x^3+1)^2^0^0^1 +2(x^3+1)^1^9^9^9 +2000$

Μπορεί κάποιος να με βοηθήσει στο γ και στο δ ερώτημα?

vavlas · 22 Ιανουαρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από mikri_tulubitsa:
Έστω συναρτήσεςι f,g γνησίως μονότονες στο R.
α)Εάν f,g έχουν ίδιο είδος μονοτονίας,τότε να δείξετε ότι η gof είναι γνησίως αύξουσα στο R.
β)Εάν f,g έχουν διαφορετικό είδος μονοτονίας,τότε να δείξετε ότι η gof είναι γνησίως φθίνουσα στο R.
γ)Να δείξετε ότι δεν υπάρχει γνησίως μονότονη συνάρτηση f στο R,ώστε
$f(f(x))=2-x-x^3$ για κάθε $x\epsilon R$
δ)Να βρεθεί το είδος της μονοτονίας της συνάρτησης
$f(x)=4(x^3+1)^2^0^0^1 +2(x^3+1)^1^9^9^9 +2000$

Μπορεί κάποιος να με βοηθήσει στο γ και στο δ ερώτημα?

Για το γ δεν είμαι σίγουρος.
Το δ είναι μια απλή παραγώγιση.
Καταλήγεις στην $f'(x)=3x^28004(x^3+1)^2^0^0^0+3x^23998(x^3+1)^1^9^9^8$ η οποία είναι θετική (2000,1998 άρτιοι) σε όλο το R και συνεπώς f γν αύξουσα.

rebel · 22-01-11

Για το γ) είτε f είναι γνήσια αύξουσα είτε γνήσια φθίνουσα, η fof εύκολα δείχνεται ότι είναι γνήσια αύξουσα. Όμως η $h(x)=2-x-x^3$ είναι γνήσια φθίνουσα και άρα δεν μπορεί να ισχύει η ισότητα.
Το δ) μπορεί να δειχθεί γράφοντας την f σαν σύνθεση δύο γνήσια αυξουσών

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος