Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[φρι]

Δείτε τη λύση παραπάνω. Λύσεις είναι όλες οι συναρτήσεις της μορφής f(x)=c*(x^(1/2)) όπου x>1 και c πραγματική σταθερά. Η συνάρτηση f(x)=0 είναι μία από τις λύσεις και προκύπτει για c=0.

δε τη καταλαβαινω..

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

δε τη καταλαβαινω..

Είναι πολύ δύσκολη για να πέσει στις πανελλήνιες εξετάσεις. Διάβασέ την ξανά προσεκτικά και ό,τι δεν καταλαβαίνεις στείλε pm.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[φρι]

τα SQRT τι ειναι;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

τα SQRT τι ειναι;

Τετραγωνική ρίζα (square root)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest 845212]

Οντως παιδια το ειχα πει οτι θεωρειτε πολυ δυσκολη. Δεν πιστευω οτι υπαρχει πειρπτωση να πεσει τετοιου τυπου ασκηση στις πανελληνιες εξετασεις. Ευχαριστω Γιωργο για την ωρα που αφιερωσες στην επιλυση της. Η αληθεια ειναι οτι δεν καταλαβαινω -αν και δεν την εχω διαβασει πολυ προσεχτικα την λυση ομολογω ειμαι και καπως κουρασμενος- την λογικη με την οποια καποιος σκεφτεται αυτα τα βηματα (πχ γιατι εθεσες χy=u?).

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Οντως παιδια το ειχα πει οτι θεωρειτε πολυ δυσκολη. Δεν πιστευω οτι υπαρχει πειρπτωση να πεσει τετοιου τυπου ασκηση στις πανελληνιες εξετασεις. Ευχαριστω Γιωργο για την ωρα που αφιερωσες στην επιλυση της. Η αληθεια ειναι οτι δεν καταλαβαινω -αν και δεν την εχω διαβασει πολυ προσεχτικα την λυση ομολογω ειμαι και καπως κουρασμενος- την λογικη με την οποια καποιος σκεφτεται αυτα τα βηματα (πχ γιατι εθεσες χy=u?).

Δεν κάνει τίποτα 8)

Έθεσα u=xy για να βρω το όριο lim(y->1+)f(xy)

Είναι το όριο σύνθετης συνάρτησης. Αν θέσουμε u=g(x) και lim(x->x0)g(x)=u0 (x0,u0 πραγματικοί αριθμοί ή +-άπειρο) τότε lim(x->x0)f(g(x))=lim(u->u0)f(u).

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[mary-blackrose]

1)f(x)=2(e^x)+(x^2)-2x
i)ν.δ.ο f' γνησιως αυξουσα
ιι)ν.δ.ο f'(0)=0
ιιι)να βρεθουν τα διαστηματα μονοτονιας της f.

2)i)να λυθει η εξισωση lnx+2x=2
ii)να μελετηθει ως προς τη μονοτονια η συναρτηση f(x)=(2x-lnx) / ( 2 ριζα χ )
iii)για καθε χ>1,ν.δ.ο ln(ριζα χ)< χ- ριζα χ

3)αν f δυο φορες παραγωγισιμη στο R ,n cf εφαπτεται στον χ'χ στο χο=1 και ισχυει f''(x)<0 για καθε χ ε R,ν.δ.ο f(x)<0 για καθε χ διαφορο του 1.

4)ν.δ.ο η εξισωση χ+συνχ=0 δεν εχει καμια θετικη ριζα.
5)αν 2g'(x)+xg''(x) διαφορο του 0 στο R ,ν.δ.ο η συναρτηση g(x)+xg'(x) εχει το πολυ μια πραγματικη ριζα.



υ.γ στη ασκηση 1 στο πρωτο ερωτημα σκεφτηκα να βρω την f'(χ)=2(e^x)+2x-2 , μετα την f''(x)=2(e^x)+2 και μετα f''(x)=0 =>2(e^x)+2=0 =>2(e^x)=-2 =>e^x = -2/2 => e^x=-1 => lne^x=-ln1 => x=0
στο 2ο ερωτημα (μου φαινεται απλο αλλα νομιζω πως δεν ειναι) ειπα f'(0)=2(e^0)+2 επι 0 - 2 => f'(0)=0
για το 3ο ερωτημα νομιζω πως η f ειναι γνησιως αυξουσα στο(0,+00)

για την 2η ασκηση το 1ο ερωτημα σκεφτηκα:
αρκει g(x)=0.ειναι g(1)=0. για καθε χ >0 g'(x)=(1/x)+2 >0 αρα f γνησιως αυξουσα στο (0,+00) οποτε η f 1-1.
g(x)=0 <=> g(x)=g(1) <=> x=1
και αν αναφερθω και στο προσημο-(δεν μου το ζηταει)) χ>χο <=> g(x)>g(1) <=> g(x)>0 (μη αρνητικη ) αρα g γνησιως αυξουσα στο (1,+00)
χ<χο <=> g(x)<g(1) <=> g(x(<0 (αρνητικη) αρα g γνησιως αυξουσα στο (0,1).
στο δευτερο ερωτημα προσπαθησα να βρω την πρωτη παραγωγο αλλα μου βγαινει ενα ''μακρυναρι''

στη 3η ασκηση σκεφτηκα οτι αφου f''(x) <0 τοτε f'(x) γνησιως φθινουσα ,αρα f'(x) εχει το πολυ μια λυση ,επομενως f'(ξ)=0 και το ξ ειναι μοναδικο.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Giannis721]

Αρχικά πριν αρχίσεις να γράφεις μαθηματικούς τύπους βάζε [ latex ] και μόλις τελειώνει η σχέση βάζε [/ latex](χωρίς κενά). Μου βγήκαν τα μάτια. .
Και έπειτα λέγε ευθέως σε ποια ερωτήματα έχεις πρόβλημα να στα λύσομυε

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

1)f(x)=2(e^x)+(x^2)-2x
i)ν.δ.ο f' γνησιως αυξουσα
ιι)ν.δ.ο f'(0)=0
ιιι)να βρεθουν τα διαστηματα μονοτονιας της f.

i) Η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο A=R πεπρώτη παράγωγο f΄(x)=2(e^x)+2x-2=2((e^x)+x-1)
Η πρώτη παράγωγος f΄ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R. Άρα η f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο R με δεύτερη παράγωγο
f΄΄(x)=2(e^x)+2=2((e^x)+1)>0 για κάθε x ανήκει R

Η πρώτη παράγωγος f΄ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f΄΄(x)>0 για κάθε x ανήκει R. Άρα η f είναι κυρτή στο R και η πρώτη παράγωγος f΄ γνησίως αύξουσα στο R.

ii) f΄(0)=2*((e^0)+0-1)=2*(1-1)=2*0=0

iii) x>0 => f΄(x)>f΄(0) (f΄ γνησίως αύξουσα) => f΄(x)>0

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0,+οο) παραγωγίσιμη στο (0,+οο) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο (0,+οο). Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+οο).

x<0 => f΄(x)<f΄(0) (f΄ γνησίως αύξουσα) => f΄(x)<0

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (-oo,0] παραγωγίσιμη στο (-oo,0) και ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x στο (-oo,0). Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-οο,0].

2)i)να λυθει η εξισωση lnx+2x=2
ii)να μελετηθει ως προς τη μονοτονια η συναρτηση f(x)=(2x-lnx) / ( 2 ριζα χ )
iii)για καθε χ>1,ν.δ.ο ln(ριζα χ)< χ- ριζα χ

i) Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=lnx+2x-2 με πεδίο ορισμού το A=(0,+oo)

Η συνάρτηση g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με πρώτη παράγωγο g΄(x)=(1/x)+2>0 για κάθε x>0

Η συνάρτηση g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+οο) και ισχύει g΄(x)>0 για κάθε x στο (0,+οο). Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+οο). Επομένως η g είναι 1-1.

Παρατηρούμε ότι g(1)=ln1+2*1-2=0+2-2=0

Η g είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+οο). Επομένως έχουμε:

0<x<1 => g(x)<g(1) => g(x)<0 για κάθε x στο (0,1)
x>1 => g(x)>g(1) => g(x)>0 για κάθε x στο (1,+οο)

(Το πρόσημο της g χρειάζεται στο ερώτημα ii))

Επομένως

g(x)=0 <=> g(x)=g(1) <=> x=1 εφόσον η g είναι 1-1

ii) Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το Α=(0,+οο) και είναι συνεχής και παραγωγίσιμη σε αυτό με πρώτη παράγωγο:

f΄(x)=(lnx+2x-2)/(4xSQRT(x))=g(x)/(4xSQRT(x)) (μετά από πράξεις)

Επειδή g(x)<0 για κάθε x στο (0,1) τότε ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x στο (0,1). Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (0,1], παραγωγίσιμη στο (0,1) και ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x στο (0,1). Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,1].

Επειδή g(x)>0 για κάθε x στο (1,+οο) τότε ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο (1,+οο). Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [1,+οο), παραγωγίσιμη στο (1,+οο) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο (1,+οο). Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [1,+οο)..

iii) Έχουμε f(1)=(2*1-ln1)/(2*(1^(1/2)))=(2-0)/(2*1)=2/2=1

Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (1,+οο). Συνεπώς

x>1 <=> f(x)>f(1) <=> (2x-lnx)/(2SQRT(x))>1 <=> 2x-lnx>2SQRT(x) <=> lnx<2x-2SQRT(x) <=> lnx<2(x-SQRT(x)) <=> (1/2)lnx<x-SQRT(x) <=>
<=> ln(x^(1/2))<x-SQRT(x) <=> lnSQRT(x)<x-SQRT(x)

Άρα lnSQRT(x)<x-SQRT(x) <=> x>1

3)αν f δυο φορες παραγωγισιμη στο R ,n cf εφαπτεται στον χ'χ στο χο=1 και ισχυει f''(x)<0 για καθε χ ε R,ν.δ.ο f(x)<0 για καθε χ διαφορο του 1.

Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x0 τότε η εξίσωση της εφαπτομένης στο (x0,f(x0)) είναι η ακόλουθη:

y-f(x0)=f΄(x0)(x-x0) <=> y=xf΄(x0)+[f(x0)-x0*f΄(x0)]

Για x0=1 προκύπτει η εξίσωση της επαπτομένης της Cf στο (1,f(1)):

y=xf΄(1)+[f(1)-f΄(1)]

Γνωρίζουμε ότι η εφαπτομένη της Cf στο (1,f(1)) είναι ο άξονας x΄x ο οποίος έχει εξίσωση y=0. Συνεπώς πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις:

f΄(1)=0
f(1)-f΄(1)=0 => f(1)=f΄(1)=0

Η συνάρτηση f είναι συνεχής και 2 φορές παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f΄΄(x)<0 για κάθε x ανήκει R. Επομένως η f είναι κοίλη στο R που σημαίνει ότι η πρώτη παράγωγος f΄ είναι γνησίως φθίνουσα στο R. Επομένως έχουμε:

x<1 => f΄(x)>f΄(1) => f΄(x)>0
x>1 => f΄(x)<f΄(1) => f΄(x)<0

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (-οο,1], παραγωγίσιμη στο (-οο,1) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο (-οο,1). Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο (-οο,1]. Επομένως έχουμε:

x<1 => f(x)<f(1) => f(x)<0 για κάθε x στο (-οο,1)

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [1,+οο), παραγωγίσιμη στο (1,+οο) και ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x στο (1,+οο). Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [1,+οο). Επομένως έχουμε:

x>1 => f(x)<f(1) => f(x)<0 για κάθε x στο (1,+οο)

Άρα ισχύει f(x)<0 για κάθε x στο (-οο,1)U(1,+οο) και f(1)=0

4)ν.δ.ο η εξισωση χ+συνχ=0 δεν εχει καμια θετικη ριζα.

Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=x+συνx με πεδίο ορισμού το A=R. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:

f΄(x)=1-ημx, x ανήκει R

Η πρώτη παράγωγος είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο Τ=2π αφού για κάθε x ανήκει R ισχύει f΄(x+2kπ)=f΄(x) όπου k ακέραιος

Στο διάστημα [0,2π] (εύρους μιας περιόδου Τ=2) είναι -1<ημx<1 για [0,π/2)U(π/2,3π/2)U(3π/2,2π] και ημ(π/2)=1, ημ(3π/2)=-1.

Έτσι λοιπόν σε οποιοδήποτε διάστημα της μορφής [2kπ, 2(k+1)π) είναι
-1<ημx<1 για [2kπ,2kπ+(π/2))U(2kπ+(π/2),2kπ+2π] και ημ(2kπ+(π/2))=1
Επομένως f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει (2kπ,2kπ+(π/2))U(2kπ+(π/2),2kπ+2π) και f΄(2kπ+(π/2))=0

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [2kπ,2kπ+(π/2)], παραγωγίσιμη στο (2kπ,2kπ+(π/2)) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο (2kπ,2kπ+(π/2)). Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο [2kπ,2kπ+(π/2)] όπου k ακέραιος.

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [2kπ+(π/2),2kπ+2π], παραγωγίσιμη στο (2kπ+(π/2),2kπ+2π) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο (2kπ+(π/2),2kπ+2π). Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο [2kπ+(π/2),2kπ+2π] όπου k ακέραιος.

Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλα τα διαστήματα της μορφής [2kπ,2kπ+(π/2)], [2kπ+(π/2),2kπ+2π] (για κάθε ακέριο k) και επειδή η f είναι συνεχής σε όλο το R τότε είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το R.

Έχουμε f(0)=0+συν0=1

Άρα

x>0 => f(x)>f(0) (αφού η f είναι γνησίως αύξουσα) => f(x)>1>0

Άρα f(x)>0 => f(x) διάφορο 0 για x>0.

5)αν 2g'(x)+xg''(x) διαφορο του 0 στο R ,ν.δ.ο η συναρτηση g(x)+xg'(x) εχει το πολυ μια πραγματικη ριζα.

Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=g(x)+xg΄(x). Επειδή η g είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο R τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο R (οπότε και συνεχής στο R) με πρώτη παράγωγο:

f΄(x)=2g΄(x)+xg΄΄(x) διάφορο 0 για κάθε x ανήκει R (από εκφώνηση)

Αν η f είχε δύο πραγματικές ρίζες ρ1, ρ2 με ρ1<ρ2 τότε f(ρ1)=f(ρ2)=0.

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ρ1,ρ2], παραγωγίσιμη στο (ρ1,ρ2) και ισχύει f(ρ1)=f(ρ2). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (ρ1,ρ2) τέτοιο ώστε f΄(ξ)=0 που είναι άτοπο εφόσον f΄(x) διάφορο 0 για κάθε x ανήκει R. Άρα η f δεν μπορεί να έχει 2 πραγματκές ρίζες.

Ομοίως μπορεί να αποδειχθεί ότι η f δεν μπορεί να έχει 3 ή περισσότερες πραγματικές ρίζες. Αν η f είχε ν (ν θετικός ακέραιος>=3) πραγματικές ρίζες, έστω τις ρ1<ρ2<...<ρν-1<ρν τότε f(ρ1)=f(ρ2)=...=f(ρν-1)=f(ρν)=0.

Η f είναι συνεχής σε στο διάστημα [ρn,ρn+1], παραγωγίσιμη στο (ρn,ρn+1) και ισχύει f(ρn)=f(ρn+1) όπου n=1, 2, ..., (ν-1). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξn στο διάστημα (ρn,ρn+1) τέτοιο ώστε f΄(ξn)=0. Δηλαδή υπάρχουν ξ1, ξ2, ..., ξν-1 με ξ1<ξ2<...<ξν-1 τέτοια ώστε f΄(ξ1)=f΄(ξ2)=...=f΄(ξν-1)=0 που είναι άτοπο εφόσον f΄(x) διάφορο 0 για κάθε x ανήκει R. Άρα η f δεν μπορεί να έχει 3 ή περισσότερες πραγματικές ρίζες.

Συνεπώς η f μπορεί να έχει το πολύ 1 πραγματική ρίζα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[φρι]

Εστω f,g:[α,β]-->R,δυο συναρτησεις οι οποιες ειναι συνεχεις στο [α,β] και παραγωγισιμες στο (α,β) με g'(x) <>(διαφορη) του 0 (1) για καθε x ανηκει (α,β)
Ν.δ.ο g(α) διαφορο του g(β) ..
Αμα παω στν (1) και βαλω για x=α και μετα για x=β γινεται?
Δηλαδη γενικα,αμα εχω g'(x) διαφορο του g'(t) μπορω να πω οτι g(x) διαφορο του g(t)?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Εστω f,g:[α,β]-->R,δυο συναρτησεις οι οποιες ειναι συνεχεις στο [α,β] και παραγωγισιμες στο (α,β) με g'(x) <>(διαφορη) του 0 (1) για καθε x ανηκει (α,β)
Ν.δ.ο g(α) διαφορο του g(β) .

H g είναι συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (α,β) τέτοιο ώστε g΄(ξ)=(g(β)-g(α))/(β-α)

g΄(ξ) διάφορο 0 => (g(β)-g(α))/(β-α) διάφορο 0 => g(β)-g(α) διάφορο 0 => g(α) διάφορο g(β)

(Η συνάρτηση f που κολλάει

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Αμα παω στν (1) και βαλω για x=α και μετα για x=β γινεται?
Δηλαδη γενικα,αμα εχω g'(x) διαφορο του g'(t) μπορω να πω οτι g(x) διαφορο του g(t)?

Όχι γιατί η g είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) και όχι στο [α,β] (δεν ξέρουμε αν η g΄ ορίζεται στα α και β)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[φρι]

Σιβιλαρα ευχαριστω αλλα δεν εχω κανει ακομα Θ.Μ.Τ ( για την f που ρωτας,εχει και αλλα ερωτηματα η ασκηση)
Ακομα στο Θ.ROLLE ειμαι!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[mary-blackrose]

i) Η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο A=R πεπρώτη παράγωγο f΄(x)=2(e^x)+2x-2=2((e^x)+x-1)
Η πρώτη παράγωγος f΄ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R. Άρα η f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο R με δεύτερη παράγωγο
f΄΄(x)=2(e^x)+2=2((e^x)+1)>0 για κάθε x ανήκει R

Η πρώτη παράγωγος f΄ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f΄΄(x)>0 για κάθε x ανήκει R. Άρα η f είναι κυρτή στο R και η πρώτη παράγωγος f΄ γνησίως αύξουσα στο R.

ii) f΄(0)=2*((e^0)+0-1)=2*(1-1)=2*0=0

iii) x>0 => f΄(x)>f΄(0) (f΄ γνησίως αύξουσα) => f΄(x)>0

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0,+οο) παραγωγίσιμη στο (0,+οο) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο (0,+οο). Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+οο).

x<0 => f΄(x)<f΄(0) (f΄ γνησίως αύξουσα) => f΄(x)<0

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (-oo,0] παραγωγίσιμη στο (-oo,0) και ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x στο (-oo,0). Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-οο,0].



i) Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=lnx+2x-2 με πεδίο ορισμού το A=(0,+oo)

Η συνάρτηση g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με πρώτη παράγωγο g΄(x)=(1/x)+2>0 για κάθε x>0

Η συνάρτηση g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+οο) και ισχύει g΄(x)>0 για κάθε x στο (0,+οο). Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+οο). Επομένως η g είναι 1-1.

Παρατηρούμε ότι g(1)=ln1+2*1-2=0+2-2=0

Η g είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+οο). Επομένως έχουμε:

0<x<1 => g(x)<g(1) => g(x)<0 για κάθε x στο (0,1)
x>1 => g(x)>g(1) => g(x)>0 για κάθε x στο (1,+οο)

(Το πρόσημο της g χρειάζεται στο ερώτημα ii))

Επομένως

g(x)=0 <=> g(x)=g(1) <=> x=1 εφόσον η g είναι 1-1

ii) Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το Α=(0,+οο) και είναι συνεχής και παραγωγίσιμη σε αυτό με πρώτη παράγωγο:

f΄(x)=(lnx+2x-2)/(4xSQRT(x))=g(x)/(4xSQRT(x)) (μετά από πράξεις)

Επειδή g(x)<0 για κάθε x στο (0,1) τότε ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x στο (0,1). Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (0,1], παραγωγίσιμη στο (0,1) και ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x στο (0,1). Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,1].

Επειδή g(x)>0 για κάθε x στο (1,+οο) τότε ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο (1,+οο). Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [1,+οο), παραγωγίσιμη στο (1,+οο) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο (1,+οο). Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [1,+οο)..

iii) Έχουμε f(1)=(2*1-ln1)/(2*(1^(1/2)))=(2-0)/(2*1)=2/2=1

Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (1,+οο). Συνεπώς

x>1 <=> f(x)>f(1) <=> (2x-lnx)/(2SQRT(x))>1 <=> 2x-lnx>2SQRT(x) <=> lnx<2x-2SQRT(x) <=> lnx<2(x-SQRT(x)) <=> (1/2)lnx<x-SQRT(x) <=>
<=> ln(x^(1/2))<x-SQRT(x) <=> lnSQRT(x)<x-SQRT(x)

Άρα lnSQRT(x)<x-SQRT(x) <=> x>1



Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x0 τότε η εξίσωση της εφαπτομένης στο (x0,f(x0)) είναι η ακόλουθη:

y-f(x0)=f΄(x0)(x-x0) <=> y=xf΄(x0)+[f(x0)-x0*f΄(x0)]

Για x0=1 προκύπτει η εξίσωση της επαπτομένης της Cf στο (1,f(1)):

y=xf΄(1)+[f(1)-f΄(1)]

Γνωρίζουμε ότι η εφαπτομένη της Cf στο (1,f(1)) είναι ο άξονας x΄x ο οποίος έχει εξίσωση y=0. Συνεπώς πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις:

f΄(1)=0
f(1)-f΄(1)=0 => f(1)=f΄(1)=0

Η συνάρτηση f είναι συνεχής και 2 φορές παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f΄΄(x)<0 για κάθε x ανήκει R. Επομένως η f είναι κοίλη στο R που σημαίνει ότι η πρώτη παράγωγος f΄ είναι γνησίως φθίνουσα στο R. Επομένως έχουμε:

x<1 => f΄(x)>f΄(1) => f΄(x)>0
x>1 => f΄(x)<f΄(1) => f΄(x)<0

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (-οο,1], παραγωγίσιμη στο (-οο,1) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο (-οο,1). Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο (-οο,1]. Επομένως έχουμε:

x<1 => f(x)<f(1) => f(x)<0 για κάθε x στο (-οο,1)

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [1,+οο), παραγωγίσιμη στο (1,+οο) και ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x στο (1,+οο). Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [1,+οο). Επομένως έχουμε:

x>1 => f(x)<f(1) => f(x)<0 για κάθε x στο (1,+οο)

Άρα ισχύει f(x)<0 για κάθε x στο (-οο,1)U(1,+οο) και f(1)=0



Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=x+συνx με πεδίο ορισμού το A=R. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:

f΄(x)=1-ημx, x ανήκει R

Η πρώτη παράγωγος είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο Τ=2π αφού για κάθε x ανήκει R ισχύει f΄(x+2kπ)=f΄(x) όπου k ακέραιος

Στο διάστημα [0,2π] (εύρους μιας περιόδου Τ=2) είναι -1<ημx<1 για [0,π/2)U(π/2,3π/2)U(3π/2,2π] και ημ(π/2)=1, ημ(3π/2)=-1.

Έτσι λοιπόν σε οποιοδήποτε διάστημα της μορφής [2kπ, 2(k+1)π) είναι
-1<ημx<1 για [2kπ,2kπ+(π/2))U(2kπ+(π/2),2kπ+(3π/2))U(2kπ+(3π/2),2kπ+2π] και ημ(2kπ+(π/2))=1, ημ(2kπ+(3π/2))=-1
Επομένως f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει [2kπ,2kπ+(π/2))U(2kπ+(π/2),2kπ+(3π/2))U(2kπ+(3π/2),2kπ+2π] και f΄(2kπ+(π/2))=f΄(2kπ+(3π/2))=0

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [2kπ,2kπ+(π/2)], παραγωγίσιμη στο (2kπ,2kπ+(π/2)) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο (2kπ,2kπ+(π/2)). Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο [2kπ,2kπ+(π/2)] όπου k ακέραιος.

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [2kπ+(π/2),2kπ+(3π/2)], παραγωγίσιμη στο (2kπ+(π/2),2kπ+(3π/2)) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο (2kπ+(π/2),2kπ+(3π/2)). Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο [2kπ+(π/2),2kπ+(3π/2)] όπου k ακέραιος.

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [2kπ+(3π/2),2kπ+2π], παραγωγίσιμη στο (2kπ+(3π/2),2kπ+2π) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο (2kπ+(3π/2),2kπ+2π). Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο [2kπ+(3π/2),2kπ+2π] όπου k ακέραιος.

Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλα τα διαστήματα της μορφής [2kπ,2kπ+(π/2)], [2kπ+(π/2),2kπ+(3π/2)], [2kπ+(3π/2),2kπ+2π] (για κάθε ακέριο k) και επειδή η f είναι συνεχής σε όλο το R τότε είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το R.

Έχουμε f(0)=0+συν0=1

Άρα

x>0 => f(x)>f(0) (αφού η f είναι γνησίως αύξουσα) => f(x)>1>0

Άρα f(x)>0 => f(x) διάφορο 0 για x>0.



Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=g(x)+xg΄(x). Επειδή η g είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο R τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο R (οπότε και συνεχής στο R) με πρώτη παράγωγο:

f΄(x)=2g΄(x)+xg΄΄(x) διάφορο 0 για κάθε x ανήκει R (από εκφώνηση)

Αν η f είχε δύο πραγματικές ρίζες ρ1, ρ2 με ρ1<ρ2 τότε f(ρ1)=f(ρ2)=0.

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ρ1,ρ2], παραγωγίσιμη στο (ρ1,ρ2) και ισχύει f(ρ1)=f(ρ2). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (ρ1,ρ2) τέτοιο ώστε f΄(ξ)=0 που είναι άτοπο εφόσον f΄(x) διάφορο 0 για κάθε x ανήκει R. Άρα η f δεν μπορεί να έχει 2 πραγματκές ρίζες.

Ομοίως μπορεί να αποδειχθεί ότι η f δεν μπορεί να έχει 3 ή περισσότερες πραγματικές ρίζες. Αν η f είχε ν (ν θετικός ακέραιος>=3) πραγματικές ρίζες, έστω τις ρ1<ρ2<...<ρν-1<ρν τότε f(ρ1)=f(ρ2)=...=f(ρν-1)=f(ρν)=0.

Η f είναι συνεχής σε στο διάστημα [ρn,ρn+1], παραγωγίσιμη στο (ρn,ρn+1) και ισχύει f(ρn)=f(ρn+1) όπου n=1, 2, ..., (ν-1). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξn στο διάστημα (ρn,ρn+1) τέτοιο ώστε f΄(ξn)=0. Δηλαδή υπάρχουν ξ1, ξ2, ..., ξν-1 με ξ1<ξ2<...<ξν-1 τέτοια ώστε f΄(ξ1)=f΄(ξ2)=...=f΄(ξν-1)=0 που είναι άτοπο εφόσον f΄(x) διάφορο 0 για κάθε x ανήκει R. Άρα η f δεν μπορεί να έχει 3 ή περισσότερες πραγματικές ρίζες.

Συνεπώς η f μπορεί να έχει το πολύ 1 πραγματική ρίζα.

σε ευχαριστω παρα πολυ για ακομα μια φορα...αλλα μηπως σου ειναι ευκολο να μου εξηγησεις λιγο την ασκηση 4...γιατι με μπερδευουν τα τριγωνομετρικα!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

σε ευχαριστω παρα πολυ για ακομα μια φορα...αλλα μηπως σου ειναι ευκολο να μου εξηγησεις λιγο την ασκηση 4...γιατι με μπερδευουν τα τριγωνομετρικα!

Δεν κάνει τίποτα 8)

Η παράγωγος της f είναι η f΄(x)=1-ημx. Για κάθε x ανήκει R ισχύει f΄(x)>=0 αφού -1<=ημx<=1 για κάθε x ανήκει R.

Οι λύσεις της εξίσωσης f΄(x)=0 είναι οι εξής:

f΄(x)=0 <=> 1-ημx=0 <=> ημx=1 <=> ημx=ημ(π/2) <=> x=2kπ +(π/2) όπου k ακέραιος

Για κάθε x ανήκει R με x διάφορο 2kπ+(π/2) ισχύει f΄(x)>0.

Δηλαδή οι λύσεις της εξίσωσης f(x)=0 είναι μεμονωμένα σημεία (δεν σχηματίζουν διάστημα) και χωρίζουν την f στα διαστήματα της μορφής (2kπ,2kπ+(π/2)) και (2kπ+(π/2),2kπ+2π) στα οποία f΄(x)>0. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλα τα διαστήματα της μορφής
[2kπ,2kπ+(π/2)] και σε όλα τα διαστήματα της μορφής [2kπ+(π/2),2kπ+2π] για κάθε ακέραιο k. Η ένωση όλων αυτών των διαστημάτων είναι το R. Επιπλέον επειδή η f είναι συνεχής σε όλο το R τότε είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το R.

Η μονοτονία της f μπορεί να βρεθεί και με μία άλλη πρόταση που δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο αλλά με τις γνώσεις της εξεταστέας ύλης δεν είναι δύσκολο να αποδειχθεί:

Πρόταση 1: Έστω μία συνάρτηση f συνεχή στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β). Αν ισχύει f΄(x)>=0 για κάθε x στο (α,β) και οι ρίζες της εξίσωσης f΄(x)=0 στο (α,β) (εφόσον υπάρχουν) είναι μεμονωμένα σημεία (δηλαδή δεν σχηματίζουν διάστημα υποσύνολο του (α,β)) τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β]

Πρόταση 2: Έστω μία συνάρτηση f συνεχή στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β). Αν ισχύει f΄(x)<=0 για κάθε x στο (α,β) και οι ρίζες της εξίσωσης f΄(x)=0 στο (α,β) (εφόσον υπάρχουν) είναι μεμονωμένα σημεία (δηλαδή δεν σχηματίζουν διάστημα υποσύνολο του (α,β)) τότε η f είναι γνησίως φθίνοουσα στο [α,β]

Αν για μία συνάρτηση f συνεχή στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) με f΄(x)>=0 για κάθε x στο (α,β), υπάρχει ένα διάστημα Δ υποσύνολο του (α,β) στο οποίο να ισχύει f΄(x)=0 τότε η f είναι σταθερή στο Δ. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε x στο Δ ισχύει f(x)=c, c ανήκει R. Στο διάστημα Δ ισχύει f(x1)=f(x2)=c για κάθε x1,x2 ανήκουν Δ και συνεπώς η f δεν μπορεί να είναι γνησίως αύξουσα στο (α,β). Ομοίως αν f΄(x)<=0 στο (α,β) και υπάρχει διάστημα Δ στο οποίο f΄(x)=0.

Στη συγκεκριμένη άσκηση οι λύσεις της εξίσωσης f΄(x)=0 είναι μεμονωμένα σημεία οπότε δεν επηρεάζουν την μονοτονία της συνάρτησης για την οποία ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει R με εξαίρεση τα μεμονωμένα σημεία για τα οποία f΄(x)=0. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[φρι]

Γιωργο βρηκες τιποτα για τη δικη μου?πως %@@& βγαινει?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Γιωργο βρηκες τιποτα για τη δικη μου?πως %@@& βγαινει?

Αν μιλάμε για την ίδια τότε θα πεις πως αν g(α)=g(β) τότε σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (α,β) τέτοιο ώστε g΄(ξ)=0 που είναι άτοπο αφού g΄(x) διάφορο 0 για κάθε x στο (α,β). Άρα g(α) διάφορο g(β).

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[φρι]

Αν μιλάμε για την ίδια τότε θα πεις πως αν g(α)=g(β) τότε σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (α,β) τέτοιο ώστε g΄(ξ)=0 που είναι άτοπο αφού g΄(x) διάφορο 0 για κάθε x στο (α,β). Άρα g(α) διάφορο g(β).

Οκ,ευχαριστω πολυυυ!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[φρι]

Εστω μια συναρτηση f δυο φορες παραγωγισιμη στο R με f(-1)=f(1)=1 και f(0)=0.
Ν.δ.ο υπαρχει ενα τουλαχιστον ξ ανηκει(α,β) τετοιο ωστε η εφαπτομενη της Cf στο σημειο Α(ξ,f'(ξ)) να ειναι παραλληλη στην (ε): y=2x-3

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[rebel]

Θεωρούμε την συνάρτηση . Παρατηρούμε ότι
οπότε με Rolle στα διαστήματα και διαπιστώνουμε την ύπαρξη με και . Στην συνέχεια πάλι λόγω Rolle, στην συνάρτηση υπάρχει τέτοιο ώστε

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.