Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α,β με β διάφορο του 0 και οι συναρτήσεις f,g:R->R ώστε:
(gog)(x)=ag(x)+bf(x^3+x+2000) για κάθε χ ανήκει στο R
Αν η f είναι 1-1,να αποδείξετε οτι και η g είναι 1-1.
Θεωρώ την συνάρτηση h(x)=x³+x+2000. Η h είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R ως πολυωνυμική με πρώτη παράγωγο h΄(x)=3x²+1. Επειδή h'(x)>0 για κάθε x στο R, τότε η h είναι γνησίως αύξουσα στο R και συνεπώς 1-1.
Η f είναι 1-1, οπότε για κάθε x1,x2 στο R ισχύει f(x1)=f(x2) => χ1=χ2.
Η βασική εξίσωση γράφεται g(g(x))=αg(x)+βf(h(x)), για κάθε x στο R.
Θεωρώ x1, x2 στο R τέτοια ώστε g(x1)=g(x2) => g(x1)-g(x2)=0. Έχουμε:
g(x1)=g(x2) => g(g(x1))=g(g(x2)) => αg(x1)+βf(h(x1))=αg(x2)+βf(h(x2)) => α[g(x1)-g(x2)]=β[f(h(x2))-f(h(x1))] => 0=β[f(h(x2))-f(h(x1))] => f(h(x2))-f(h(x1))=0 => f(h(x1))=f(h(x2))
Επειδή η f είναι 1-1 ισχύει: f(h(x1))=f(h(x2)) => h(x1)=h(x2)
Επειδή η h είναι 1-1 ισχύει: h(x1)=h(x2) => x1=x2
Άρα προκύπτει g(x1)=g(x2) => x1=x2
Συνεπώς η g είναι 1-1.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.