Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[Θάλεια]

x^4-4x^3+14x^2+20x+25=0 ποιος μπορεί να το λύσει

ρίζες θες δηλαδή?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[chris faraday]

ναι .. καλα αν το λυσεις οτι θεσ !!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Θάλεια]

ναι .. καλα αν το λυσεις οτι θεσ !!

Βασικά δεν έχει πραγματικές ρίζες!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[chris faraday]

ναι δεν εχει !!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Θάλεια]

ναι δεν εχει !!

Θες μιγαδικές?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[chris faraday]

τις εχεις βρει ??

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[alchemia]

Λίγο που προλαβα να την κοιταξω εχω καταληξει σε αθροισμα τετραγωνων και θετικου αριθμου...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

x^4-4x^3+14x^2+20x+25=0 ποιος μπορεί να το λύσει

Θεωρώ την συνάρτηση f(x)=x^4-4x^3+14x^2+20x+25. Η συνάρτηση f ως πολυωνυμική είναι συνεχής και ν φορές παραγωγίσιμη στο R όπου ν ανήκει Ν*. Επομένως:

f΄(x)=4x^3-12x^2+24x+20
f΄΄(x)=12x^2-24x+24=12(x^2-2x+2)=12[(x-1)^2+1]

Επειδή f΄΄ συνεχής και f΄΄(x)>0 για κάθε x στο R, τότε η f είναι κυρτή στο R και η f΄ γνησίως αύξουσα στο R. Συνεπώς η f΄ είναι 1-1 και αντιστρέψιμη συνάρτηση.

Επειδή lim(x->-άπειρο)f΄(x)=-άπειρο, lim(x->+άπειρο)f΄(x)=+άπειρο και η f΄ είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R τότε το πεδίο τιμών της είναι f΄(R)=R. Άρα υπάρχει μοναδική ρίζα της f΄ στο R αφού είναι 1-1. Πιο συγκεκριμένα έχουμε f΄(-1)=-20<0 και f΄(0)=20>0. Η f΄ είναι συνεχής στο [-1,0] και f΄(-1)f΄(0)<0. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ξ στο (-1,0) τέτοιο ώστε f΄(ξ)=0 και επειδή η f΄ έχει μοναδική ρίζα τότε αυτό είναι μοναδικό. Επειδή η f΄ είναι γνησίως αύξουσα στο R έχουμε:

x>ξ => f΄(χ)>f΄(ξ) => f΄(χ)>0
χ<ξ => f΄(x)<f΄(ξ) => f΄(x)<0

Η f είναι συνεχής στο (-άπειρο,ξ], παραγωγίσιμη στο (-άπειρο,ξ) και ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x στο (-άπειρο,ξ). Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-άπειρο, ξ). Η f είναι συνεχής στο [ξ,+άπειρο), παραγωγίσιμη στο (ξ,+άπειρο) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο (ξ,+άπειρο). Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ξ,+άπειρο).

Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (-άπειρο,ξ) με lim(x->-άπειρο)f(x)=+άπειρο, οπότε η εικόνα του (-άπειρο,ξ) είναι f((-άπειρο,ξ))=(f(ξ),+άπειρο). Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (ξ,+άπειρο) με lim(x->+άπειρο)f(x)=+άπειρο, οπότε η εικόνα του (ξ,+άπειρο) είναι f((ξ,+άπειρο))=(f(ξ),+άπειρο). Άρα η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο ξ και το πεδίο τιμών της είναι f(R)=[f(ξ),+άπειρο), δηλαδή f(x)>=f(ξ) για κάθε x ανήκει R και η ισότητα ισχύει μόνο για x=ξ.

Έχουμε:

f΄(ξ)=0 => 4ξ^3-12ξ^2+24ξ+20=0 => ξ^3=3ξ^2-6ξ-5
f(ξ)=ξ^4-4ξ^3+14ξ^2+20ξ+25=ξ^4-4(3ξ^2-6ξ-5)+14ξ^2+20ξ+25=ξ^4+2ξ^2+44ξ+45 όπου ξ ανήκει (-1,0)

Θεωρώ την συνάρτηση g(x)=x^4+2x^2+44x+45 όπου x ανήκει [-1,0]. Η g είναι συνεχής και παραγωγίσμη στο [-1,0] με παράγωγο g΄(x)=4x^3+4x+44=4(x^3+x+11)

Έχουμε -1<x<0 => -1<x^3<0. Συνεπώς -2<x^3+x<0 => 9<x^3+x+11<11 => 36<g΄(x)<44.

g΄(x)>36>0 => H g είναι συνεχής στο [-1,0], παραγωγίσιμη στο (-1,0) και g΄(x)>0 για κάθε x στο (-1,0). Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο [-1,0]. Έχουμε g(-1)=4 και g(0)=45. Επομένως:

-1<χ<0 => g(-1)<g(x)<g(0) => 4<g(x)<45.

Άρα για κάθε x στο (-1,0) ισχύει g(x)>4>0. Επομένως ισχύει f(ξ)>0 αφού ξ ανήκει (-1,0) και επειδή f(x)>=f(ξ) τότε f(x)>0 για κάθε x στο R που σημαίνει ότι η εξίσωση f(x)=0 δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Η εξίσωση f(x)=0 δεν έχει πραγματικές ρίζες και ισχύει f(x)>0 για κάθε x ανήκει R.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Θάλεια]

Και oι μιγαδικές λύσεις θα είναι της μορφής( τώρα θυμήθηκα να τις περάσω ) :






Αν κάποιος βρήκε άλλες ρίζες ας με διορθώσει

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[rebel]

Ναι αυτές είναι οι ρίζες, οι οποίες όμως δεν είναι και τόσο εύκολο να βρεθούν στην γενική περίπτωση που έχω μια τεταρτοβάθμια χωρίς προφανή ακέραια ρίζα ώστε να μπορώ να εφαρμόσω Horner και τα γνωστά τσαλιμάκια

https://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_function

Οπότε για να μην πιαστεί το χεράκι μας συστήνω

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ilias77]

Καλημέρα σας και καλα χριστουγεννα σε ολους σας. Συγκεντρωνω 2 συνδιαστικές ασκησεις μαθηματικων που τις θεωρω πολυ καλες και θα ηθελα λιγο σπροξημο και στις δυο αν μπορουσατε φυσικα.

ΑΣΚΗΣΗ 1:

Εστω η συνεχης συναρτηση f:

--->R και οι μιγαδικοι z1= e^a + if(a) και z2= f(b)+ie^b. Aν IM(z1)*Re(z2)

0 και

νδο:

a)

b) H Cf τεμνει τον αξονα χ'χ σε ενα τουλαχιστον σημειο με τετμημενη χο ε(α,β)

ΑΣΚΗΣΗ 2:

Eστω οι συναρτησεις f(x)= 1/x kai g(x)= e^x

a) να βρειτε την συναρτηση h=fog
b) νδο. η h αντιστρεφεται και να βρειτε την ανιστροφη της.
g) νδο. υπαρχει μοναδικο χο ε(1,2) ωστε

οποιος μπορει ας βοηθησει σας ευχαριστω

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[vavlas]

Καλημέρα σας και καλα χριστουγεννα σε ολους σας. Συγκεντρωνω 2 συνδιαστικές ασκησεις μαθηματικων που τις θεωρω πολυ καλες και θα ηθελα λιγο σπροξημο και στις δυο αν μπορουσατε φυσικα.

ΑΣΚΗΣΗ 1:

Εστω η συνεχης συναρτηση f:

--->R και οι μιγαδικοι z1= e^a + if(a) και z2= f(b)+ie^b. Aν IM(z1)*Re(z2)

0 και

νδο:

a)

b) H Cf τεμνει τον αξονα χ'χ σε ενα τουλαχιστον σημειο με τετμημενη χο ε(α,β)

ΑΣΚΗΣΗ 2:

Eστω οι συναρτησεις f(x)= 1/x kai g(x)= e^x

a) να βρειτε την συναρτηση h=fog
b) νδο. η h αντιστρεφεται και να βρειτε την ανιστροφη της.
g) νδο. υπαρχει μοναδικο χο ε(1,2) ωστε

οποιος μπορει ας βοηθησει σας ευχαριστω

Απλές είναι και οι δύο.
Στην πρώτη αν ξεκινήσεις από την σχέση με τα μέτρα την δουλέψεις λίγο και αντικαταστήσεις θα βγει εύκολα.
Το δεύτερο ερώτημα είναι απλό bolzano.
Χρειάζεσαι υπόδειξη και για την δεύτερη;
Απλή εφαρμογή είναι.
Η πρώτη πάντως πολύ ωραία.
Από τα θέματα του Μπάρλα δεν είναι;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[c.k]

στην ασκηση 1 στη σχεση

αν κανουμε τις πραξεις δηλ οπου z1= e^a + if(a) και z2= f(b)+ie^b και εφαρμόζουμε την ιδιότητα των μιγαδικων (οταν ειναι σε απολυτο και στο τετραγωνο δηλαδη ειναι ίσο με τον μιγαδικό επι τον συζυγη του) καταληγουμε στη σχεση f(a) e^b + f(b) e^a = 0 και τελικά στην

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[frk007]

Έχω απορία σχετικά με ένα ολοκλήρωμα: \int \sqrt{1-{x}^{2}}. Εφάρμοσα τη μέθοδο αντικατάστασης και έθεσα x=(1/2)ημt. Αλλά όταν πάω στο τέλος να επαναφέρω τη μεταβλητή x έχω πρόβλημα με το τοξημ(2x). Μπορείτε να μου επισημάνετε τον τρόπο καθώς και το τελικό αποτέλεσμα?? Σημειωτέον ότι εν συνεχεία πρέπει να υπολογιστεί το \int_{0}^{2\sqrt{2}}\sqrt{1-{x}^{2}}, άρα πρέπει υποχρεωτικά να επανέλθουμε στη μεταβλητή x. Θα εκτιμούσα ιδιαιτέρως κάθε καθοδήγηση ή συμβουλή εκ μέρους σας!!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Dias]

Έχω απορία σχετικά με ένα ολοκλήρωμα:. Εφάρμοσα τη μέθοδο αντικατάστασης και έθεσα x=(1/2)ημt. Αλλά όταν πάω στο τέλος να επαναφέρω τη μεταβλητή x έχω πρόβλημα με το τοξημ(2x). Μπορείτε να μου επισημάνετε τον τρόπο καθώς και το τελικό αποτέλεσμα?? Σημειωτέον ότι εν συνεχεία πρέπει να υπολογιστεί το , άρα πρέπει υποχρεωτικά να επανέλθουμε στη μεταβλητή x. Θα εκτιμούσα ιδιαιτέρως κάθε καθοδήγηση ή συμβουλή εκ μέρους σας!!!

Να κάνω μια προσπάθεια? (Αν γράφω άκυρα, συγχωρείστε με). Και για να μου βγεί το ορισμένο έκανα το όριο ολοκλήρωσης από 2√2̅ σε √2̅/2.

Καλά χριστούγεννα...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[frk007]

Σ' ευχαριστώ πολύ για την απάντηση και τις ευχές!! Καλά και ευτυχισμένα Χριστούγεννα!!!!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Bemanos]

καλη πρωτοχρονια σε ολους! μια μικρη βοηθεια [να βρεθουν ολες οι δυνατες τιμες της παραστασης Α= με n ανηκει φυσικους

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Dias]

καλη πρωτοχρονια σε ολους! μια μικρη βοηθεια [να βρεθουν ολες οι δυνατες τιμες της παραστασης Α= με n ανηκει φυσικους

Κάνε πραγματικούς τους παρονομαστές, θα δεις φεύγουν πολλά, καταλήγεις σε παράσταση εύκολη με iⁿ . Βάζεις n=4k, n=4k+1, n=4k+2, n=4k+3.
Χρόνια Πολ²ά...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[rebel]

Παρατήρησε ότι και . Αν θυμηθείς τι ισχύει για τις δυνάμεις του i , η συνέχεια είναι εύκολη

Edit: με πρόλαβαν

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Bemanos]

Παρατήρησε ότι και . Αν θυμηθείς τι ισχύει για τις δυνάμεις του i , η συνέχεια είναι εύκολη

Edit: με πρόλαβαν

Κάνε πραγματικούς τους παρονομαστές, θα δεις φεύγουν πολλά, καταλήγεις σε παράσταση εύκολη με iⁿ . Βάζεις n=4k, n=4k+1, n=4k+2, n=4k+3.
Χρόνια Πολ²ά...

ευχαριστω πολυ

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.