Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

vavlas · 17-10-10

Αρχική Δημοσίευση από 9aleia:
Έστω $z\epsilon C\ast$ και $f(z)=\frac{z-i}{z}$ .
α)Αν $f(z)\epsilon R$ να δειξετε οτι $z\epsilon I$
β)Αν $f(z)\bar{f(z)}$ = 5 να βρειτε :
ι)το γεωμετρικο τοπο των εικονων $z$ .
ιι)τη μεγιστη τιμη του $|z|$ και την ελαχιστη του $|f(z)-1|$ .

εχει κανενας καμια ιδεα;;;

Εκμεταλεύσου οτι $f(z)\epsilon R$ πάρε δηλαδή οτι f(z)=f(zσυζυγές),αντικατέστησε και θα καταλήξεις σε z=-zσυζυγές

Θάλεια · 17-10-10

Αρχική Δημοσίευση από vavlas:
Εκμεταλεύσου οτι $f(z)\epsilon R$ πάρε δηλαδή οτι f(z)=f(zσυζυγές),αντικατέστησε και θα καταλήξεις σε z=-zσυζυγές

Μαλιστααα..
Μηπως εχεις + για το 2ο καμια ιδεαα; :worry:

vavlas · 17-10-10

Αρχική Δημοσίευση από 9aleia:
Μαλιστααα..
Μηπως εχεις + για το 2ο καμια ιδεαα;

Ξέρεις απο την εκφώνηση το $f(z)$ άρα ξέρεις και το $\bar{f(z)}$ εξισώνεις το γινόμενο τους με το 5,βάζεις όπου $z$ βάζεις χ+yi και καταλήγεις σε ευθεία η σε κάποια κωνική τομή.

vavlas · 17-10-10

Για να δείξω οτι 2 γραφικές παραστάσεις έχουν μόνο ένα κοινό σημείο,αρκεί να δείξω οτι οι 2 συναρτήσεις f(x) και g(χ) είναι γνησίος μονότονες,και η ισότητα f(x)=g(x) έχει μία προφανής λύση;

Ricky · 17-10-10

Αρχική Δημοσίευση από vavlas:
Για να δείξω οτι 2 γραφικές παραστάσεις έχουν μόνο ένα κοινό σημείο,αρκεί να δείξω οτι οι 2 συναρτήσεις f(x) και g(χ) είναι γνησίος μονότονες,και η ισότητα f(x)=g(x) έχει μία προφανής λύση;

Για να δείξεις ότι 2 συναρτήσεις έχουν μόνο ένα κοινό σημείο αρκεί να δείξεις ότι η εξίσωση f(x)=g(x) έχει ακριβώς μία λύση.

vavlas · 17-10-10

Αρχική Δημοσίευση από Ricky:
Για να δείξεις ότι 2 συναρτήσεις έχουν μόνο ένα κοινό σημείο αρκεί να δείξεις ότι η εξίσωση f(x)=g(x) έχει ακριβώς μία λύση.

Ναι αλλά αν έχω f(x)=e^(x-1)+ln(x+1) και g(x)=x³+ln2x δεν μπορώ να αποδείξω οτι η f(x)=g(x) οτι έχει μοναδική λύση,απλά μπορώ να δω οτι έχω προφανής ρίζα το χ=1 και να δω αν είναι γνησίος μονότονες για να δω αν είναι μοναδική.

Ricky · 17-10-10

Αρχική Δημοσίευση από vavlas:
Ναι αλλά αν έχω f(x)=e^(x-1)+ln(x+1) και g(x)=x³+ln2x δεν μπορώ να αποδείξω οτι η f(x)=g(x) οτι έχει μοναδική λύση,απλά μπορώ να δω οτι έχω προφανής ρίζα το χ=1 και να δω αν είναι γνησίος μονότονες για να δω αν είναι μοναδική.

Ναι, πολύ σωστά.

rebel · 17-10-10

Αν θεωρήσεις την $h(x)=f(x)-g(x)$ μπορείς να δείξεις κατασκευαστικά ( $x_1=x_2\Leftrightarrow x_1^3=x_2^3$ κτλ) ότι αυτή είναι 1-1 και άρα έχει μοναδική ρίζα;Γιατί με μονοτονία δηλ παραγώγιση και έλεγχο προσήμου λίγο δύσκολο το βλέπω

petroskaz · 18-10-10

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α,β με β διάφορο του 0 και οι συναρτήσεις f,g:R->R ώστε:
(gog)(x)=ag(x)+bf(x^3+x+2000) για κάθε χ ανήκει στο R
Αν η f είναι 1-1,να αποδείξετε οτι και η g είναι 1-1.

Civilara · 18-10-10

Αρχική Δημοσίευση από petroskaz:
Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α,β με β διάφορο του 0 και οι συναρτήσεις f,g:R->R ώστε:
(gog)(x)=ag(x)+bf(x^3+x+2000) για κάθε χ ανήκει στο R
Αν η f είναι 1-1,να αποδείξετε οτι και η g είναι 1-1.

Θεωρώ την συνάρτηση h(x)=x³+x+2000. Η h είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R ως πολυωνυμική με πρώτη παράγωγο h΄(x)=3x²+1. Επειδή h'(x)>0 για κάθε x στο R, τότε η h είναι γνησίως αύξουσα στο R και συνεπώς 1-1.

Η f είναι 1-1, οπότε για κάθε x1,x2 στο R ισχύει f(x1)=f(x2) => χ1=χ2.
Η βασική εξίσωση γράφεται g(g(x))=αg(x)+βf(h(x)), για κάθε x στο R.

Θεωρώ x1, x2 στο R τέτοια ώστε g(x1)=g(x2) => g(x1)-g(x2)=0. Έχουμε:

g(x1)=g(x2) => g(g(x1))=g(g(x2)) => αg(x1)+βf(h(x1))=αg(x2)+βf(h(x2)) => α[g(x1)-g(x2)]=β[f(h(x2))-f(h(x1))] => 0=β[f(h(x2))-f(h(x1))] => f(h(x2))-f(h(x1))=0 => f(h(x1))=f(h(x2))

Επειδή η f είναι 1-1 ισχύει: f(h(x1))=f(h(x2)) => h(x1)=h(x2)
Επειδή η h είναι 1-1 ισχύει: h(x1)=h(x2) => x1=x2

Άρα προκύπτει g(x1)=g(x2) => x1=x2

Συνεπώς η g είναι 1-1.

akiroskirios · 18-10-10

Αρχική Δημοσίευση από vavlas:
Ναι αλλά αν έχω f(x)=e^(x-1)+ln(x+1) και g(x)=x³+ln2x δεν μπορώ να αποδείξω οτι η f(x)=g(x) οτι έχει μοναδική λύση,απλά μπορώ να δω οτι έχω προφανής ρίζα το χ=1 και να δω αν είναι γνησίος μονότονες για να δω αν είναι μοναδική.

δεν ισχύει αυτό που λες...αν οι συναρτήσεις είναι γνησίως μονότονες και δεν έχουν την ίδια μονοτονία τότε κάτι γίνεται, απλά δεν έχεις διδαχτεί κάπου ένα τέτοιο θεώρημα...Άρα θέσε συνάρτηση Κ= f - g και δείξε πως έχει μοναδική λύση...

ΥΓ: Βασικά αν αποδείξεις πως η f και η g είναι γνησίως μονότονες και έχουν διαφορετική μονοτονία τότε η -g θα έχει ίδια μονοτονία με την f άρα η f-g θα είναι γνησίως μονότονη και θα έχει τη μονοτονία της f ( x1>x2 κλπ)..Αλλά δεν υπάρχει λόγος να περιπλέκουμε την άσκηση...

evangeline · 18-10-10

έχω κολλήσει...
ψάχνω να βρω μια συνάρτηση που να είναι 1-1 αλλά όχι γνησίως μονότονη....

vavlas · 18-10-10

Αρχική Δημοσίευση από akiroskirios:
δεν ισχύει αυτό που λες...αν οι συναρτήσεις είναι γνησίως μονότονες και δεν έχουν την ίδια μονοτονία τότε κάτι γίνεται, απλά δεν έχεις διδαχτεί κάπου ένα τέτοιο θεώρημα...Άρα θέσε συνάρτηση Κ= f - g και δείξε πως έχει μοναδική λύση...

ΥΓ: Βασικά αν αποδείξεις πως η f και η g είναι γνησίως μονότονες και έχουν διαφορετική μονοτονία τότε η -g θα έχει ίδια μονοτονία με την f άρα η f-g θα είναι γνησίως μονότονη και θα έχει τη μονοτονία της f ( x1>x2 κλπ)..Αλλά δεν υπάρχει λόγος να περιπλέκουμε την άσκηση...

Γενικά 2 γνησίος μονότονες συναρτήσεις μπορούν να έχουν πάνω από ένα σημείο τομής;

Ricky · 18-10-10

Αρχική Δημοσίευση από evangeline:
έχω κολλήσει...
ψάχνω να βρω μια συνάρτηση που να είναι 1-1 αλλά όχι γνησίως μονότονη....

Δοκίμασε τη συνάρτηση

Ricky · 18-10-10

Αρχική Δημοσίευση από vavlas:
Γενικά 2 γνησίος μονότονες συναρτήσεις μπορούν να έχουν πάνω από ένα σημείο τομής;

Ναι γίνεται. Για παράδειγμα δες το συνειμμένο που ανέβασα. Έχουμε 2 διαφορετικές συναρτήσεις, γνησίως αύξουσες, που όμως έχουν άπειρα κοινά σημεία (όλα τα σημεία μέσα στον κύκλο).

rebel · 18-10-10

f(x)=x, αν χ<1 ή χ>=2
3-χ, αν 1<=χ<2

Dias · 18 Οκτωβρίου 2010

Αρχική Δημοσίευση από evangeline:
...συνάρτηση που να είναι 1-1 αλλά όχι γνησίως μονότονη....

Δες στο βιβλίο: σελ. 153 σχήμα (34). Αν δεις αυτό, μετά φτιάχνεις όποια άλλη θέλεις.
Θα σου πω τι μου λένε οι καθηγητές μου: "Πρώτα θα κοιτάς το σχολικό βιβλίο και μετά όλα τα άλλα".

Αρχική Δημοσίευση από vavlas:
Γενικά 2 γνησίως μονότονες συναρτήσεις μπορούν να έχουν πάνω από ένα σημείο τομής;

Ω, ναι. Δες ένα απλό παράδειγμα: y = x και y = x³

vavlas · 18-10-10

Ευχαριστώ πολύ.

akiroskirios · 19-10-10

Αρχική Δημοσίευση από vavlas:
Γενικά 2 γνησίος μονότονες συναρτήσεις μπορούν να έχουν πάνω από ένα σημείο τομής;

έντιτ: σε κάλυψε ο Ξένιος

Ricky · 19-10-10

Αρχική Δημοσίευση από vavlas:
Ναι αλλά αν έχω f(x)=e^(x-1)+ln(x+1) και g(x)=x³+ln2x δεν μπορώ να αποδείξω οτι η f(x)=g(x) οτι έχει μοναδική λύση,απλά μπορώ να δω οτι έχω προφανής ρίζα το χ=1 και να δω αν είναι γνησίος μονότονες για να δω αν είναι μοναδική.

Μήπως η άσκηση λέει για x>0?

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Συνημμένα

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος