Ε; Όταν λέει παραγωγίσιμη εννοεί μία τουλάχιστον φορά παραγωγίσιμη στο διάστημα αναφοράς, δεν εννοεί άπειρες φορές παραγωγίσιμη, τι είναι αυτά που λέτε; Δηλαδή σε όποια άσκηση μιλάει για μια παραγωγίσιμη f και υπάρχει τρόπος με f'', πάτε και παίρνετε f''? Από που κι ως που;
-----------------------------------------
Στις Πανελλήνιες το πήραν σωστό, πιθανολογώ, γιατί η συντριπτική πλειοψηφία, όπως αναμενόταν, το έκανε λάθος, οπότε συμβατικά έδωσαν σε όλους το βαθμό για να μην πέσουν οι βαθμολογίες στο μάθημα για μία ακόμη φορά στον πάτο. Αυτό δεν θα ήταν ούτε η πρώτη, ούτε η τελευταία φορά που θα το έκαναν. Από κει και πέρα, δεν είναι δυνατόν να βγάζεις τέτοιο συμπέρασμα επειδή μία φορά το δέχτηκαν. Πρώτον, αυτό που λες εσύ αλλάζει τον τρόπο λύσης σε χιλιάδες ασκήσεις μαθηματικών, δεύτερον αν ξαναπέσει κάτι παρόμοιο δεν θα το ξανακάνουν τόσοι πολλοί λάθος, οπότε δεν θα χαριστούν βαθμοί, γιατί πλέον είναι γνωστό ζήτημα και τρίτον είναι καραμπινάτο λάθος, από που κι ως που λες τέτοιο πράγμα;
Αν, βέβαια, γράψεις εσύ ένα βιβλίο μπορείς να το θέσεις ελεύθερα ως κανόνα, σύμφωνα με το βιβλίο που αποτελεί βάση για μάθημα και βαθμολόγηση, αυτό δεν ισχύει ΣΕ ΚΑΜΙΑ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ. Και ομολογώ ότι δεν πείθομαι ότι ισχύει και γενικότερα στα Μαθηματικά. Αλλά αυτό το γνωρίζουν άλλοι με ευρύτερες γνώσεις στην επιστήμη, εγώ δε μπορώ να πω ότι είναι γενικά μαθηματικό λάθος, δεν έχω την ευρύτητα.
Για τη λύση της άσκησης: (αναιρώ όσα είπα λίγο παραπάνω, τα οποία διέγραψα)
Αν είναι παραγωγίσιμη στο Δ, το Rolle θα γίνει σε διάστημα που ορίζουν τα χ1,χ2 ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεία του Δ, στο Δ Rolle δεν γίνεται γιατί δεν ξέρουμε αν είναι κλειστό κι αν είναι κλειστό, αν η f είναι συνεχής στα άκρα του. Η f είναι παραγωγίσιμη, άρα και συνεχής στο [χ1,χ2], ως παραγωγίσιμη στο υπερσύνολο Δ (που δεν ταυτίζεται με το [χ1,χ2]). Εαν θεωρήσουμε ότι για τα τυχαία αυτά χ1,χ2 οι τιμές της f είναι ίσες, τότε υπάρχει ξ στο οποίο η f' μηδενίζεται, πράγμα άτοπο. Άρα για κάθε χ1 διάφορο του χ2, θα είναι f(x1) διάφορο του f(x2), που είναι ο ορισμός της 1-1.
Ακριβώς η ίδια απόδειξη γίνεται και στην περίπτωση που το Δ είναι το R, μόνο που εκεί παραλείπεται η αναφορά στο ότι τα χ1,χ2 είναι εσωτερικά του R, γιατί εννοείται. Στην περίπτωση αυτή το συμπέρασμα ισχύει στο R, ενώ εδώ ισχύει στο Δ, πλήρης αντιστοιχία.
Αυτό ήταν, βασικά, και το σημείο που μπερδεύει, αν ξεπερνούσες την παγίδα με τη συνέχεια της f'. Στο ότι όταν βλέπεις το Δ πας να εφαρμόσεις σε αυτό Rolle, αν και για μένα αυτό οφείλεται σε δομικό στοιχείο της άσκησης, πρέπει να αναφέρει ότι θέλει να αποδείξεις το ζητούμενο στο Δ.
Η απόδειξή μου φτάνει μέχρι το 1-1. Για τη γνήσια μονοτονία (είπε κάποιος αν συνεχής και 1-1) θα το κοιτάξω αργότερα, αν και θα ήθελα, αν υπάρχει κάποια αξιόπιστη απόδειξη, γιατί μια συνεχής και 1-1 είναι γν μονοτονη, να δοθεί.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.