Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

PiDefiner · 30 Ιανουαρίου 2015

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Για την πρώτη πρέπει να εκμεταλλευτείς το ότι $\eta \mu x \neq 0$ . Για την δεύτερη δεν έχω το βιβλίο.

Αχα!

Άρα διαιρώ με το ημ^2(x) και δημιουργώ την παράγωγο f(x)/ημx. Ευχαριστώ :clapup:

Την άλλη θα την γράψω λίγο αργότερα αν έχω χρόνο ή θα την βγάλω φωτογραφία.

Edit:
Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις:
iv. $(f(x) + 2x)(f'(x) + 2) = 4x, x \in \Re, f(0) = 1$
v. $(e^x + f(x) + xf'(x))(e^x + xf(x)) = x, x \in (0, + \infty ), f(1)= \sqrt{2} - e$
Τις έχω λύσει και τις δύο, απλά δεν ξέρω πως να αποδείξω ότι η g που θέτω διατηρεί πρόσημο ώστε όταν βάζω ρίζα να παίρνω την μια λύση μόνο. Έκανα αυτό που έγραψα πιο πάνω για το πρώτο.

Navarro1996 · 30-01-15

Παιδια μεθαυριο γραφω διαγωνισμα στα μαθηματικα κατευθυνσης, στα κεφαλαιο μιγαδικων-συναρτησεων-οριων-συνεχειας..(δηλαδη σε ολα μεχρι της παραγωγους, αλλα ΧΩΡΙΣ παραγωγους)....θα ηθελα την βοηθεια σας στον τροπο με τον οποοιο θα διαβασω...δηλαδη τι να κανω? Να ξεκινησω να λυνω ασκησεις στους μιγαδικους, να βλεπω παραλληλα θεωρια και λοιπα ή να βλεπω παραδειγματα λυμενα? Ή και τα δυο??? Ειμαι λιγο μπερδεμενος για αυτο!!

nPb · 30-01-15

Αρχική Δημοσίευση από Navarro1996:
Παιδια μεθαυριο γραφω διαγωνισμα στα μαθηματικα κατευθυνσης, στα κεφαλαιο μιγαδικων-συναρτησεων-οριων-συνεχειας..(δηλαδη σε ολα μεχρι της παραγωγους, αλλα ΧΩΡΙΣ παραγωγους)....θα ηθελα την βοηθεια σας στον τροπο με τον οποοιο θα διαβασω...δηλαδη τι να κανω? Να ξεκινησω να λυνω ασκησεις στους μιγαδικους, να βλεπω παραλληλα θεωρια και λοιπα ή να βλεπω παραδειγματα λυμενα? Ή και τα δυο??? Ειμαι λιγο μπερδεμενος για αυτο!!

Έχεις να διαβάσεις δυο πράγματα:

α). Μιγαδικοί Αριθμοί

β). Στοιχεία Ανάλυσης: Συναρτήσεις, Όρια και Συνέχεια Συναρτήσεων

Θα πρέπει να επικεντρώσεις την προσοχή σου στη θεωρία, να καταλάβεις τι ακριβώς πρέπει να ξέρεις ώστε να καταλαβαίνεις τι λύνεις σε κάθε άσκηση. Πάρε χαρτί και μολύβι, σβήσε τον ΗΥ και ξεκίνα. Παράλληλα με τη θεωρία, να κάνεις γελοία παραδείγματα που να δείχνουν αν κατάλαβες τι διάβασες. Παράδειγμα: μαθαίνεις θεωρία για τον υπολογισμό ορίου καθώς το x τείνει στο άπειρο. Κάνε ένα δικό σου εύκολο παράδειγμα με απλή συνάρτηση της αρεσκείας σου. Μάθε να σχεδιάζεις και γραφικές παραστάσεις για τις βασικές συναρτήσεις: πολυωνυμικές, απόλυτη τιμή, εκθετική, τριγωνομετρικές,...βοηθάει στην κατανόηση οπτικά. Κατηγοριοποίησε τις περιπτώσεις ασκήσεων και μάθε τι κάνουμε και γιατί το κάνουμε (λογική σύνδεση με τη θεωρία).

Η συνταγή είναι μια: λύσιμο. Σταδιακά να ανεβαίνεις επίπεδο δυσκολίας. ΠΟΤΕ δεν βλέπουμε μαθηματικά, ΠΟΤΕ δεν βλέπουμε ασκήσεις με λύσεις έτοιμες. Αντιθέτως: κάνουμε μαθηματικά, κάνουμε ασκήσεις με το χέρι. Λύνουμε και ξαναλύνουμε.

Μάθε να κατανοείς τι κάνεις σε κάθε βήμα της λύσης. Μην υποτιμάς τις γνώσεις σου και ακόμη, αν αυτές οι γνώσεις που χρειάζονται αφορούν βασική άλγεβρα Γυμνασίου (π.χ. παραγοντοποιήσεις, απλές προσθαφαιρέσεις όρων κλπ).

eyb0ss · 30-01-15

Αρχική Δημοσίευση από PiDefiner:
Αχα! Άρα διαιρώ με το ημ^2(x) και δημιουργώ την παράγωγο f(x)/ημx. Ευχαριστώ

Την άλλη θα την γράψω λίγο αργότερα αν έχω χρόνο ή θα την βγάλω φωτογραφία.

Edit:
Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις:
iv. $(f(x) + 2x)(f'(x) + 2) = 4x, x \in \Re, f(0) = 1$
v. $(e^x + f(x) + xf'(x))(e^x + xf(x)) = x, x \in (0, + \infty ), f(1)= \sqrt{2} - e$
Τις έχω λύσει και τις δύο, απλά δεν ξέρω πως να αποδείξω ότι η g που θέτω διατηρεί πρόσημο ώστε όταν βάζω ρίζα να παίρνω την μια λύση μόνο. Έκανα αυτό που έγραψα πιο πάνω για το πρώτο.

Για το δεύτερο: Έστω $g(x)=e^x+xf(x)$ . Τότε έχουμε $g(x)g'(x)=x \Leftrightarrow (g^2(x))'=(x^2)' \Leftrightarrow g^2(x)=x^2+c$ . Επίσης $g(1)=\sqrt{2}$ άρα $g^2(1)=1+c \Leftrightarrow c=1$ άρα $g^2(x)=x^2+1 \Leftrightarrow |g(x)|=\sqrt{x^2+1}$ .
Έστω ότι $g(x_0)=0$ για κάποιο $x_0>0$ . Τότε $|g(x_0)|=0 \Leftrightarrow \sqrt{x_0^2+1}=0 \Leftrightarrow x_0^2+1=0 \Leftrightarrow x_0^2=-1<0$ πράγμα άτοπο. Άρα η $g$ δεν μηδενίζεται πουθενά και είναι συνεχής άρα διατηρεί πρόσημο το οποίο είναι θετικό επειδή $g(1)=\sqrt{2}>0$ .
Δηλαδή $|g(x)|=g(x)$ και $g(x)=\sqrt{x^2+1} \Leftrightarrow f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}-e^x}{x},x>0$ .
Έξτρα ερώτημα: Να υπολογίσεις το όριο $\lim_{x\to +\infty}f(x)$

PiDefiner · 30-01-15

Ευχαριστώ! Η απόδειξή μου για το 1ο είναι σωστή, δηλαδή;
Όσο για το όριο, δεν λύνεται με κανόνα De L' Hospital; Ρωτάω επειδή δεν το έχω κάνει ακόμα και απ' όσο θυμάμαι στα όρια δεν μπορούσαμε να λύσουμε το $\frac{e^x}{x}$ όταν πηγαίνει στο άπειρο, οπότε τσάμπα θα προσπαθώ. Εκτός αν πήρα λάθος δρόμο για να το λύσω (έσπασα το κλάσμα στο μείον και βρήκα το πρώτο όριο ίσο με 1)

eyb0ss · 30-01-15

Αρχική Δημοσίευση από PiDefiner:
Ευχαριστώ! Η απόδειξή μου για το 1ο είναι σωστή, δηλαδή;
Όσο για το όριο, δεν λύνεται με κανόνα De L' Hospital; Ρωτάω επειδή δεν το έχω κάνει ακόμα και απ' όσο θυμάμαι στα όρια δεν μπορούσαμε να λύσουμε το $\frac{e^x}{x}$ όταν πηγαίνει στο άπειρο, οπότε τσάμπα θα προσπαθώ. Εκτός αν πήρα λάθος δρόμο για να το λύσω (έσπασα το κλάσμα στο μείον και βρήκα το πρώτο όριο ίσο με 1)

Υπάρχει ένα προβληματάκι στο 1ο με τον τρόπο που το έκανες. Άλλο η εξίσωση $f(x)=-2x$ και άλλο η συνάρτηση $f(x)=-2x$ . Εσύ πήγες να το λύσεις σαν εξίσωση αρχικά και στη συνέχεια έβαλες όπου $x$ το $0$ σαν να ήταν συνάρτηση και χωρίς να ξέρεις αν ισχύει η ισότητα για το συγκεκριμένο $x$ .
Υπέθεσα ότι είχες κάνει De L' Hospital (είσαι απ' τους λίγους που γράφουν σωστά το όνομα του) δεδομένου ότι πολλοί το έχουν κάνει από Νοέμβρη-Δεκέμβρη.

PiDefiner · 30-01-15

Αρχική Δημοσίευση από mathguy1996:
Υπάρχει ένα προβληματάκι στο 1ο με τον τρόπο που το έκανες. Άλλο η εξίσωση $f(x)=-2x$ και άλλο η συνάρτηση $f(x)=-2x$ . Εσύ πήγες να το λύσεις σαν εξίσωση αρχικά και στη συνέχεια έβαλες όπου $x$ το $0$ σαν να ήταν συνάρτηση και χωρίς να ξέρεις αν ισχύει η ισότητα για το συγκεκριμένο $x$ .
Υπέθεσα ότι είχες κάνει De L' Hospital (είσαι απ' τους λίγους που γράφουν σωστά το όνομα του) δεδομένου ότι πολλοί το έχουν κάνει από Νοέμβρη-Δεκέμβρη.

Ναι, το φαντάστηκα ότι έκανα καποια τέτοια γκάφα, τα κάνω κάτι τέτοια συχνά (και τις περισσότερες φορές το υποψιάζομαι, αλλά δεν το καταλαβαίνω - όπως τώρα). :whistle:

Εννοείς ότι Νοέμβρη-Δεκέμβρη έχουν φτάσει De L' Hospital στην ύλη(!) ή ότι το κάνουν μαζί με τα όρια και όχι στη σειρά του; Επειδή και οι υπόλοιποι συμμαθητές μου που πηγαίνουν σε άλλα φροντιστήρια δεν το έχουν κάνει (πλην αυτών που άρχισαν μαθήματα από Ιούλη), αν και πλησιάζει η ώρα του.
Όσο για το όνομα, δεν είναι ότι το ήξερα, απλά μπήκα στον κόπο να το κοιτάξω. Γενικά δεν είναι ωραίο να γράφεις λάθος ονόματα

Guest 190013 · 02-02-15

Καμιά ιδέα για αυτά τα 2;

Στο δεύτερο έχω καταλήξει στις σχέσεις:

f(x0)=f'(x0)
f(x)>=1
f'(x)>=0

eyb0ss · 2 Φεβρουαρίου 2015

Αρχική Δημοσίευση από klean:
Καμιά ιδέα για αυτά τα 2;

Στο δεύτερο έχω καταλήξει στις σχέσεις:

f(x0)=f'(x0)
f(x)>=1
f'(x)>=0

Για το πρώτο:Έχουμε $a\leq f(x)\leq b$ για κάθε $x\in [a,b]$ και υποθέτουμε ότι η $f$ είναι συνεχής.
Έστω $g(x)=f(x)-x, x\in [a,b]$ . Τότε $g(a)g(b)\leq 0$ .
Αναλύοντας τις δύο περιπτώσεις καταλήγουμε στο ότι υπάρχει $x_0\in[a,b]$ τέτοιο ώστε $f(x_0)=x_0 \Rightarrow f(f(x_0))=f(x_0)$ άτοπο διότι $f(f(x))>f(x)$ . Άρα η $f$ δεν είναι συνεχής.

Και για το δεύτερο: Η εξίσωση εφαπτομένης στο $x_0$ είναι $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$ . Βάζεις όπου $y$ το $2f(x_0)$ και όπου $x$ το $x_0+1$ και το πρόβλημα ανάγεται στο να δείξεις ότι υπάρχει $x_0\in [0,1]$ τέτοιο ώστε $f(x_0)=f'(x_0)$ :whistle:

.
Δοκίμασε να το συνεχίσεις μόνος σου. Ή δες τα spoiler με δική σου ευθύνη.

Τι μπορείς να βρεις χρησιμοποιώντας τη μονοτονία και το σύνολο τιμών;

$f(0)=1, f(1)=e$

Αντιπαραγώγισε την $f(x)=f'(x)$

.

Guest 856924 · 02-02-15

δε καταλαβαινω την ασκηση 4 σχολ. βιβλ. σελ 277

Fedde le Grand · 04-02-15

Παιδιά αναρωτιέμαι μήπως έχει κάποιος κανένα αρχείο με διάφορα ενδιαφέροντα θεωρήματα τα οποία δεν υπάρχουν στο βιβλίο και θέλουν απόδειξη(Μαζί με την απόδειξη τους). Ποτέ δεν ξες, μπορεί να αποβούν σωτήρια...

Vold · 04-02-15

Νομίζω δεν επιτρέπεται να χρησιμοποιήσεις γνώσεις μη λυκείου.

rebel · 04-02-15

Αρχική Δημοσίευση από Fedde le Grand:
Παιδιά αναρωτιέμαι μήπως έχει κάποιος κανένα αρχείο με διάφορα ενδιαφέροντα θεωρήματα τα οποία δεν υπάρχουν στο βιβλίο και θέλουν απόδειξη(Μαζί με την απόδειξη τους). Ποτέ δεν ξες, μπορεί να αποβούν σωτήρια...

https://ischool.e-steki.gr/showthread.php?t=144736

PiDefiner · 6 Φεβρουαρίου 2015

Αν έχω μια σχέση της μορφής g(P(x))=f(Q(x)) (P(x) και Q(x) πολυώνυμα) και γνωρίζω πως η f είναι παραγωγίσιμη στο R, μπορώ να συμπεράνω πως το π.ο της είναι το R; Και κατά συνέπεια ότι και το π.ο της g θα είναι το R, αφού είναι και αυτή παραγωγίσιμη στο R από τη σχέση;

Edit: Βάζω και μια άκσηση που προσπαθώ να λύσω από το μεσημεράκι. Την έχω φτάσει σε "καλό" σημείο, αλλά θέλω μερικές διευκρινίσεις. Λέει, λοιπόν:
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: \Re \rightarrow \Re, f(0)>0$ για την οποία ισχύει $\frac{f^2(x)}{4} - x^2 = 1$ για κάθε $x \in \Re$ . Να δείξετε ότι η ευθεία $\varepsilon: y=\sqrt{2}x + \sqrt{2}$ εφάπτεται της Cf.
Έχω βγάλει πως $f^2(x) - 4x^2 = 4$ και $f'(x)f(x)=4x$ και $f'(x0)=\sqrt{2}$ αν $(x0,f(x0))$ το σημείο επαφής της εφαπτομένης (ή των εφαπτομένων) με συντελεστή διεύθυνσης $\sqrt{2}$ . Από αυτές τις σχέσεις έβγαλα για $x=x0, f(x0)= 2\sqrt{2}x0$ άρα από την εξίσωση της εφαπτομένης αντικαθιστώντας παίρνουμε $y=\sqrt{2}x+\sqrt{2}x0$ . Αυτό δεν σημαίνει πως για τις διάφορες τιμές του x0 η εφαπτομένη είναι αυτής της μορφή, άρα για x0=1 η εφαπτομένη είναι η ζητούμενη; Κάνω κάποιο λάθος στη διαδικασία; :confused:

Επειδή το δεδομένο f(0)>0 δεν το χρησιμοποιώ πουθενά. Ξέρω πως βοηθάει στο να ξέρεις ότι f(0)=2, αλλά δεν μου χρειάστηκε πουθενά.

rebel · 07-02-15

Σωστό φαίνεται απλώς αξιοποιώντας το δεδομένο $f(0)>0$ μπορείς να συμπεράνεις, λόγω του ότι $f$ συνεχής και $f(x) \neq 0$ , ότι $f(x)=2 \sqrt{x^2+1}$ και $f'(x)=2x/\sqrt{x^2+1}$ οπότε απαιτώντας $f'(x_0)=\sqrt{2}$ βρίσκεις $x_0=1$ και επαληθεύεις ότι $f(1)=\sqrt{2}\cdot 1+\sqrt{2}$ άρα η ευθεία εφάπτεται στο $\left(1,f\left(1\right)\right)$

PiDefiner · 07-02-15

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Σωστό φαίνεται απλώς αξιοποιώντας το δεδομένο $f(0)>0$ μπορείς να συμπεράνεις, λόγω του ότι $f$ συνεχής και $f(x) \neq 0$ , ότι $f(x)=2 \sqrt{x^2+1}$ και $f'(x)=2x/\sqrt{x^2+1}$ οπότε απαιτώντας $f'(x_0)=\sqrt{2}$ βρίσκεις $x_0=1$ και επαληθεύεις ότι $f(1)=\sqrt{2}\cdot 1+\sqrt{2}$ άρα η ευθεία εφάπτεται στο $\left(1,f\left(1\right)\right)$

Το σκέφτηκα ότι είναι για να βρεις τον τύπο της f, αλλά μας είπε να σημειώσουμε πως δεν πρέπει να λύσουμε ως προς f(x) και ότι θα παραγωγίσουμε τη σχέση όπως είναι. Επίσης, μπορείς να εξηγήσεις πως δείχνεις ότι $f(x) \neq 0$ ;

rebel · 07-02-15

Αν το είπε ο καθηγητής έτσι τότε πάσο, δεν ξέρω που αλλού μπορεί να χρησιμεύσει το $f(0)>0$ . Για το άλλο που ρωτάς είναι $f^2(x)=4x^2+4 \neq 0$ άρα και $f(x) \neq 0,\,\,x \in \mathbb{R}.$

Guest 018946 · 09-02-15

Τι θα πει δεν μας αφήνει να βρούμε τον τύπο ;
Μαθηματικά κάνουμε οπως γουσταρουμε πάμε στο ζητούμενο .

PiDefiner · 13 Φεβρουαρίου 2015

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Τι θα πει δεν μας αφήνει να βρούμε τον τύπο ;
Μαθηματικά κάνουμε οπως γουσταρουμε πάμε στο ζητούμενο .

Ήταν περισσότερο σαν συμβουλή, όχι σαν απαγόρευση, αλλά απ' ότι φαίνεται και η ίδια έκανε λάθος. Την ρώτησα σχετικά με τη λύση μου και είπε πως δεν είναι τελείως σωστή, γιατί θεωρώ ότι το f'(x0) υπάρχει και είναι ρίζα 2 για να λύσω την άσκηση, ενώ στην αρχή το παίρνω ως προϋπόθεση.

Επίσης, έχω μια άλλη απορία. Διαβάζω τις ασκήσεις του Μπάρλα για μονοτονία και βλέπω πως βγάζει παράγωγο την ημx-1 και λέει επακριβώς: "Η f' μηδενίζει σε μεμονωμένα σημεία, άρα f αύξουσα". Δεν μπορώ να καταλάβω πως βγάζει τέτοιο συμπέρασμα. Ναι, μηδενίζει σε συγκεκριμένα σημεία για κάθε διαφορετικό κ, αλλά τι σχέση έχει αυτό με το πρόσημό της; Σε μια άσκηση βγάζω παράγωγο x(ημx-1), πως ακριβώς το εξηγώ;

Filippos14 · 13 Φεβρουαρίου 2015

Αρχική Δημοσίευση από PiDefiner:
Ήταν περισσότερο σαν συμβουλή, όχι σαν απαγόρευση, αλλά απ' ότι φαίνεται και η ίδια έκανε λάθος. Την ρώτησα σχετικά με τη λύση μου και είπε πως δεν είναι τελείως σωστή, γιατί θεωρώ ότι το f'(x0) υπάρχει και είναι ρίζα 2 για να λύσω την άσκηση, ενώ στην αρχή το παίρνω ως προϋπόθεση.

Επίσης, έχω μια άλλη απορία. Διαβάζω τις ασκήσεις του Μπάρλα για μονοτονία και βλέπω πως βγάζει παράγωγο την ημx-1 και λέει επακριβώς: "Η f' μηδενίζει σε μεμονωμένα σημεία, άρα f αύξουσα". Δεν μπορώ να καταλάβω πως βγάζει τέτοιο συμπέρασμα. Ναι, μηδενίζει σε συγκεκριμένα σημεία για κάθε διαφορετικό κ, αλλά τι σχέση έχει αυτό με το πρόσημό της; Σε μια άσκηση βγάζω παράγωγο x(ημx-1), πως ακριβώς το εξηγώ;

Ξερω γω ρε παιδι μου λεει οτι αν οι ριζες της φ' δεν δημιουργουν διαστημα τοτε δεν σου επηρεαζουν την μονοτονια.Αν η φ' μηδενιζοταν σε σημεια που δημιουργουσαν διαστημα,το προσημο της δεν θα ηταν αρκετο για να πεις οτι ειναι αυξουσα η φ.
Διαβασε την θεωρια του στην μονοτονια,ειμαι σιγουρος οτι το λεει καπου.

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Guest 190013

Επισκέπτης

Συνημμένα

Δραστήριο μέλος

Guest 856924

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος