Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[exc]

Καλησπέρα.
ασκ. 60 Μπάρλας 2, σελ 296.

Συνάρτηση f συνεχής στο [-π/2,π/2] για κάθε χ.ψ eR
Ισχύει: f(x+ψ)= f(χ)+f(ψ)+χημψ+ψημχ

α) νδο f(x)+f(-x)=2xημχ
β) να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα. (δεν ξέρω να βάζω ψαράκι )
ολοκλήρωμα ορισμένο από π/2 έως -π/2 του f(x)dx

Ευχαριστώ.

α)ψ=0 στην f(x+ψ)= f(χ)+f(ψ)+χημψ+ψημχ => f(x)+f(-x)=2xημχ
β)ολοκλήρωσε τη σχέση αυτή και χώρισε το ολοκήρωμα του αριστερού μέλους στα 4 επιμέρους: της f(x) και f(-x) από -π/2 έως 0 και από ο έως π/2.
Αλλαγή μεταβλητής στο στα ολοκληρώματα με f(-x): u=-x du=-dx.
Τελικά βρίσκεις το ολοκλήρωμα ίσο με 2 αν το έκανα σωστά.

1.Θεωρούμε τις συνεχείς συναρτήσεις f,g:[α,β]->R.Αν για καθε χε[α,β] ισχύει g(x)>0 νδο υπάρχει ξε(α,β) ωστε

f συνεχής στο [α,β] άρα έχει ένα μέγιστο (M στο χ_μ) και ένα ελάχιστο (m στο χ_ε) στο [α,β]: m=f(x_ε)=<f(x)=<f(x_μ)=Μ.
Πολλαπλασιάζουμε με την g(x). Επειδή είναι θετική δεν αλλάζει η φορά της ανισότητας και φεύγουν τα "=" (αφού g όχι 0): mg(x)<f(x)g(x)<Μg(x). Άρα ισχύει και η mΣg(x)<Σf(x)g(x)<ΜΣg(x), όπου Σ το ολοκλήρωμα ως προς χ από α έως β.
Διαιρούμε με Σg(x) και έχουμε: m=f(x_ε)<(Σf(x)g(x))/Σg(x)<f(x_μ)=M.
Από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών έχεις ότι υπάρχει ένα ξ στο (χ_ε,χ_μ) που είναι όμως υποσύνολο του (α,β) για το οποίο ισχύει f(ξ)=Σf(x)g(x))/Σg(x).
Και το ζητούμενο απεδείχθη.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[χρηστοσ17]

να βρεθει η f αν
f''(x)=2/(x-1)^3
εχει ασυμπτ. οταν χ--> +00
την 27χ+y-1=0

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Harry0000]

Μεγαλη χαρη σου κανω

Ευχαριστώ πολύ

β. Ένα κινητό κινείται στην καμπύλη f(x)=lnx. Καθώς περνάει από το σημείο Α(e^1/2 , 1/2) η τετμημένη του x ελαττώνεται με ρυθμό 2 μονάδες ανά sec. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ=MOX , τη χρονική στιγμή που το κινητό περνάει από το Α.

Μήπως μπορεί να με βοηθήσει κανείς;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[forakos]

α)ψ=0 στην f(x+ψ)= f(χ)+f(ψ)+χημψ+ψημχ => f(x)+f(-x)=2xημχ
β)ολοκλήρωσε τη σχέση αυτή και χώρισε το ολοκήρωμα του αριστερού μέλους στα 4 επιμέρους: της f(x) και f(-x) από -π/2 έως 0 και από ο έως π/2.
Αλλαγή μεταβλητής στο στα ολοκληρώματα με f(-x): u=-x du=-dx.
Τελικά βρίσκεις το ολοκλήρωμα ίσο με 2 αν το έκανα σωστά.

f συνεχής στο [α,β] άρα έχει ένα μέγιστο (M στο χ_μ) και ένα ελάχιστο (m στο χ_ε) στο [α,β]: m=f(x_ε)=<f(x)=<f(x_μ)=Μ.
Πολλαπλασιάζουμε με την g(x). Επειδή είναι θετική δεν αλλάζει η φορά της ανισότητας και φεύγουν τα "=" (αφού g όχι 0): mg(x)<f(x)g(x)<Μg(x). Άρα ισχύει και η mΣg(x)<Σf(x)g(x)<ΜΣg(x), όπου Σ το ολοκλήρωμα ως προς χ από α έως β.
Διαιρούμε με Σg(x) και έχουμε: m=f(x_ε)<(Σf(x)g(x))/Σg(x)<f(x_μ)=M.
Από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών έχεις ότι υπάρχει ένα ξ στο (χ_ε,χ_μ) που είναι όμως υποσύνολο του (α,β) για το οποίο ισχύει f(ξ)=Σf(x)g(x))/Σg(x).
Και το ζητούμενο απεδείχθη.

M στο χ_μ) και ένα ελάχιστο (m στο χ_ε)
Τι είναι τα χ_μ και χ_ε; Διαστήματα;
Ευχαριστω παρα πολυ παντως

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[exc]

M στο χ_μ) και ένα ελάχιστο (m στο χ_ε)
Τι είναι τα χ_μ και χ_ε; Διαστήματα;
Ευχαριστω παρα πολυ παντως

Παρακαλώ.
Όχι δεν είναι διαστήματα.
Η f επειδή είναι συνεχής έχει μία ελάχιστη τιμή την m και μία μέγιστη την Μ τις οποίες παίρνει για τιμή του χ: χ_ε και χ_μ αντίστοιχα. Δηλαδή: f(x_ε)=m και f(x_μ)=Μ.
Τα ε και μ είναι δείκτες.

Πάντως δε νομίζω να πέσει κάτι τέτοιο στις πανελλήνιες.
----------------------------------------------------------------------
@Harry0000:
Ποια είναι η γωνία θ; Ποια είναι τα σημεία Μ, Ο, Χ;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Harry0000]

Πάντως δε νομίζω να πέσει κάτι τέτοιο στις πανελλήνιες.
----------------------------------------------------------------------
@Harry0000:
Ποια είναι η γωνία θ; Ποια είναι τα σημεία Μ, Ο, Χ;

Η γωνία θ είναι η γωνία που ορίζουν οι πλευρές ΜΟ και ΟΧ
Μ είναι το κινητό, Ο η αρχή των αξόνων.
τώρα το Χ δεν ξέρω μάλλον το όποιο σημείο.

Βασικά μας το έδωσε στο σχολείο για ένα διαγώνισμα για το σπίτι......

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[exc]

Η γωνία θ είναι η γωνία που ορίζουν οι πλευρές ΜΟ και ΟΧ
Μ είναι το κινητό, Ο η αρχή των αξόνων.
τώρα το Χ δεν ξέρω μάλλον το όποιο σημείο.

Βασικά μας το έδωσε στο σχολείο για ένα διαγώνισμα για το σπίτι......

Μάλιστα... Προφανώς τότε έπρεπε να βάλει το χ μικρό και όχι κεφαλαίο γιατί μάλλον εννοεί τον θετικό ημιάξονα των χ.

Λοιπόν:
Ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης ως προς το χρόνος δίνεται: dx/dt=-2
Θέτω y=lnx για διευκόλυνση. Και θ=u

dy/dt=(dy/dx)(dx/dt)=(1/x)(-2)=-2/x

tanu=dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)=(-2/x)(1/[-2])=1/x
Παραγωγίζεις αυτή την εξίσωση: (1/(cosu)^2)(du/dt)=(-1/x^2)(dx/dt)=2/x^2=>du/dt=(2/x^2)(cosu)^2.
Όμως (cosu)^2=x^2/(x^2+y^2).
Άρα: du/dt=2/(χ^2+y^2).
Στο σημείο Α(χ,υ)=(e^(1/2),1/2): du/dt=8/(4e+1).

Αυτή είναι η διαδικασία. Ίσως, όμως, να έχω κανένα λάθος στις πράξεις.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[manouno]

Παιδιά καλησπέρα και καλή Σαρακοστή.
Μήπως θυμάστε πόσο είναι η παράγωγος της παρακάτω συνάρτησης ??
f(x)=

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[coheNakatos]

Με την μεθοδο ασανσερ

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Harry0000]

tanu=dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)=(-2/x)(1/[-2])=1/x
Παραγωγίζεις αυτή την εξίσωση: (1/(cosu)^2)(du/dt)=(-1/x^2)(dx/dt)=2/x^2=>du/dt=(2/x^2)(cosu)^2.
Όμως (cosu)^2=x^2/(x^2+y^2).
Άρα: du/dt=2/(χ^2+y^2).
Στο σημείο Α(χ,υ)=(e^(1/2),1/2): du/dt=8/(4e+1).

Μήπως μπορείς να μου εξηγήσεις τι έχει κάνει στα υπογραμμισμένα;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[exc]

Μήπως μπορείς να μου εξηγήσεις τι έχει κάνει στα υπογραμμισμένα;

Αν έχεις την tanf(x), πώς θα την παραγωγίσεις;
Προφανώς ως εξής: [-1/(cosf(x))^2]*f '(x), έτσι δεν είναι;

Σε αυτήν την περίπτωση έχεις u=u(t).
---
Αν έχεις: y=y(x) και x=x(t) και θέλεις να παραγωγίζεις την y ως προς t, τότε παραγωγίζεις την y ως προς χ και πολλαπλασιάζεις με την παράγωγο του χ ως προς t, άρα: dy/dt=[dy/dx][dx/dt]: κατι που βγαίνει και πολύ εύκολα αν χρησιμοποιήσεις την γραφή του Leibniz και τα διαφορικά ως οποιονδήποτε αριθμό και πολλαπλασιάσεις και διαιρέσεις με το dx.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Harry0000]

Αν έχεις την tanf(x), πώς θα την παραγωγίσεις;
Προφανώς ως εξής: [-1/(cosf(x))^2]*f '(x), έτσι δεν είναι;

Σε αυτήν την περίπτωση έχεις u=u(t).
---
Αν έχεις: y=y(x) και x=x(t) και θέλεις να παραγωγίζεις την y ως προς t, τότε παραγωγίζεις την y ως προς χ και πολλαπλασιάζεις με την παράγωγο του χ ως προς t, άρα: dy/dt=[dy/dx][dx/dt]: κατι που βγαίνει και πολύ εύκολα αν χρησιμοποιήσεις την γραφή του Leibniz και τα διαφορικά ως οποιονδήποτε αριθμό και πολλαπλασιάσεις και διαιρέσεις με το dx.

Ευχαριστώ, γιατί είχα ψιλομπερδευτεί....

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[sakishrist]

Γεια σας,

Θα ήθελα λίγη βοήθεια με την παρακάτω άσκηση:

Κατ΄αρχάς το πρώτο δεν είναι συνέπεια του κλειστού διαστήματος στο οποίο ορίζεται η συνάρτηση;

Ευχαριστώ εκ των προτέρων

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[coheNakatos]

Γεια σας,

Θα ήθελα λίγη βοήθεια με την παρακάτω άσκηση:

Κατ΄αρχάς το πρώτο δεν είναι συνέπεια του κλειστού διαστήματος στο οποίο ορίζεται η συνάρτηση;

Ευχαριστώ εκ των προτέρων

Για το Α αυτο που ειπες και εσυ
Για το Β μια λυση ειναι ΘΜΤ στα [0,χ] και [χ,1] (πριν βρισκεις οτι f(0)>0 και f(1)>0 με αντικατασταση)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[sakishrist]

Χμμ ... Επειδή έχω μείνει λίγο πίσω και προφανώς έχω κάποια κενά δεν μου βγήκε η παραπάνω άσκηση. Δεν κατάλαβα πως ακριβός θα έπρεπε να εφαρμόσω το ΘΜΤ.

Ευχαριστώ εκ των προτέρων

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[sakishrist]

Πρώτων για το Α ερώτημα από ότι είδα δεν αρκεί να πούμε πως είναι ορισμένη σε κλειστό διάστημα καθώς η αρχική και η τελική τιμή είναι ίσες, άρα θα μπορούσε να είναι σταθερή και άρα να μην παρουσιάζει ακρότατα.

Όσων αφορά το δεύτερο ερώτημα έχω φτάσει μέχρι εδώ και από εκεί και πέρα δεν μου έρχεται τι πρέπει να κάνω.

Once again, thanks in advance!

EDIT: Oops ... έχω και ορθογραφικά εκεί πάνω.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[coheNakatos]

Πρώτων για το Α ερώτημα από ότι είδα δεν αρκεί να πούμε πως είναι ορισμένη σε κλειστό διάστημα καθώς η αρχική και η τελική τιμή είναι ίσες, άρα θα μπορούσε να είναι σταθερή και άρα να μην παρουσιάζει ακρότατα.

Όσων αφορά το δεύτερο ερώτημα έχω φτάσει μέχρι εδώ και από εκεί και πέρα δεν μου έρχεται τι πρέπει να κάνω.

Once again, thanks in advance!

EDIT: Oops ... έχω και ορθογραφικά εκεί πάνω.

1ον ) το βιβλιο αν δεις τον ορισμο δεν κανει κανει Κανεναν διαχωρισμο για το αν ειναι σταθερη .. επειτα το οτι υπαρχει ξ ωστε f'(j)=0 δεν αρκει ΠΡΕΠΕΙ να αλλαζει το προσημο της f' εκατερωθεν της ριζας !
Για το β Κανεις ΘΜΤ στα διαστηματα που σου ειπα και λυνεις ως προς f(x) Και βγαινει f(x)>(κατι θετικο) !

Π.Σ : Πως βγαινει οτι f(0)=f(1) ?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[exc]

1ον ) το βιβλιο αν δεις τον ορισμο δεν κανει κανει Κανεναν διαχωρισμο για το αν ειναι σταθερη .. επειτα το οτι υπαρχει ξ ωστε f'(j)=0 δεν αρκει ΠΡΕΠΕΙ να αλλαζει το προσημο της f' εκατερωθεν της ριζας !
Για το β Κανεις ΘΜΤ στα διαστηματα που σου ειπα και λυνεις ως προς f(x) Και βγαινει f(x)>(κατι θετικο) !

Π.Σ : Πως βγαινει οτι f(0)=f(1) ?

Τι θέλεις να πεις, δηλαδή ότι μία συνάρτηση για να έχει ρίζα κάπου πρέπει να αλλάζει και πρόσημο; Δηλαδή για εσένα η φ(χ)=χ^2 δεν έχει ρίζα;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[coheNakatos]

Τι θέλεις να πεις, δηλαδή ότι μία συνάρτηση για να έχει ρίζα κάπου πρέπει να αλλάζει και πρόσημο; Δηλαδή για εσένα η φ(χ)=χ^2 δεν έχει ρίζα;

Αν ειδες μιλαμε για ακροτατο .. διαβασε και μην βγαζεις συμπερασματα

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[nbp92]

Ασκησή 1
Αν η f ειναι παραγωγισιμη στο R και η ευθεια y=x-3 εφαπτεται της γραφικης παραστασης της f στο M(0. f(0)) και g(x)=f(x*e^x) για καθε x που ανηκει στο R, τοτε
α) Να υπολογισετε τα f(0), f'(0), g'(0)
β) Να αποδειξετε οτι η ευθεια y=x-3 εφαπτεται και στην γραφικη παρασταση τησ g στο σημειο M(0, f(0))

Ευχαριστω για την βοηθεια σασ

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.