Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

φρι · 04-12-12

πολλαπλασιαζω στη πρωτη γραμμη αυτο το απολυτο;;
γινεται;;

rebel · 04-12-12

Αν έχεις $0<a \leq b$ και $c \geq 0$ τότε δεν ισχύει ότι $ac \leq bc$ ; Έτσι λοιπόν κι εδώ είναι
$\left|\sigma\upsilon \nu \frac{1}{x}\right| \leq 1 \Rightarrow \left|\sigma\upsilon \nu \frac{1}{x}\right| \cdot \left|\frac{\eta \mu^2x}{x}\right|\leq 1 \cdot \left|\frac{\eta \mu^2x}{x}\right|$
απλά το έγραψα κατευθείαν και μάλλον μπερδεύτηκες.

φρι · 04-12-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Αν έχεις $0<a \leq b$ και $c \geq 0$ τότε δεν ισχύει ότι $ac \leq bc$ ; Έτσι λοιπόν κι εδώ είναι
$\left|\sigma\upsilon \nu \frac{1}{x}\right| \leq 1 \Rightarrow \left|\sigma\upsilon \nu \frac{1}{x}\right| \cdot \left|\frac{\eta \mu^2x}{x}\right|\leq 1 \cdot \left|\frac{\eta \mu^2x}{x}\right|$
απλά το έγραψα κατευθείαν και μάλλον μπερδεύτηκες.

αναμεσα δε μπαινει διπλη συνεπαγωγη <=>?

rebel · 04-12-12

Εννοείς ισοδυναμία; $\Longleftrightarrow$ Δεν χρειάζεται, όχι.

φρι · 04-12-12

ναι ισοδυναμια..
αα...
αλλο ενα πραγμα που μπερδευομαι!με την ισοδυναμια και την συνεπαγωγη :\

rebel · 04-12-12

Είναι μεγάλο το θέμα που ανοίγεις. Θα σε παραπέμψω εδώ. Για να αποφευχθεί η λανθασμένη χρήση των συμβόλων αυτών μπορείς να χρησιμοποιείς τις συνδετικές λέξεις "άρα" , "οπότε", "ή", "επομένως" κτλ. Νομίζω ότι και ο καθηγητής σου αυτό θα σου έλεγε.

φρι · 04-12-12

σε ευχαριστω γ τ σιτε..ναι τις χρησιμοποιω γι αυτο το λογο..προτιμας τη γραφη το ενα κατω απο το αλλο ή οριζοντια?

rebel · 04-12-12

Αν είναι μεγάλες οι παραστάσεις προτιμώ κατακόρυφα. Αλλιώς οριζόντια. Είναι καθαρά θέμα καλαισθησίας και κανείς δεν θα σε κατηγορήσει γιαυτό. Η αλήθεια βέβαια είναι ότι ένα ευπαρουσίαστο γραπτό προδιαθέτει ευχάριστα

φρι · 04-12-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Αν είναι μεγάλες οι παραστάσεις προτιμώ κατακόρυφα. Αλλιώς οριζόντια. Είναι καθαρά θέμα καλαισθησίας και κανείς δεν θα σε κατηγορήσει γιαυτό. Η αλήθεια βέβαια είναι ότι ένα ευπαρουσίαστο γραπτό προδιαθέτει ευχάριστα

ναι,εχεις δικιο..σε ευχαριστω για ολα!

antonisd95 · 04-12-12

Αρχική Δημοσίευση από Polymnia:
Άρα με τριγωνική βγαίνει.Τι μου ελεγαν οτι δεν μπορώ να αξιοποιήσω την τριγωνική .
Η ολοκληρωμένη εκφώνηση είναι :
Δίνεται συνάρτηση $g(x)= \sqrt{{x}^{2}+x+1} -\alpha x+ \beta$ με $\alpha ,\beta\in R$
για την οποία ισχύει : οριο της g(x) όταν το χ τείνει στο +απειρο ειναι ισο με $l\in R$
α) Να βρείτε το $\alpha .$
β) Για $\alpha =1$ να αποδείξετε οτι $g(x)=\frac{1+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}}+1} +\beta$
και επίσης οτι $\beta = l- \frac{1}{2}$ .
Δίνονται επίσης οι μιγαδικοί $z,w$ και η συνάρτηση :
$f(x)= \sqrt{{x}^{2}+x+1}- \left|z-2i \right|x + \left|w-4-5i \right|$
για την οποία ισχύουν :
οριο της f(x) όταν το χ τείνει στο +απειρο ειναι ίσο με $\frac{5}{2}$ και $f=g$ .
α)Να αποδείξετε οτι ο γτ της εικονας του ειναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο K $(0,2)$ και ακτίνα $ρ=1$ .
β)Να βρείτε το γτ της εικόνας του $w$
γ)Να αποδείξετε οτι $2\leq \left|z-w \right|\leq 8$
δ) Να αποδείξετε οτι $\sqrt{65}-3\left|z+w \right|\leq \sqrt{65}+3$

Την άσκηση την έλυσα ολη εκτος απο το δ που ρώτησα ,αν και το ειχα λυσει στο προχειρο με ανισοτητα .Απλα ανεβασα ολο το θεμα για να δειτε αν χρειαζεται κατι για το ερωτημα που ρωτησα,αν και δε νομιζω .

Κάπου είχα διαβάσει οτι απαιτούνται κάποιες προυποθέσεις ωστε να χρησιμοποιήσει κανεις τριγωνικη ανισοτητα στους μιγαδικούς.Ισχύει κάτι τέτοιο ή μπορώ να λυσω το ερωτημα χωρις να γραψω τιποτα παραπάνω;

Σε τι βιβλία υπάρχουν αυτές οι ασκήσεις;...ρωτάω γιατί λύνω ασκήσεις από παπαδάκη,μπάρλα και που και που από στεργίου, αλλά δεν είμαι ικανοποιημένος με το επίπεδο.(όχι ότι αυτή είναι δύσκολη, απλά είναι μεγάλη)
Επίσης θα μπορούσε κάποιος να με παραπέμψει σε παρόμοια θέματα με μιγαδικούς που έχουν γραφεί στο φόρουμ;(π.χ. τέτοια που δημιουργούμε εμείς την ανισότητα ή ασκήσεις που τις λύνουμε με γεωμετρικό τρόπο)

Aris90 · 04-12-12

εστω συνεχης συναρτηση $f:R\rightarrow R$ τετοια ωστε να ισχυει : ${f}^{2}(x)-2f(x)\eta \mu \chi ={\eta \mu }^{4}x+{\eta \mu }^{2}x+1$
για καθε χεR και $f(\frac{\Pi }{2})=3$
i)να αποδειξετε οτι ηf(x) διατηρει προσημο το οποιο και να βρειτε
ii)να βρειτε την τιμη f(o)
σας παρακαλω θελω βοηθεια σε αυτη την ασκηση και αν γινεται θα ηθελα αναλυτικα καθε βημα που πρεπει να κανουμε
ευχαριστω εκ των προτερων

Civilara · 5 Δεκεμβρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από Aris90:
εστω συνεχης συναρτηση $f:R\rightarrow R$ τετοια ωστε να ισχυει : ${f}^{2}(x)-2f(x)\eta \mu \chi ={\eta \mu }^{4}x+{\eta \mu }^{2}x+1$
για καθε χεR και $f(\frac{\Pi }{2})=3$
i)να αποδειξετε οτι ηf(x) διατηρει προσημο το οποιο και να βρειτε
ii)να βρειτε την τιμη f(o)
σας παρακαλω θελω βοηθεια σε αυτη την ασκηση και αν γινεται θα ηθελα αναλυτικα καθε βημα που πρεπει να κανουμε
ευχαριστω εκ των προτερων

Από την αρχική σχέση έχουμε:

(f(x)^2)-2f(x)ημx=((ημx)^4)+((ημx)^2)+1
(f(x)^2)-2f(x)ημx+((ημx)^2)=((ημx)^4)+2((ημx)^2)+1
(f(x)-ημx)^2=(((ημx)^2)+1)^2
[(f(x)-ημx)^2]-[(((ημx)^2)+1)^2]=0
[f(x)-ημx+((ημx)^2)+1][f(x)-ημx-((ημx)^2)-1]=0
[f(x)+((ημx)^2)-ημx+1][f(x)-((ημx)^2)-ημx-1]=0

Η τελευταία σχέση γράφεται στη μορφή [f(x)-g(x)][f(x)-h(x)]=0 για κάθε x ανήκει R όπου
g(x)=-((ημx)^2)+ημx-1
h(x)=((ημx)^2)+ημx+1
x ανήκει R

Άρα για κάθε x ανήκει R ισχύει f(x)=g(x) ή f(x)=h(x) και επειδή η f είναι συνάρτηση θα ισχύει η μία από τις δύο ισότητες για κάθε x ανήκει R.

Θεωρούμε τα πολυώνυμα:
G(x)=-(x^2)+x-1
H(x)=(x^2)+x+1

Θα προσδιοριστεί το πρόσημο των πολυωνύμων G και H για κάθε x ανήκει R. Γι αυτό υπολογίζονται αρχικά οι διακρίνουσες των εξισώσεων G(x)=0 και H(x)=0. Έχουμε

G(x)=0: Δ1=((-1)^2)-4*(-1)*(-1)=1-4=-3<0 => G(x)<0 για κάθε x ανήκει R
H(x)=0: Δ2=(1^2)-4*1*1=1-4=-3<0 => H(x)>0 για κάθε x ανήκει R

Επειδή g(x)=G(ημx) τότε για κάθε x ανήκει R ισχύει g(x)<0
Επειδή h(x)=H(ημx) τότε για κάθε x ανήκει R ισχύει h(x)>0

Επειδή για κάθε x ανήκει R ισχύει είτε f(x)=g(x)<0 είτε f(x)=h(x)>0 τότε προκύπτει ότι για κάθε x ανήκει R είναι f(x) διάφορο 0. Συνεπώς η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R αφού είναι συνεχής σε αυτό και ισχύει f(x) διάφορο 0 για κάθε x ανήκει R.

Γνωρίζουμε ότι f(π/2)=3>0. Επομένως f(x)>0 για κάθε x ανήκει R αφού η f διατηρεί σταθερό πρόσημο. Συνεπώς f(x)=h(x) για κάθε x ανήκει R. Έτσι λοιπόν έχει βρεθεί ότι:

f(x)=h(x)=((ημx)^2)+ημx+1, x ανήκει R

Για x=0 προκύπτει f(0)=((ημ0)^2)+ημ0+1=1

Παρατηρούμε ότι επαληθεύεται f(π/2)=((ημ(π/2))^2)+ημ(π/2)+1=3

Aris90 · 05-12-12

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Από την αρχική σχέση έχουμε:

(f(x)^2)-2f(x)ημx=((ημx)^4)+((ημx)^2)+1
(f(x)^2)-2f(x)ημx+((ημx)^2)=((ημx)^4)+2((ημx)^2)+1
(f(x)-ημx)^2=(((ημx)^2)+1)^2
[(f(x)-ημx)^2]-[(((ημx)^2)+1)^2]=0
[f(x)-ημx+((ημx)^2)+1][f(x)-ημx-((ημx)^2)-1]=0
[f(x)+((ημx)^2)-ημx+1][f(x)-((ημx)^2)-ημx-1]=0

Η τελευταία σχέση γράφεται στη μορφή [f(x)-g(x)][f(x)-h(x)]=0 για κάθε x ανήκει R όπου
g(x)=-((ημx)^2)+ημx-1
h(x)=((ημx)^2)+ημx+1
x ανήκει R

Άρα για κάθε x ανήκει R ισχύει f(x)=g(x) ή f(x)=h(x) και επειδή η f είναι συνάρτηση θα ισχύει η μία από τις δύο ισότητες για κάθε x ανήκει R.

Θεωρούμε τα πολυώνυμα:
G(x)=-(x^2)+x-1
H(x)=(x^2)+x+1

Θα προσδιοριστεί το πρόσημο των πολυωνύμων G και H για κάθε x ανήκει R. Γι αυτό υπολογίζονται αρχικά οι διακρίνουσες των εξισώσεων G(x)=0 και H(x)=0. Έχουμε

G(x)=0: Δ1=((-1)^2)-4*(-1)*(-1)=1-4=-3<0 => G(x)<0 για κάθε x ανήκει R
G(x)=0: Δ2=(1^2)-4*1*1=1-4=-3<0 => H(x)>0 για κάθε x ανήκει R

Επειδή g(x)=G(ημx) τότε για κάθε x ανήκει R ισχύει g(x)<0
Επειδή h(x)=H(ημx) τότε για κάθε x ανήκει R ισχύει h(x)>0

Επειδή για κάθε x ανήκει R ισχύει είτε f(x)=g(x)<0 είτε f(x)=h(x)>0 τότε προκύπτει ότι για κάθε x ανήκει R είναι f(x) διάφορο 0. Συνεπώς η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R αφού είναι συνεχής σε αυτό και ισχύει f(x) διάφορο 0 για κάθε x ανήκει R.

Γνωρίζουμε ότι f(π/2)=3>0. Επομένως f(x)>0 για κάθε x ανήκει R αφού η f διατηρεί σταθερό πρόσημο. Συνεπώς f(x)=h(x) για κάθε x ανήκει R. Έτσι λοιπόν έχει βρεθεί ότι:

f(x)=h(x)=((ημx)^2)+ημx+1, x ανήκει R

Για x=0 προκύπτει f(0)=((ημ0)^2)+ημ0+1=1

Παρατηρούμε ότι επαληθεύεται f(π/2)=((ημ(π/2))^2)+ημ(π/2)+1=3

${\eta \mu }^{4}χ+{\eta \mu }^{4}χ+1>0$ αρα ${f}^{2}(x)-2f(x)\eta \mu x>0$
$f(x)(f(x)-2\eta \mu )>0$
αρα $f(x)\neq 0$

αρα συνεχης στo R
η f διατηρει προσημο σταθερο επειδη $f(\frac{\Pi }{3})=3>0$

ii)απο τη σχεση (f(x)^2)-2f(x)ημx=((ημx)^4)+((ημx)^2)+1 βαζουμε οπου χ=0
και καταληγουμε f²(0)-1=0
(f(0)-1)(f(0)+1)=0
f(0)=1 δεκτο και f(0)=-1 αδυνατο γιατι f(x)>0

σε ευχαριστω για την αμμεση απαντηση σου αλλα εχω παρει και αλλη μια απαντηση και θελω να ρωτησω αν ειναι σωστη και αν ειναι σωστη
εχω καποιες χαζες αποριες λοιπον αν θελω να την εξηγησω σε καποιον
αρχικα θα πουμε οτι το ημ^χ+ημ^2χ+1>0 αυτο ειναι θετικο αρα και το πρωτο μελος θα ειναι θετικο
κανουμε τις πραξεις και καταληγουμε f(χ)<>0 το οτι ειναι διαφορετικο του μηδενος αυτο το συμπερασμα το βγαζουμε επειδη ειναι ειναι θετικο το f(x)?
και γιατι λεμε οτι ειναο συνεχης στο R τι συμπερασμα βγαζουμε?
και τελος για να δικαιολογησουμε οτι διατηρει προσημο θα πουμε επειδη f(χ)>0 και ισχυει f(π/2)=3?

Civilara · 05-12-12

Αρχική Δημοσίευση από Aris90:
αρχικα θα πουμε οτι το ημ^χ+ημ^2χ+1>0 αυτο ειναι θετικο αρα και το πρωτο μελος θα ειναι θετικο
κανουμε τις πραξεις και καταληγουμε f(χ)<>0 το οτι ειναι διαφορετικο του μηδενος αυτο το συμπερασμα το βγαζουμε επειδη ειναι ειναι θετικο το f(x)?
και γιατι λεμε οτι ειναο συνεχης στο R τι συμπερασμα βγαζουμε?
και τελος για να δικαιολογησουμε οτι διατηρει προσημο θα πουμε επειδη f(χ)>0 και ισχυει f(π/2)=3?

Αν μία συνάρτηση F (χρησιμοποιώ άλλο σύμβολο για να μην γίνει σύγχυση με την συνάρτηση f της άσκησης) είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει F(x) διάφορο 0 για κάθε x στο Δ τότε η F διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ, δηλαδή F(x)<0 για κάθε x ανήκει Δ ή F(x)>0 για κάθε x ανήκει Δ.

Γνωρίζουμε ότι η f είναι συνεχής και βρίσκουμε ότι f(x) διάφορο 0 για κάθε x στο R. Άρα η f διατηρεί σταθερό πρόσημο. Επειδή ξέρουμε ότι f(π/2)=3>0 και επειδή η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R τότε f(x)>0 για κάθε x στο R.

rebel · 5 Δεκεμβρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Άρα για κάθε x ανήκει R ισχύει f(x)=g(x) ή f(x)=h(x) και επειδή η f είναι συνάρτηση θα ισχύει η μία από τις δύο ισότητες για κάθε x ανήκει R.

Αυτό δεν ισχύει. Θα μπορούσε για παράδειγμα να είναι
$f(x)=\begin{cases} \eta \mu ^2 x+ \eta \mu x + 1 & x < 0 \\ \eta \mu x- \eta \mu ^2 x-1 & x \geq 0 \end{cases}$
Άλλωστε αν είχες εξαρχής αυτό το αποτέλεσμα, αυτό σημαίνει ότι θα ήξερες πως η f διατηρεί πρόσημο οπότε με βάση την τιμή $f(\pi/2)>0$ θα συμπέραινες ότι $f(x)=g(x) \,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$ και τελειώσαμε. Δεν θα χρειαζόταν δηλαδή ότι γράφεις παρακάτω.

Αρχική Δημοσίευση από Aris90:
αρχικα θα πουμε οτι το ημ^χ+ημ^2χ+1>0 αυτο ειναι θετικο αρα και το πρωτο μελος θα ειναι θετικο
κανουμε τις πραξεις και καταληγουμε f(χ)<>0 το οτι ειναι διαφορετικο του μηδενος αυτο το συμπερασμα το βγαζουμε επειδη ειναι ειναι θετικο το f(x)?

Σωστή είναι η δεύτερη. Γενικά ισχύει το εξής:
Αν $ab=c$ με $c \neq 0$ τότε ισχύει ότι $a\neq 0$ . Αυτό συμβαίνει γιατί αν το α ήταν 0 τότε προφανώς και το c θα ήταν 0, οποίο είναι άτοπο. Κατ' αναλογία έχουμε

$f(x)(f(x)-2\eta\mu x)=\eta\mu^4 x+\eta \mu ^2 x+1$ με $\eta\mu^4 x+\eta \mu ^2 x+1\neq 0$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . Αυτό σημαίνει ότι $f(x)\neq 0$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . Γιατί συμβαίνει αυτό; Γιατί αν υπήρχε $x_0 \in \mathbb{R}$ με $f(x_0)=0$ τότε αν βάλουμε στην σχέση όπου $x$ το $x_0$ θα πάρουμε $0=\eta\mu^4 x_0+\eta \mu ^2 x_0+1$ κάτι το οποίο είναι άτοπο.

Το υπερανάλυσα για να το χωνέψεις αλλά στην πραγματικότητα εκείνο που αρκεί να πεις είναι ότι εφ' όσον η παράσταση στο δεξί μέλος είναι διάφορη του 0 τότε υποχρεωτικά θα είναι και $f(x)\neq 0$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . Τα υπόλοιπα τα έχεις απλά στο μυαλό σου σαν εξήγηση.

Αρχική Δημοσίευση από Aris90:
και γιατι λεμε οτι ειναο συνεχης στο R τι συμπερασμα βγαζουμε?

Κι εδώ θα προσπαθήσω να είμαι αναλυτικός και ελπίζω να το πετύχω με το παρακάτω παράδειγμα. Ας θεωρήσουμε την συνάρτηση $g:[-1,1] \to \mathbb{R}$ (το διάστημα [-1,1] είναι τυχαίο. Θα μπορούσα να πάρω κάποιο άλλο) για την οποία ισχύει ότι $g^2(x)=x^2+1$ για κάθε $x \in [-1,1]$ (*). Δεν ξέρω τίποτε άλλο γι'αυτήν πέρα απ' το ότι $g(x) \neq 0$ αφού $x^2+1 \neq 0$ . Ούτε αν είναι συνεχής ούτε τίποτα. Αν σου έλεγα να μου βρεις κάποιες τέτοιες συναρτήσεις που ικανοποιούν τις υποθέσεις (*) ποια θα ήταν η απάντησή σου;
Η $g_1(x)=\sqrt{x^2+1}\,\,\,x \in [-1,1]$ ; Βεβαίως!
Η $g_2(x)=-\sqrt{x^2+1}\,\,\,x \in [-1,1]$ ; Γιατί όχι;!
Μήπως η
$g_3(x)=\begin{cases}-\sqrt{x^2+1} & x \in [-1,0) \\ \sqrt{x^2+1} & x \in [0,1]\end{cases}$
Φαίνεται λίγο περίεργη αλλά και αυτή την κάνει την δουλειά. Ας πάρουμε αυτή την τελευταία να την δούμε λίγο προσεκτικά.

Αυτή η συνάρτηση λοιπόν η τελευταία τι χαρακτηριστικά έχει; Ισχύει για παράδειγμα ότι $g_3(x) \neq 0 \,\,\, \forall x \in [-1,1]$ . Φυσικά! Δεν μηδενίζεται πουθενά, φαίνεται άλλωστε. Διατηρεί πρόσημο στο [-1,1]; ΟΧΙ Για άλλες τιμές είναι θετική για άλλες αρνητική.
Τι άλλο μπορούμε να πούμε για την $g_3$ ; Δεν είναι συνεχής σε όλο το διάστημα [-1,1] . Πράγματι η $g_3$ δεν είναι συνεχής στο 0 αφού $\lim_{x \to 0^-}g(x)=-1 \neq 1=\lim_{x \to 0^+}g(x)$ . Αυτές οι τρεις συναρτήσεις λοιπόν όλες ικανοποιούν τις υποθέσεις (*), άρα η απάντηση θα μπορούσε να είναι οποιαδήποτε από αυτές.
Ας προσθέσουμε τώρα στις (*) την επιπλέον υπόθεση της συνέχειας για την g σε όλο το [-1,1] και ας ονομάσουμε τις καινούριες υποθέσεις (**). Τι άλλαξε τώρα; Μπορώ να δεχθώ πλέον την $g_3$ σαν υποψήφια συνάρτηση; Φυσικά και όχι, αφού αυτή δεν είναι συνεχής όπως είδαμε. Η g που ψάχνω πλέον είναι συνεχής και διάφορη του 0 στο διάστημα [-1,1]. Άρα λόγω του γνωστού πορίσματος (σελ 192 πρώτο σχόλιο μετά το θεώρημα Βοlzano ) θα διατηρεί πρόσημο στο [-1,1]. Τι σημαίνει αυτό; Θα είναι είτε $g(x)>0,\,\,\forall x \in [-1,1]$ οπότε $g(x)=g_1(x) \,\,\, x \in [-1,1]$ είτε $g(x)<0,\,\,\forall x \in [-1,1]$ οπότε $g(x)=g(x_2)\,\,\, x \in [-1,1]$ . Χμ αν είχα μαζί με τις υποθέσεις (**) και μία τιμή για την g για κάποιο $x \in [-1,1]$ ίσως να μπορούσα τελικά να καταλήξω στον τύπο της g. Πχ αν μου δίνει $g(0)=1>0$ μπορώ με σιγουριά να πω ότι $g(x)=g_1(x) \,\,\, x \in [-1,1]$ . Άρα λοιπόν και για να απαντήσω επιτέλους στο ερώτημα που έβαλες, η συνέχεια σ'αυτές τις περιπτώσεις είναι καταλυτική. Μου εξασφαλίζει μέσω του πορίσματος του Bolzano ότι μία συνάρτηση με άγνωστο τύπο, που δεν μηδενίζεται πουθενά σε ένα διάστημα και συνεχής, θα βρίσκεται είτε ολόκληρη πάνω από τον άξονα των χ είτε ολόκληρη κάτω απ' αυτόν. Ότι δεν θα σπάει δηλαδή σε ασυνεχή κομμάτια όπως στην περίπτωση της $g_3$

Αρχική Δημοσίευση από Aris90:
και τελος για να δικαιολογησουμε οτι διατηρει προσημο θα πουμε επειδη f(χ)>0 και ισχυει f(π/2)=3?

Το ότι διατηρεί πρόσημο το συμπεραίνεις
α) Επειδή έχεις δείξει ότι $f(x) \neq 0$ για κάθε χ πραγματικό.
β) Επειδή η f είναι συνεχής στους πραγματικούς.
Μέχρι τώρα λοιπόν ξέρουμε ότι είτε $f(x)>0 \,\, \forall x \in \mathbb{R}$ είτε $f(x)<0 \,\, \forall x \in \mathbb{R}$
Για να αποφασίσουμε τι από τα δύο ισχύει τελικά πρέπει οπωσδήποτε να ξέρω την τιμή της f σε ένα οποιοδήποτε σημείο. Το πρόσημο της τιμής αυτής θα είναι προφανώς και το πρόσημο όλων των τιμών της f (αφού είπαμε η f διατηρεί πρόσημο). Εδώ έχουμε $f(\pi/2)=3>0$ άρα υποχρεωτικά $f(x)>0 \,\, \forall x \in \mathbb{R}$ .
Απορίες;

Civilara · 05-12-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Αυτό δεν ισχύει. Θα μπορούσε για παράδειγμα να είναι
$f(x)=\begin{cases} \eta \mu ^2 x+ \eta \mu x + 1 & x < 0 \\ \eta \mu x- \eta \mu ^2 x-1 & x \geq 0 \end{cases}$
Άλλωστε αν είχες εξαρχής αυτό το αποτέλεσμα, αυτό σημαίνει ότι θα ήξερες πως η f διατηρεί πρόσημο οπότε με βάση την τιμή $f(\pi/2)>0$ θα συμπέραινες ότι $f(x)=g(x) \,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$ και τελειώσαμε. Δεν θα χρειαζόταν δηλαδή ότι γράφεις παρακάτω.

Το ίδιο πράγμα λέμε ρε Κώστα. Για κάθε x ανήκει R θα ισχύει ή f(x)=g(x) ή f(x)=h(x). Δεν μπορεί να ισχύουν και οι 2 σχέσεις για το ίδιο x. Σαφέστατα μπορούν να υπάρχουν εξ αρχής x1 διάφορο x2 με f(x1)=g(x1) και f(x2)=h(x2) αλλά δεν μπορεί να υπάρχει x3 με f(x3)=g(x3) και f(x3)=h(x3) με g(x3) διάφορο h(x3).

φρι · 05-12-12

ποτε θα μάθω να γράφω σε λατεξ;

φρι · 5 Δεκεμβρίου 2012

εστω f(0,+oo) -->R γνησιως αυξουσα.Ν.Α.Ο f(x)<f(3x) , x>0

και μια ακομα..

z1,z2 E C w=( z1+z2)/(z1-z2)
Nδο,1)|z1+z2|² + |z1-z2|² = 2|z1|² + 2|z2|²
2)ΑΝ w E R ν.δ.ο z1=λz2

θε΄λω το δευτερο ερωτημα..το πρωτο το εχω λυσει.. οποιος μπορει..θενκς

Aris90 · 05-12-12

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Αν μία συνάρτηση F (χρησιμοποιώ άλλο σύμβολο για να μην γίνει σύγχυση με την συνάρτηση f της άσκησης) είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει F(x) διάφορο 0 για κάθε x στο Δ τότε η F διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ, δηλαδή F(x)<0 για κάθε x ανήκει Δ ή F(x)>0 για κάθε x ανήκει Δ.

Γνωρίζουμε ότι η f είναι συνεχής και βρίσκουμε ότι f(x) διάφορο 0 για κάθε x στο R. Άρα η f διατηρεί σταθερό πρόσημο. Επειδή ξέρουμε ότι f(π/2)=3>0 και επειδή η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R τότε f(x)>0 για κάθε x στο R.

χιλια ευχαρστω με βοηθησες παρα πολυ

Aris90 · 05-12-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Αυτό δεν ισχύει. Θα μπορούσε για παράδειγμα να είναι
$f(x)=\begin{cases} \eta \mu ^2 x+ \eta \mu x + 1 & x < 0 \\ \eta \mu x- \eta \mu ^2 x-1 & x \geq 0 \end{cases}$
Άλλωστε αν είχες εξαρχής αυτό το αποτέλεσμα, αυτό σημαίνει ότι θα ήξερες πως η f διατηρεί πρόσημο οπότε με βάση την τιμή $f(\pi/2)>0$ θα συμπέραινες ότι $f(x)=g(x) \,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$ και τελειώσαμε. Δεν θα χρειαζόταν δηλαδή ότι γράφεις παρακάτω.

Σωστή είναι η δεύτερη. Γενικά ισχύει το εξής:
Αν $ab=c$ με $c \neq 0$ τότε ισχύει ότι $a\neq 0$ . Αυτό συμβαίνει γιατί αν το α ήταν 0 τότε προφανώς και το c θα ήταν 0, οποίο είναι άτοπο. Κατ' αναλογία έχουμε

$f(x)(f(x)-2\eta\mu x)=\eta\mu^4 x+\eta \mu ^2 x+1$ με $\eta\mu^4 x+\eta \mu ^2 x+1\neq 0$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . Αυτό σημαίνει ότι $f(x)\neq 0$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . Γιατί συμβαίνει αυτό; Γιατί αν υπήρχε $x_0 \in \mathbb{R}$ με $f(x_0)=0$ τότε αν βάλουμε στην σχέση όπου $x$ το $x_0$ θα πάρουμε $0=\eta\mu^4 x_0+\eta \mu ^2 x_0+1$ κάτι το οποίο είναι άτοπο.

Το υπερανάλυσα για να το χωνέψεις αλλά στην πραγματικότητα εκείνο που αρκεί να πεις είναι ότι εφ' όσον η παράσταση στο δεξί μέλος είναι διάφορη του 0 τότε υποχρεωτικά θα είναι και $f(x)\neq 0$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . Τα υπόλοιπα τα έχεις απλά στο μυαλό σου σαν εξήγηση.

Κι εδώ θα προσπαθήσω να είμαι αναλυτικός και ελπίζω να το πετύχω με το παρακάτω παράδειγμα. Ας θεωρήσουμε την συνάρτηση $g:[-1,1] \to \mathbb{R}$ (το διάστημα [-1,1] είναι τυχαίο. Θα μπορούσα να πάρω κάποιο άλλο) για την οποία ισχύει ότι $g^2(x)=x^2+1$ για κάθε $x \in [-1,1]$ (*). Δεν ξέρω τίποτε άλλο γι'αυτήν πέρα απ' το ότι $g(x) \neq 0$ αφού $x^2+1 \neq 0$ . Ούτε αν είναι συνεχής ούτε τίποτα. Αν σου έλεγα να μου βρεις κάποιες τέτοιες συναρτήσεις που ικανοποιούν τις υποθέσεις (*) ποια θα ήταν η απάντησή σου;
Η $g_1(x)=\sqrt{x^2+1}\,\,\,x \in [-1,1]$ ; Βεβαίως!
Η $g_2(x)=-\sqrt{x^2+1}\,\,\,x \in [-1,1]$ ; Γιατί όχι;!
Μήπως η
$g_3(x)=\begin{cases}-\sqrt{x^2+1} & x \in [-1,0) \\ \sqrt{x^2+1} & x \in [0,1]\end{cases}$
Φαίνεται λίγο περίεργη αλλά και αυτή την κάνει την δουλειά. Ας πάρουμε αυτή την τελευταία να την δούμε λίγο προσεκτικά.

Αυτή η συνάρτηση λοιπόν η τελευταία τι χαρακτηριστικά έχει; Ισχύει για παράδειγμα ότι $g_3(x) \neq 0 \,\,\, \forall x \in [-1,1]$ . Φυσικά! Δεν μηδενίζεται πουθενά, φαίνεται άλλωστε. Διατηρεί πρόσημο στο [-1,1]; ΟΧΙ Για άλλες τιμές είναι θετική για άλλες αρνητική.
Τι άλλο μπορούμε να πούμε για την $g_3$ ; Δεν είναι συνεχής σε όλο το διάστημα [-1,1] . Πράγματι η $g_3$ δεν είναι συνεχής στο 0 αφού $\lim_{x \to 0^-}g(x)=-1 \neq 1=\lim_{x \to 0^+}g(x)$ . Αυτές οι τρεις συναρτήσεις λοιπόν όλες ικανοποιούν τις υποθέσεις (*), άρα η απάντηση θα μπορούσε να είναι οποιαδήποτε από αυτές.
Ας προσθέσουμε τώρα στις (*) την επιπλέον υπόθεση της συνέχειας για την g σε όλο το [-1,1] και ας ονομάσουμε τις καινούριες υποθέσεις (**). Τι άλλαξε τώρα; Μπορώ να δεχθώ πλέον την $g_3$ σαν υποψήφια συνάρτηση; Φυσικά και όχι, αφού αυτή δεν είναι συνεχής όπως είδαμε. Η g που ψάχνω πλέον είναι συνεχής και διάφορη του 0 στο διάστημα [-1,1]. Άρα λόγω του γνωστού πορίσματος (σελ 192 πρώτο σχόλιο μετά το θεώρημα Βοlzano ) θα διατηρεί πρόσημο στο [-1,1]. Τι σημαίνει αυτό; Θα είναι είτε $g(x)>0,\,\,\forall x \in [-1,1]$ οπότε $g(x)=g_1(x) \,\,\, x \in [-1,1]$ είτε $g(x)<0,\,\,\forall x \in [-1,1]$ οπότε $g(x)=g(x_2)\,\,\, x \in [-1,1]$ . Χμ αν είχα μαζί με τις υποθέσεις (**) και μία τιμή για την g για κάποιο $x \in [-1,1]$ ίσως να μπορούσα τελικά να καταλήξω στον τύπο της g. Πχ αν μου δίνει $g(0)=1>0$ μπορώ με σιγουριά να πω ότι $g(x)=g_1(x) \,\,\, x \in [-1,1]$ . Άρα λοιπόν και για να απαντήσω επιτέλους στο ερώτημα που έβαλες, η συνέχεια σ'αυτές τις περιπτώσεις είναι καταλυτική. Μου εξασφαλίζει μέσω του πορίσματος του Bolzano ότι μία συνάρτηση με άγνωστο τύπο, που δεν μηδενίζεται πουθενά σε ένα διάστημα και συνεχής, θα βρίσκεται είτε ολόκληρη πάνω από τον άξονα των χ είτε ολόκληρη κάτω απ' αυτόν. Ότι δεν θα σπάει δηλαδή σε ασυνεχή κομμάτια όπως στην περίπτωση της $g_3$

Το ότι διατηρεί πρόσημο το συμπεραίνεις
α) Επειδή έχεις δείξει ότι $f(x) \neq 0$ για κάθε χ πραγματικό.
β) Επειδή η f είναι συνεχής στους πραγματικούς.
Μέχρι τώρα λοιπόν ξέρουμε ότι είτε $f(x)>0 \,\, \forall x \in \mathbb{R}$ είτε $f(x)<0 \,\, \forall x \in \mathbb{R}$
Για να αποφασίσουμε τι από τα δύο ισχύει τελικά πρέπει οπωσδήποτε να ξέρω την τιμή της f σε ένα οποιοδήποτε σημείο. Το πρόσημο της τιμής αυτής θα είναι προφανώς και το πρόσημο όλων των τιμών της f (αφού είπαμε η f διατηρεί πρόσημο). Εδώ έχουμε $f(\pi/2)=3>0$ άρα υποχρεωτικά $f(x)>0 \,\, \forall x \in \mathbb{R}$ .
Απορίες;

με καλυψες πληρως

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Διάσημο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος