Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[rebel]

Αλλιώς για τον υπολογισμό του ορίου για είναι


για . Άρα

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[φρι]

Δε καταλαβα πως βγηκε το θ=π/3

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Aris90]

Μια βοηθεια σε αυτη την ασκηση?

Για τη συναρτηση f ισχυουν:
ι)ειναι δυο φορες παραγωγισιμη στο R
ιι)ειναι περιττη
ιιι)Η κλιση της στο σημειο χο=-1 ειναι -2
ν.δ.ο
ειναι δυο φορες παραγωγισιμη στο R να βρειτε τον αριθμο g''(0)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Δε καταλαβα πως βγηκε το θ=π/3

Είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης L=0 στο διάστημα (0,π/2). Για τις διάφορες τιμές του θ στο (0,π/2) ψάχνουμε το πρόσημο της παράστασης L=2(2συνθ-1)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[φρι]

Μια βοηθεια σε αυτη την ασκηση?

Για τη συναρτηση f ισχυουν:
ι)ειναι δυο φορες παραγωγισιμη στο R
ιι)ειναι περιττη
ιιι)Η κλιση της στο σημειο χο=-1 ειναι -2
ν.δ.ο
ειναι δυο φορες παραγωγισιμη στο R να βρειτε τον αριθμο g''(0)

Δεν ειναι δυσκολη ασκησουλα...προσπαθησε την κ οπου κολλας πες....

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Aris90]

οταν λεει για την κλιση της και οτι ειαι αρτια τι συμπερενουμε?
και γενικα πως ξεκιναμε και τι κανουμε?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[rebel]

Μιας και σου δίνει ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, ένα πρώτο βήμα είναι να βρεις την .

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[φρι]

οταν λεει για την κλιση της και οτι ειαι αρτια τι συμπερενουμε?
και γενικα πως ξεκιναμε και τι κανουμε?

Καταρχην,περιττη λεει. Δηλαδη ισχυει f(-x)=-f(x)

Οταν λεει κλιση εννοει τη παραγωγο της f. Δηλαδη,ισχυει f'(-1)=-2
Και,εφοσον ειναι δυο φορες παρ/μη η f,τοτε μπορεις να παραγωγισεις και τα δυο μελη της εξισωσης 2 φορες!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[φρι]

φιξντ

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Aris90]

η συναρτηση g ειναι δυο φορες παραγωγισιμη στο Rκαι ισχυει: g(-1)=7 ν.δ.ο η συναρτηση f(x)=3(x-2)²g(2x-5)
ειναι δυο φορες παραγωγισιμη στο R και να βρειτε την κλιση της f' στο χο=2

παιδια θα ηθελα μια αναλυτικη απαντηση απο αυτη την ασκηση ευχαριστω εκ των προτερων

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[φρι]

η συναρτηση g ειναι δυο φορες παραγωγισιμη στο Rκαι ισχυει: g(-1)=7 ν.δ.ο η συναρτηση f(x)=3(x-2)²g(2x-5)
ειναι δυο φορες παραγωγισιμη στο R και να βρειτε την κλιση της f' στο χο=2

παιδια θα ηθελα μια αναλυτικη απαντηση απο αυτη την ασκηση ευχαριστω εκ των προτερων

Σου ζηταει,δηλαδη το f"(2) .
Παρε την σχεση που σου δινει,παραγωγισε την 2 φορες και βαλε οπου χ το 2 . Θα βγαλει αποτελεσμα( το εκανα γρηγορα,κ δν ειμαι σιγουρη) 42.


υγ.καποιος να βοηθησει για το πως αποδεικνυουμε οτι ειναι 2 φορες παρ/μη;; ορια ή επειδη το f''(2) ειναι πραγματικος αριθμος αποδειχτηκε;;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

η συναρτηση g ειναι δυο φορες παραγωγισιμη στο Rκαι ισχυει: g(-1)=7 ν.δ.ο η συναρτηση f(x)=3(x-2)²g(2x-5)
ειναι δυο φορες παραγωγισιμη στο R και να βρειτε την κλιση της f' στο χο=2

παιδια θα ηθελα μια αναλυτικη απαντηση απο αυτη την ασκηση ευχαριστω εκ των προτερων

Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=2x-5 με πεδίο ορισμού το Dh=R. Η h ως πολυωνυμική είναι ν φορές παραγωγίσιμη στο R (ν θετικός ακέραιος). Στη συνέχεια υπολογίζονται οι παράγωγοι 1ης και 2ης τάξης της h.
h΄(x)=2
h΄΄(x)=(h΄(x))΄=0.

Το πεδίο τιμών της h είναι το h(Dh)=R (ευθεία γραμμή).

Θεωρούμε την σύνθεση (goh)(x)=g(h(x))=g(2x-5). Από την εκφώνηση δίνεται ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο R οπότε Dg=R. Η goh ορίζεται όταν x ανήκει Dh=R και h(x) ανήκει Dg=R, οπότε Dgoh=R. Άρα (goh)(x)=g(h(x))=g(2x-5) για κάθε x ανήκει R. Επειδή η h είναι παραγωγίσιμη στο Dh=R και η g είναι παραγωγίσιμη στο h(Dh)=R τότε η goh είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει:

(goh)΄(x)=g΄(h(x))h΄(x)=2g΄(2x-5)

Επειδή η h είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο Dh=R και η g είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο h(Dh)=R τότε και η goh είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο R με δεύτερη παράγωγο:

(goh)΄΄(x)=(g΄(h(x))h΄(x))΄=(g΄(h(x)))΄h΄(x)+g΄(h(x))(h΄(x))΄=g΄΄(h(x))h΄(x)h΄(x)+g΄(h(x))h΄΄(x)
(goh)΄΄(x)=g΄΄(h(x))[h΄(x)^2]+g΄(h(x))h΄΄(x)
(goh)΄΄(x)=4g΄΄(2x-5)

Θεωρούμε τη συνάρτηση φ(x)=3((x-2)^2)=3((x^2)-4x+4)=3(x^2)-12x+12 με πεδίο ορισμού το Dφ=R. Η φ ως πολυωνυμική είναι ν φορές παραγωγίσιμη στο R (ν θετικός ακέραιος). Υπολογίζοντια οι παράγωγοι 1ης και 2ης τάξης της φ:

φ΄(x)=6x-12=6(x-2)
φ΄΄(x)=6

Η f γράφεται ισοδύναμα στη μορφή f(x)=φ(x)(goh)(x), x ανήκει R

Επειδή οι φ και goh είναι παραγωγίσιμες στο R τότε και η f ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:

f΄(x)=φ΄(x)(goh)(x)+φ(x)(goh)΄(x)
f΄(x)=6(x-2)g(2x-5)+6((x-2)^2)g΄(2x-5)

Η πρώτη παράγωγος f΄ είναι παραγωγίσιμη στο R ως άθροισμα 2 γινομένων παραγωγίσιμων στο R συναρτήσεων. Επομένως η f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο R με 2η παράγωγο:

f΄΄(x)=6g(2x-5)+12(x-2)g΄(2x-5)+12(x-2)g΄(2x-5)+12((x-2)^2)g΄΄(2x-5)
f΄΄(x)=12((x-2)^2)g΄΄(2x-5)+24(x-2)g΄(2x-5)+6g(2x-5)

Για x=2 έχουμε

f(2)=0
f΄(2)=0
f΄΄(2)=6g(-1)=6*7=42

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[φρι]

Spoiler

Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=2x-5 με πεδίο ορισμού το Dh=R. Η h ως πολυωνυμική είναι ν φορές παραγωγίσιμη στο R (ν θετικός ακέραιος). Στη συνέχεια υπολογίζονται οι παράγωγοι 1ης και 2ης τάξης της h.
h΄(x)=2
h΄΄(x)=(h΄(x))΄=0.

Το πεδίο τιμών της h είναι το h(Dh)=R (ευθεία γραμμή).

Θεωρούμε την σύνθεση (goh)(x)=g(h(x))=g(2x-5). Από την εκφώνηση δίνεται ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο R οπότε Dg=R. Η goh ορίζεται όταν x ανήκει Dh=R και h(x) ανήκει Dg=R, οπότε Dgoh=R. Άρα (goh)(x)=g(h(x))=g(2x-5) για κάθε x ανήκει R. Επειδή η h είναι παραγωγίσιμη στο Dh=R και η g είναι παραγωγίσιμη στο h(Dh)=R τότε η goh είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει:

(goh)΄(x)=g΄(h(x))h΄(x)=2g΄(2x-5)

Επειδή η h είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο Dh=R και η g είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο h(Dh)=R τότε και η goh είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο R με δεύτερη παράγωγο:

(goh)΄΄(x)=(g΄(h(x))h΄(x))΄=(g΄(h(x)))΄h΄(x)+g΄(h(x))(h΄(x))΄=g΄΄(h(x))h΄(x)h΄(x)+g΄(h(x))h΄΄(x)
(goh)΄΄(x)=g΄΄(h(x))[h΄(x)^2]+g΄(h(x))h΄΄(x)
(goh)΄΄(x)=4g΄΄(2x-5)

Θεωρούμε τη συνάρτηση φ(x)=3((x-2)^2)=3((x^2)-4x+4)=3(x^2)-12x+12 με πεδίο ορισμού το Dφ=R. Η φ ως πολυωνυμική είναι ν φορές παραγωγίσιμη στο R (ν θετικός ακέραιος). Υπολογίζοντια οι παράγωγοι 1ης και 2ης τάξης της φ:

φ΄(x)=6x-12=6(x-2)
φ΄΄(x)=6

Η f γράφεται ισοδύναμα στη μορφή f(x)=φ(x)(goh)(x), x ανήκει R

Επειδή οι φ και goh είναι παραγωγίσιμες στο R τότε και η f ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:

f΄(x)=φ΄(x)(goh)(x)+φ(x)(goh)΄(x)
f΄(x)=6(x-2)g(2x-5)+6((x-2)^2)g΄(2x-5)

Η πρώτη παράγωγος f΄ είναι παραγωγίσιμη στο R ως άθροισμα 2 γινομένων παραγωγίσιμων στο R συναρτήσεων. Επομένως η f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο R με 2η παράγωγο:

f΄΄(x)=6g(2x-5)+12(x-2)g΄(2x-5)+12(x-2)g΄(2x-5)+12((x-2)^2)g΄΄(2x-5)
f΄΄(x)=12((x-2)^2)g΄΄(2x-5)+24(x-2)g΄(2x-5)+6g(2x-5)

Για x=2 έχουμε

f(2)=0
f΄(2)=0
f΄΄(2)=6g(-1)=6*7=42

μου κάνεις πλάκα; πρεπει να κανω ολο αυτο για να αποδείξω οτι ειναι 2 φορες παρ/μη;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Aris90]

Σου ζηταει,δηλαδη το f"(2) .
Παρε την σχεση που σου δινει,παραγωγισε την 2 φορες και βαλε οπου χ το 2 . Θα βγαλει αποτελεσμα( το εκανα γρηγορα,κ δν ειμαι σιγουρη) 42.


υγ.καποιος να βοηθησει για το πως αποδεικνυουμε οτι ειναι 2 φορες παρ/μη;; ορια ή επειδη το f''(2) ειναι πραγματικος αριθμος αποδειχτηκε;;

ευχαριστω για την απατντηση και για αυτη την ασκηση αλλα και για την προηγουμενη που τελικα καταφερα να τη λυσω

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[φρι]

εστω οι f,g γνησιως αυξουσες στο R.
Ν.Α.Ο oι gof ,g+f ειναι αυξουσες
2) αν f(3)=0 τότε ν.λυσετε την εξισωση f (2x-1) = -f(x+1)
3) ν λυσετε την ανισωση f(2e^x -1) +f (e^x +1) <
το 1ο ερωτημα το εχω κανει.
για το δευτερο παρατηρησα οτι η χ=2 ειναι προφανης ριζα ,που ειναι και μοναδικη γτ η f ως αυξουσα ειναι και 1-1
για το 3 παρα τηρω οτι το ln2 ειναι ριζα αλλα πως το αποδεικνυω;;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

μου κάνεις πλάκα; πρεπει να κανω ολο αυτο για να αποδείξω οτι ειναι 2 φορες παρ/μη;

Oh yeah!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

εστω οι f,g γνησιως αυξουσες στο R.
Ν.Α.Ο oι gof ,g+f ειναι αυξουσες
2) αν f(3)=0 τότε ν.λυσετε την εξισωση f (2x-1) = -f(x+1)
3) ν λυσετε την ανισωση f(2e^x -1) +f (e^x +1) <
το 1ο ερωτημα το εχω κανει.
για το δευτερο παρατηρησα οτι η χ=2 ειναι προφανης ριζα ,που ειναι και μοναδικη γτ η f ως αυξουσα ειναι και 1-1
για το 3 παρα τηρω οτι το ln2 ειναι ριζα αλλα πως το αποδεικνυω;;

Θα γίνει χρήση της πρότασης "Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ τότε για κάθε x1, x2 στο Δ ισχύει η ισοδυναμία x1<x2 <=> f(x1)<f(x2)" (έχει αποδειχθεί σε προηγούμενα posts)

2)
Για x>2 έχουμε:
x>2 <=> 2x>4 <=> 2x-1>3 <=> f(2x-1)>f(3) (f γνησίως αύξουσα) <=> f(2x-1)>0
x>2 <=> x+1>3 <=> f(x+1)>f(3) (f γνησίως αύξουσα) <=> f(x+1)>0
Άρα για x>2 ισχύει f(2x-1)>0 και f(x+1)>0
Προσθέτοντας κατά μέλη τις 2 τελευταίες ανισότητες προκύπτει ότι f(2x-1)+f(x+1)>0 <=> f(2x-1)>-f(x+1) για x>2

Για x<2 έχουμε:
x<2 <=> 2x<4 <=> 2x-1 <=> f(2x-1)<f(3) (f γνησίως αύξουσα) <=> f(2x-1)<0
x<2 <=> x+1 <=> f(x+1)<f(3) (f γνησίως αύξουσα) <=> f(x+1)<0
Άρα για x<2 ισχύει f(2x-1)<0 και f(x+1)<0
Προσθέτοντας κατά μέλη τις 2 τελευταίες ανισότητες προκύπτει ότι f(2x-1)+f(x+1)<0 <=> f(2x-1)<-f(x+1) για x<2

Επομένως για x διάφορο 2 ισχύει f(2x-1) διάφορο -f(x+1)
Για x=2 παρατηρούμε ότι η εξίσωση ικανοποιείται που είναι και η μοναδική λύση της εξίσωσης

3)

Για x>ln2 έχουμε:
x>ln2 <=> e^x>2 <=> 2(e^x)>4 <=> 2(e^x)-1>3 <=> f(2(e^x)-1)>f(3) (f γνησίως αύξουσα) <=> f(2(e^x)-1)>0
x>ln2 <=> e^x>2 <=> (e^x)+1>3 <=> f((e^x)+1)>f(3) (f γνησίως αύξουσα) <=> f((e^x)+1)>0
Άρα για x>2 ισχύει f(2(e^x)-1)>0 και f((e^x)+1)>0
Προσθέτοντας κατά μέλη τις 2 τελευταίες ανισότητες προκύπτει ότι f(2(e^x)-1)+f((e^x)+1)>0 x>ln2

Για x<ln2 έχουμε:
x<ln2 <=> e^x<2 <=> 2(e^x)<4 <=> 2(e^x)-1 <=> f(2(e^x)-1)<f(3) (f γνησίως αύξουσα) <=> f(2(e^x)-1)<0
x<ln2 <=> e^x<2 <=> (e^x)+1 <=> f((e^x)+1)<f(3) (f γνησίως αύξουσα) <=> f((e^x)+1)<0
Άρα για x<ln2 ισχύει f(2(e^x)-1)<0 και f((e^x)+1)<0
Προσθέτοντας κατά μέλη τις 2 τελευταίες ανισότητες προκύπτει ότι f(2(e^x)-1)+f((e^x)+1)<0 για x<ln2

Για x=ln2 παρατηρούμε ότι ισχύει f(2(e^x)-1)+f((e^x)+1)=0.

Επομένως ισχύει f(2(e^x)-1)+f((e^x)+1)<0 για x<ln2

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Aris90]

η συναρτηση g ειναι δυο φορες παραγωγισιμη στο Rκαι ισχυει: g(-1)=7 ν.δ.ο η συναρτηση f(x)=3(x-2)²g(2x-5)
ειναι δυο φορες παραγωγισιμη στο R και να βρειτε την κλιση της f' στο χο=2

παιδια θα ηθελα μια αναλυτικη απαντηση απο αυτη την ασκηση ευχαριστω εκ των προτερων

μπορει καποιος να μου παραγωγισει αναλυτικα δυο φορες αυτη τη σχεση f(χ) γιατι εχω μπερδευτει

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[φρι]

μπορει καποιος να μου παραγωγισει αναλυτικα δυο φορες αυτη τη σχεση f(χ) γιατι εχω μπερδευτει

f'(x)= 3 [(x-2)²g(2x-5)] ' <=>
f'(x)= 3 [2(x-2)(x-2)'g(2x-5) + (x-2)²g'(2x-5) (2x-5)' ]
f'(x)= 3 [ 2(x-2)g(2x-5) + (x-2)²g'(2x-5)2]
f'(x)= 3 [ (2x-4)g(2x-5) + 2(x-2)²g(2x-5) ]

ξανα παραγωγιζω την f και έχουμε

f''(x) = 3 [ (2x-4)g(2x-5) + 2(x-2)²g(2x-5)]'
f''(x)= 3 [ (2x-4)'g(2x-5) + (2x-4)g'(2x-5)(2x-5)' + 2 2(x-2)(x-2)'g(2x-5) + 2(x-2)²g''(2x-5)(2x-5)']
f''(x)= 3 [ 2g(2x-5) + 2(2x-4)g(2x-5) + 4(x-2)g(2x-5) + 4(x-2)² g''(2x-5)]
για χ=2 εχουμε..

f''(2)= 3(2g(-1)]
f"(2)= 6 *7 = 42

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Frwws]

f(x)=3(x-2)²g(2x-5)
f'(x)=[3(x-2)²g(2x-5)]'=[3(x-2)²]'g(2x-5) + [g(2x-5)]'3(x-2)²=3x2(x-2)g(2x-5) + g'(2x-5)2x3(x-2)²=6(x-2)g(2x-5) +6g'(2x-5)(x-2)²
Άρα f'(x)=6(x-2)g(2x-5) +6g'(2x-5)(x-2)²
και
f''(x)=6(x-2)'g(2x-5) + [g(2x-5)]'6(x-2) +6[g'(2x-5)]'(x-2)² +6g'(2x-5)(x-2)²
=6g(2x-5) + g'(2x-5)2x6(x-2) +6g''(2x-5)x2(x-2)²+ 6g'(2x-5)x2(x-2)
=6g(2x-5) +12g'(2x-5)(x-2) + 12g''(2x-5)(x-2)² +12g'(2x-5)(x-2)
Άρα f''(x)=6g(2x-5) +12g'(2x-5)(x-2) + 12g''(2x-5)(x-2)² +12g'(2x-5)(x-2)
Ελπίζω να μήν μου ξέφυγε τίποτα!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.