Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

bobiras11 · 28 Απριλίου 2009 στις 12:44

Αρχική Δημοσίευση από maira_leo:
2)Εστω συναρτηση f:R-->R, οπου α>0, ετσι ωστε να ισχυει ${[f '(x)]}^{2}=2f(x)$ για καθε $xepsilon R$
α)Να αποδειξετε οτι υπαρχει σταθερος αριθμος c ωστε για καθε $xepsilon R$ να ισχυει $f(x)=frac{{(x+c)}^{2}}{2}$
β)Nα μελετησετε την f ως προς την μονοτονια.

για το α ερωτημα πρεπει να βρω τον τυπο της f ?? δεν μ βγαινει με τπτ..

To a το έχω ξαναδεί κάπου αλλού. Μόνο που εκεί έδινε ότι η f είναι πολυωνυμική. Δεν ξέρω άμα γίνεται με κανόνες παραγώγισης να βγάλεις μια συνάρτηση. Σε εκείνη την άσκηση που είχα λύσει πάντως ξεκινούσα λέγοντας έτσι ότι η f είναι ν βαθμού. Η f' είναι ν-1 βαθμού και πάει λέγοντας..

manos66 · 28 Απριλίου 2009 στις 12:56

$\\ \int_{0}^{2}f(x)dx=\lim_{t\rightarrow 0^+}\int_{t}^{2}x^2lnxdx$

Δεν γράφουμε $\int_{0}^{2}x^2lnxdx$

18vasilis · 28 Απριλίου 2009 στις 12:59

σε ευχαριστώ

RORY · 28 Απριλίου 2009 στις 17:31

Αρχική Δημοσίευση από maira_leo:
καλησπερα σαααας! σορρυ αν σας ταλαιπωρω αλλα οποιος εχει την διαθεση να βοηθησειιιι... ειναι 3 ασκησουλες! εκπεμπω SOS

1)α)Να μελετησετε ως προς την μονοτονια την συναρτηση $f$ με τύπο $f(x)={a}^{x}+lna, 0<aneq1$
β)Να βρειτε το λεR ωστε να ισχυει ${a}^{lambda (lambda -2)}-{α}^{lambda -2}=(lambda -2)(1-lambda )lna$

2)Εστω συναρτηση f:R-->R, οπου α>0, ετσι ωστε να ισχυει ${[f '(x)]}^{2}=2f(x)$ για καθε $xepsilon R$
α)Να αποδειξετε οτι υπαρχει σταθερος αριθμος c ωστε για καθε $xepsilon R$ να ισχυει $f(x)=frac{{(x+c)}^{2}}{2}$
β)Nα μελετησετε την f ως προς την μονοτονια.

3)Εστω η συναρτηση f:R-->R η οποια ειναι παραγωγισιμη με συνεχη πρωτη παραγωγο και τετοια, ωστε $int_{1}^{2}f(x)dx=-f(1)$ και $int_{2}^{3}f(x)dx=3f(3)$ . Nα αποδειξετε οτι:
i) $int_{1}^{2}xf '(x)dx=int_{3}^{2}xf '(x)dx$
ii)Η συναρτηση $g(x)=int_{1}^{x}tf '(t)dt$ , $xepsilon [1,3]$ δεν ειναι 1-1
iii)Υπαρχει $xi epsilon (1,3)$ τετοιος ωστε $f '(xi )=0$

δεν ξέρω latex ίσωσ δυσκολευτείς λίγο.
1α)f'(x)=α^χlnα>0 άρα f γνησίως αύξουσα.
1β)Το β μελος γίνεται -λ(λ-2)lnα+(λ-2)lnα.Τα πάμε όλα στο πρώτο και παρατηρώ ότι είναι το f(λ(λ-2)-f(λ-2)=0 ή f(λ(λ-2))=f(λ-2) Όμως η f είναι γν.αύξουσα άρα 1-1.
Οπότε αρκει να ισχυει λ(λ-2)=λ-2 κτλ
2.Θα παραγωγίσω την σχέση που δίνεται.Πρώτα όμως θα αποδείξουμε οότι υπάρχει η δεύτερη παράγωγος.
limf'(x)-f'(x0)/x-x0=πολλ.τοf'(x)+f'(x0)στον αριθμητη και στον παρον.και κανω την διαφορά τετραγώνων.=lim(f'(x)^2-f'(x0)^2)/(x-x0)(f'(x)+f'(x0)=lim(2(f(x)-f(x0))/(x-x0)(f'(x)+f'(x0))=το όριο υπάρχει κι\αι ισούται με=2f'(x0)/2f'(x0)=1
Παραγωγίζω την αρχικη σχέση.
2f'(x)f"(x)=2f'(x) επειδή f'(x) όχι μηδέν παίρνω ότι f''(x)=1.Oλοκληρώνοντας 2 φορρές παίρνω το ζητούμενο.
β)γνωστο
3)Χρησιμοποιώ ολοκλήρωση κατά παράγοντες
ολοκληρωμα από 1έως3 της xf'(x)=[xf(x)](1εως3)-ολοκλήρωμα απο 1 έως3 της f(x) σχεση 1
ολοκλ.από 1 έως 3 τησ f(x)=oλοκλ.απο 1 έως 2 της f(x)+ολοκλ.από 2 έως 3 της f(x) σχέση 2
Αντικαθιστώ τις σχέσεις που δίνει η άσκηση στην σχέση 2 και μετά την σχέση 2 στην 1
και παίρνω ολοκλ.χf'(x) από 1 έως 3=0
Αυτό είναι το ζητούμενο αν το σπάσω σε δύο ολοκληρώματα και αλλάξω μέλη και πλευρικά όρια λογω του μείον.
2)Πράγματι γιατί g(1)=g(3)=0
3)Για την g του β ερωτήματος ισχύει:
g συνεχης στο [1,3],παραγωγίσιμη στο (1,3) και g(1)=g(3).από θ Rοlle
υπάρχει ξε(1,3) με g'(ξ)=0 ή ξf'(ξ)=0 ή f'(ξ)=0 επειδή ξ διάφορο του μηδέν.

vanato07 · 28 Απριλίου 2009 στις 17:40

Rory το lna>0 γιατι ισχυει?

RORY · 28 Απριλίου 2009 στις 17:49

Αρχική Δημοσίευση από maira_leo:
καλησπερα σαααας! σορρυ αν σας ταλαιπωρω αλλα οποιος εχει την διαθεση να βοηθησειιιι... ειναι 3 ασκησουλες! εκπεμπω SOS

1)α)Να μελετησετε ως προς την μονοτονια την συναρτηση $f$ με τύπο $f(x)={a}^{x}+lna, 0<aneq1$
β)Να βρειτε το λεR ωστε να ισχυει ${a}^{lambda (lambda -2)}-{α}^{lambda -2}=(lambda -2)(1-lambda )lna$

2)Εστω συναρτηση f:R-->R, οπου α>0, ετσι ωστε να ισχυει ${[f '(x)]}^{2}=2f(x)$ για καθε $xepsilon R$
α)Να αποδειξετε οτι υπαρχει σταθερος αριθμος c ωστε για καθε $xepsilon R$ να ισχυει $f(x)=frac{{(x+c)}^{2}}{2}$
β)Nα μελετησετε την f ως προς την μονοτονια.

3)Εστω η συναρτηση f:R-->R η οποια ειναι παραγωγισιμη με συνεχη πρωτη παραγωγο και τετοια, ωστε $int_{1}^{2}f(x)dx=-f(1)$ και $int_{2}^{3}f(x)dx=3f(3)$ . Nα αποδειξετε οτι:
i) $int_{1}^{2}xf '(x)dx=int_{3}^{2}xf '(x)dx$
ii)Η συναρτηση $g(x)=int_{1}^{x}tf '(t)dt$ , $xepsilon [1,3]$ δεν ειναι 1-1
iii)Υπαρχει $xi epsilon (1,3)$ τετοιος ωστε $f '(xi )=0$

Αρχική Δημοσίευση από RORY:
δεν ξέρω latex ίσωσ δυσκολευτείς λίγο.
1.f'(x)=a^xlna Aν α=1 είναι σταθερή.Αν α>1 η Φ(χ) είναι γνησίως αύξουσα,αν 0<α<1 είναι γνησίως φθίνουσα.
Η σχέση για α=1 ισχύει. Εστω α διάφορο του 1.Στο β mέλος της σχέσης παίρνω -(λ-2)λlna+(λ-2)lna. Tα πάω στο πρώτο
και παίρνω f(λ(λ-2)=f(λ-2).Η φ είναι 1-1 άρα πρέπει λ(λ-2)=λ-2

2.....Θα παραγωγίσω την σχέση που δίνεται.Πρώτα όμως θα αποδείξουμε οότι υπάρχει η δεύτερη παράγωγος.
limf'(x)-f'(x0)/x-x0=πολλ.τοf'(x)+f'(x0)στον αριθμητη και στον παρον.και κανω την διαφορά τετραγώνων.=lim(f'(x)^2-f'(x0)^2)/(x-x0)(f'(x)+f'(x0)=lim(2(f(x)-f(x0))/(x-x0)(f'(x)+f'(x0))=το όριο υπάρχει κιαι ισούται με=2f'(x0)/2f'(x0)=1
Παραγωγίζω την αρχικη σχέση.
2f'(x)f"(x)=2f'(x) επειδή f'(x) όχι μηδέν παίρνω ότι f''(x)=1.Oλοκληρώνοντας 2 φορρές παίρνω το ζητούμενο.
β)γνωστο
3)Χρησιμοποιώ ολοκλήρωση κατά παράγοντες
ολοκληρωμα από 1έως3 της xf'(x)=[xf(x)](1εως3)-ολοκλήρωμα απο 1 έως3 της f(x) σχεση 1
ολοκλ.από 1 έως 3 τησ f(x)=oλοκλ.απο 1 έως 2 της f(x)+ολοκλ.από 2 έως 3 της f(x) σχέση 2
Αντικαθιστώ τις σχέσεις που δίνει η άσκηση στην σχέση 2 και μετά την σχέση 2 στην 1
και παίρνω ολοκλ.χf'(x) από 1 έως 3=0
Αυτό είναι το ζητούμενο αν το σπάσω σε δύο ολοκληρώματα και αλλάξω μέλη και πλευρικά όρια λογω του μείον.
2)Πράγματι γιατί g(1)=g(3)=0
3)Για την g του β ερωτήματος ισχύει:
g συνεχης στο [1,3],παραγωγίσιμη στο (1,3) και g(1)=g(3).από θ Rοlle
υπάρχει ξε(1,3) με g'(ξ)=0 ή ξf'(ξ)=0 ή f'(ξ)=0 επειδή ξ διάφορο του μηδέν.klk
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από vanato07:

Rory το lna>0 γιατι ισχυει?

Click για ανάπτυξη...

έχεις δίκιο vanato.ευχαριστώ.

dimitricc · 29 Απριλίου 2009 στις 01:24

Αρχική Δημοσίευση από RORY:
δεν ξέρω latex ίσωσ δυσκολευτείς λίγο.
1α)f'(x)=α^χlnα>0 άρα f γνησίως αύξουσα.
1β)Το β μελος γίνεται -λ(λ-2)lnα+(λ-2)lnα.Τα πάμε όλα στο πρώτο και παρατηρώ ότι είναι το f(λ(λ-2)-f(λ-2)=0 ή f(λ(λ-2))=f(λ-2) Όμως η f είναι γν.αύξουσα άρα 1-1.
Οπότε αρκει να ισχυει λ(λ-2)=λ-2 κτλ
2.Θα παραγωγίσω την σχέση που δίνεται.Πρώτα όμως θα αποδείξουμε οότι υπάρχει η δεύτερη παράγωγος.
limf'(x)-f'(x0)/x-x0=πολλ.τοf'(x)+f'(x0)στον αριθμητη και στον παρον.και κανω την διαφορά τετραγώνων.=lim(f'(x)^2-f'(x0)^2)/(x-x0)(f'(x)+f'(x0)=lim(2(f(x)-f(x0))/(x-x0)(f'(x)+f'(x0))=το όριο υπάρχει κιαι ισούται με=2f'(x0)/2f'(x0)=1
Παραγωγίζω την αρχικη σχέση.
2f'(x)f"(x)=2f'(x) επειδή f'(x) όχι μηδέν παίρνω ότι f''(x)=1.Oλοκληρώνοντας 2 φορρές παίρνω το ζητούμενο.
β)γνωστο
3)Χρησιμοποιώ ολοκλήρωση κατά παράγοντες
ολοκληρωμα από 1έως3 της xf'(x)=[xf(x)](1εως3)-ολοκλήρωμα απο 1 έως3 της f(x) σχεση 1
ολοκλ.από 1 έως 3 τησ f(x)=oλοκλ.απο 1 έως 2 της f(x)+ολοκλ.από 2 έως 3 της f(x) σχέση 2
Αντικαθιστώ τις σχέσεις που δίνει η άσκηση στην σχέση 2 και μετά την σχέση 2 στην 1
και παίρνω ολοκλ.χf'(x) από 1 έως 3=0
Αυτό είναι το ζητούμενο αν το σπάσω σε δύο ολοκληρώματα και αλλάξω μέλη και πλευρικά όρια λογω του μείον.
2)Πράγματι γιατί g(1)=g(3)=0
3)Για την g του β ερωτήματος ισχύει:
g συνεχης στο [1,3],παραγωγίσιμη στο (1,3) και g(1)=g(3).από θ Rοlle
υπάρχει ξε(1,3) με g'(ξ)=0 ή ξf'(ξ)=0 ή f'(ξ)=0 επειδή ξ διάφορο του μηδέν.

προσεξε κατι,,στο σημειο οπου πολλαπλασιαζεις πανω και κατω με το f'(x ) + f'( xo) δν γνωριζεις οτι η f' δν ειναι η σταθερη συναρτηση 0 οποτε δν μπορεις να το κανεις αυτο παρα μονο υποθετοντας οτι δεν ειναι...πρεπει να ελεγξεις επομενως και την περιπτωση να ειναι η μηδενικη συναρτηση κατι που σημαινει λογω της υπο8εσης βεβαια οτι η f ειναι και αυτη η μηδενικη...και κανεις δεν αποκλειει φυσικα το να ειναι...αρα θα πρεπει πιθανον να δινει η ασκηση καποια πληροφορια για να αποκλεισει αυτο το ενδεχομενο...διαφορετικα η f ΔΕΝ ειναι απαραιτητα η ζητουμενη,,,

rolingstones · 29 Απριλίου 2009 στις 15:16

ελα επανηλθα το σωστο ειναι ετσι οπως το πα εγω και να ακουτε εμενα και το μπαρλα αφου ο μπαρλας συμφωνει μαζι μου

mangkac · 1 Μαΐου 2009 στις 00:23

Μια βοηθεια στο οριο...

$\lim_{x\rightarrow +oo}\int_{x}^{x+1}\frac{1}\sqrt{1+{t}^{4}}}dt$

Edit: δεν ξερω γιατι δεν το γραφει καθαρα αλλα η ριζα αφορα ολο τον παρονομαστη.

Τζίνα · 1 Μαΐου 2009 στις 10:58

Βασικά,σκέφτηκα το εξής, το οποίο βγαίνει,αλλά δεν ξέρω αν ισχύει σε κάποιο σημείο..:what: $\lim_{x\rightarrow +oo}\int_{x}^{x+1}\frac{1}{\sqrt{1+{t}^{4}}}dt=\lim_{x\rightarrow +oo}\int_{x}^{a}\frac{1}{\sqrt{1+{t}^{4}}}dt + \lim_{x\rightarrow +oo}\int_{a}^{x+1}\frac{1}{\sqrt{1+{t}^{4}}}dt=\lim_{x\rightarrow +oo}[-\frac{\int_{a}^{x}\frac{2t}{\sqrt{1+{t}^{4}}}dt}{[{t}^{2}](x\rightarrow a)} +\frac{\int_{a}^{x+1}\frac{2t}{\sqrt{1+{t}^{4}}}dt}{[{t}^{2}](x+1\rightarrow a)}]=\lim_{x\rightarrow +oo}[-\frac{\int_{a}^{x}\frac{2t}{\sqrt{1+{t}^{4}}}dt}{{x}^{2}-{a}^{2}} +\frac{\int_{a}^{x+1}\frac{2t}{\sqrt{1+{t}^{4}}}dt}{{(x+1)}^{2}-{a}^{2}}]$

Αν αποδείξουμε κάπως ότι το όριο του κάθε ολοκληρώματος κάνει +oo μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κανόνες de l'hospital και μετά βγαίνει..αυτό δε θα μπορούσαμε να το χρησιμοποιήσουμε στην αρχή, γιατί βγαίνει -oo +oo (απροσδιόριστη μορφή)..
Αν δεν αποδεικνύεται πάντως, αυτά που έγραψα είναι βλακείες...

george_k214 · 1 Μαΐου 2009 στις 11:22

Eστω η συνάρτηση $f:[x,x+1]\rightarrow R$ με x κοντά στο $+\propto$ και τύπο $f(t)=\frac{1}{\sqrt{1+t^4}}$ .Αν παραγωγίσεις τη συνάρτηση αυτή(πάντα δουλεύουμε κοντα στο +άπειρο) θα διαπιστώσεις οτι είναι γνησίως φθίνουσα.Συνεπώς θα ισχυεί:

$x\leq t\leq x+1\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{1+(x+1)^4}}\leq \frac{1}{\sqrt{1+t^4}}\leq \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\Leftrightarrow\int_{x}^{x+1}\frac{1}{\sqrt{1+(x+1)^4}}dt\leq \int_{x}^{x+1}\frac{1}{\sqrt{1+t^4}}dt \leq \int_{x}^{x+1}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dt \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{1+(x+1)^4}}(x+1-x)\leq \int_{x}^{x+1}\frac{1}{\sqrt{1+t^4}}dt\leq \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}(x+1-x)\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{1+(x+1)^4}}\leq \int_{x}^{x+1}\frac{1}{\sqrt{1+t^4}}dt\leq \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

Επίσης έχουμε:

$\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{1}{\sqrt{1+(x+1)^2}}=0$ και άρα από κριτήριο παρεμβολής προκύπτει:

$\lim_{x\rightarrow +\propto }\int_{x}^{x+1}\frac{1}{\sqrt{1+t^4}}dt=0$

mangkac · 1 Μαΐου 2009 στις 12:40

Για το πρωτο δεν ξερω αν ειναι σωστο να σου την αληθεια και αν βγαινει :/
Μαλλον πρεπει να βγαινει οπως το λεει ο Γιωργος γιατι στο απο πανω ερωτημα σε εχει βαλει να βρεις μονοτονια της f(x)... Ευχαριστω και τους 2 παντως..

dimitricc · 1 Μαΐου 2009 στις 13:51

πραγματι ενα απο τα ενδιαφεροντα ερωτήματα που έχουν πέσει στις δέσμες(1993) καθως οταν τεθηκε το ερωτημα η διαδικασια για μελετη της εσωτερικης στα ακρα ολοκληρωσης ( οπως εκανε ο γιωργος ) δεν ηταν ιδιαιτερα γνωστη...

cos · 2 Μαΐου 2009 στις 17:14

Επαναληπτικών 2004 Μαθηματικά Κατεύθυνσης υπάρχουν απαντήσεις;

maira_leo · 3 Μαΐου 2009 στις 20:29

1)Εστω συναρτηση f:R-->R με $f(R)=R$ και τετοια,ωστε $f(f(x))+f(x)=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$ για καθε $x\in R$ .Nα αποδειξετε οτι:
i)η f ειναι 1-1
ii)η f δεν ειναι γνησιως αυξουσα
iii)αν f(0)=1 τοτε ${f}^{-1}(0)=2$

2)Δινετε ο μιγαδικος αριθμος z τετοιος,ωστε $\left|z \right|-1$ και η συναρτηση f:R-->R με τυπο $f(x)=\left|z+xi \right|$ για καθε $x\in R$ . Nα αποδειξετε οτι:
i) $f(x)=\sqrt{{x}^{2}+2Im(z)+1}$ για καθε $x\in R$
ii)η f ειναι συνεχης
iii)Υπαρχει ${x}_{0}\epsilon\left(\alpha ,\beta \right)$ τετοιος,ωστε $f({x}_{0})=\frac{5}{2}$

3)Nα δειξετε οτι $1\leq \int_{0}^{1}\sqrt{{x}^{2}+1}dx\leq \sqrt{2}$

:thanks:

ledzeppelinick · 3 Μαΐου 2009 στις 20:42

αν τη λυσω να σ τη σκανναρω και να σ την στειλω? στο 2ο λες τετοιος ωστε |z-1|... ετσι σκετο??

maira_leo · 3 Μαΐου 2009 στις 21:02

εκανα μια διορθωση ειναι |z|-1

Ναιιιι αν μπορεις

ledzeppelinick · 3 Μαΐου 2009 στις 21:08

το |z|-1 μηπως ειναι ισο με κατι? γιατι ειναι λιγο φλου ετσι..
-----------------------------------------
και επισης τα α κ β του διαστηματος στο 2ο θεμα ειναι τυχαια ή το Re(z) k Im(z) αντιστοιχα???

maira_leo · 3 Μαΐου 2009 στις 21:23

Αρχική Δημοσίευση από ledzeppelinick:
το |z|-1 μηπως ειναι ισο με κατι? γιατι ειναι λιγο φλου ετσι..
-----------------------------------------
και επισης τα α κ β του διαστηματος στο 2ο θεμα ειναι τυχαια ή το Re(z) k Im(z) αντιστοιχα???

δεν διευκρινιζει κατι παραπανω:/ αυτα ακριβως γραφει.. παιζει να εχει και τυπογραφικο λαθος γτ ειχε κι αλλα το συγκεκριμενο φυλλαδιο και να εννοει |z|=1
δεν εχω ιδεα.. :'(

ledzeppelinick · 3 Μαΐου 2009 στις 21:26

οκ θα το δοκιμασω ετσι

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος