Ας υποθέσουμε αντίθετα ότι η f είναι συνεχής στο [0,1]. Εφαρμόστε την ανισότητα Cauchy - Schwartz για ολοκληρώματα για τις συναρτήσεις
})
και
})
. Τότε παρατηρούμε ότι λόγω των δεδομένων, η ανισότητα ισχύει ως ισότητα πράγμα που ισχύει είτε όταν και οι δύο συναρτήσεις είναι ταυτοτικά μηδέν (που δεν γίνεται, αφού τότε το ολοκλήρωμα της f που είναι θετική και συνεχής στο [0,1] δεν θα ήταν 1) είτε όταν οι δύο συναρτήσεις είναι ανάλογες για κάθε x στο [0,1], πράγμα που δεν γίνεται διότι αν υπήρχε λ τέτοιο ώστε
} =lambda xsqrt{f(x)})
για κάθε x στο [0,1], τότε θα ίσχυε

για κάθε x στο [0,1] που φανερά δεν ισχύει (πάρτε π.χ. για x=0).
Αλέξανδρος
Υ.Γ. Για εκείνους που δεν θυμούνται ή δεν ξέρουν την ανισότητα Cauchy - Schwartz για ολοκληρώματα
Εαν f, g είναι συναρτήσεις συνεχείς στο [a,b] (a<b) τότε ισχύει