Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

coheNakatos · 28-01-10

Αρχική Δημοσίευση από angelica_pickles:
παιδια θα ηθελα μια βοηθεια..

γνωριζω οτι η εικονα του z κινειται πανω στην υπερβολη $y^2 - x^2 = 1$
η f συνεχης στο ΠΟ: $(-\infty , -1]\cup[1 , +\infty)$
$z= f(x) +xi$ και $f(\sqrt{2})=1$
η f διατηρει το προσημο της στο $\Delta= (1 , +\infty)$
πρεπει να αποδειξω οτι $f(x)=\sqrt{x^2 - 1}$ , με $x \in [1 , +\infty)$

πηρα το μετρο του z αλλα δεν μπορεσα να βρω κατι...εχει καποιος καμια ιδεα??

Απο το γεγονος οτι ανηκει στην υπερβολη βγαινει αυτο που θελεις βαζοντας οπου y=x , x=f(x) ..

angelica_pickles · 28 Ιανουαρίου 2010

ωχ ναι...:/ ευχαριστω ρε συ!
αλλα γιατι πρεπει το χ να $\in [1, +\infty)$ και οχι και στο $(-\infty, -1]$ ??

panagiwtisalap · 29-01-10

παιδια θα ηθελα μια βοηθεια σε αυτες τις δυο ασκησεις

https://i.imagehost.org/view/0822/img065

https://f.imagehost.org/view/0240/img066

χρηστοσ17 · 30-01-10

Αρχική Δημοσίευση από panagiwtisalap:
παιδια θα ηθελα μια βοηθεια σε αυτες τις δυο ασκησεις

https://i.imagehost.org/view/0822/img065

https://f.imagehost.org/view/0240/img066

προσπαθησε μονο σου ειναι ευκολεσ στην πρωτη θετεισ,και σττο 2 με ορισμο

synchronicity · 1 Φεβρουαρίου 2010

Έγραψα χθες στο φροντιστηριο και τα πήγα πολύ καλά νομίζω. Μάλιστα έλυσα ένα ερώτημα που κανείς αλλος δεν έλυσε. Η βλακέια είναι οτι μου φάνηκε έυκολο. Όμως ένας που λέει ότι σκέφτηκε το ίδιο μου λέει ότι είναι λάθος. Μπορεί κάποιος να μου πέι αν η λύση μου είναι σωστή για το ερώτημα (ε);

Δυστυχώς δεν πρόλαβα να απαθανατίσω τις λύσεις μου για όλο το θέμα αν και νομίζω οτι θα καταλάβετε τι έχω κάνει.
Εν τω μεταξύ απο τη βιασύνη μου να τελειώσω δεν ανέφερα οτι κάνω Rolle.....

Εχω θεωρήσει απο το (γ) ερώτημα την h(x)=f(x)/x

Θέμα: https://img9.imageshack.us/i/01022010271.jpg/

Λύση: https://img194.imageshack.us/img194/5171/31012010268.jpg

Και συνέχεια: https://img5.imageshack.us/i/31012010269.jpg/

Ευχαριστώ πολύ!

Ωχ εχω κανει λάθος παραγωγιση!!!!!! Αν είναι δυνατόν!!!!

nikolas17 · 01-02-10

Νομίζω είναι σωστό. Γιατί δεν σταματάς στο σημείο του αποτελέσματος του θεωρήματος Rolle ότι h''(ξ) = 0 το οποίο είναι άτοπο εφόσον f''(x) =/ 0 ?

synchronicity · 01-02-10

Ναι, έχεις δίκιο. Το θέμα είναι ότι δεν είχα την ψυχραιμία να δώ ότι η f kai h h(x) είναι το ίδιο πράγμα. Βλακεία. Και παραγώγισα και λάθος!!
Ευχαριστώ πολύ.

asap · 01-02-10

Αυτο το ολοκλήρωμα πώς λύνεται? Σ(e^x)συν^2χdx

exc · 01-02-10

Βιάζομαι πάρα πολύ αυτή τη στιγμή, κατά τύχη πέρασα και από το forum, οπότε δεν μπορώ εγώ να στη λύσω αναλυτικά.
Θα σου πω ότι χρειάζεται να κάνεις παραγοντική ολοκλήρωση και καταλήγεις σε αυτό: $-\frac{1}{10} e^x (-5+cos(2x)+2sin(2x))$ .

serfaon · 01-02-10

ναι αλλα το οτι f'(x)=f(x)/x ισχυει μονο για το γ και το Χο..οχι για το διαστημα που εχεις θεσει..και εγω το ιδιο διαγωνισμα εγραφα στο φροντιστηριο που πας..δεν παιζει να λυνεται με rolle και ατοπο..και εγω αυτο εκανα αλλα μαλλον ειναι λαθος

nikolas17 · 01-02-10

Για να ξέρετε. Κάθε φορά που θέλω να δείξω ότι έχω το πολύ ή ακριβώς Ν ρίζες, υποθέτω ότι έχω Ν+1 ρίζες και με θεώρημα Rolle οδηγούμαι σε άτοπο.

Τουλάχιστον έτσι θυμάμαι ότι μας τα έλεγε ο καθηγητής μας :hmm:

exc · 02-02-10

Τώρα έχω λίγο χρόνο...
Λοιπόν:
$J=\int e^xcos^2(x)dx=\int (e^x)'cos^2(x)dx=e^xcos^2(x)-\int e^x(cos^2(x))'dx=e^xcos^2(x)+\int e^xsin(2x)dx=e^xcos^2(x)+I$

Υπολογισμός Ι:
$I=\int e^xsin(2x)dx=\int (e^x)'sin(2x)dx=e^xsin(2x)-\int e^x(sin(2x))'dx=e^xsin(2x)-2\int e^xcos(2x)dx=e^xsin(2x)-2\int (e^x)'cos(2x)dx=e^xsin(2x)-2[e^xcos(2x)-\int e^x(cos(2x))'dx]=e^xsin(2x)-2[e^xcos(2x)+2\int e^xsin(2x)dx]=e^xsin(2x)-2[e^xcos(2x)+2I]$
Άρα:
$I=e^xsin(2x)-2[e^xcos(2x)+2I]\Leftrightarrow I=\frac{1}{5}e^x[sin(2x)-2cos(2x)]$

Και αντικαθιστώντας το I στην πρώτη-πρώτη εξίσωση, έχουμε: $J=\frac{e^x}{5}[2+cos^x+sin(2x)]$
Και αν θέλουμε γνωρίζοντας ότι $cos(2x)=cos^2x-sin^2x$ το φτάνουμε και στην μορφή που στο έδωσα προηγουμένως.

Επίσης χρησιμοποίησα τις ταυτότητες: $sin(2x)=2sinxcosx$ και $sin^2x+cos^2x=1$

Ελπίζω να μη μου ξέφυγε τίποτα. Το αποτέλεσμα πάντως είναι σίγουρα σωστό.

ΥΓ: $()'=\frac{d}{dx}$
ΥΓ2:Αν κάτι δεν κατάλαβες, ρώτα.

leobakagian · 02-02-10

Μια σύνθεση "1-1" συναρτήσεων ειναι πάντα "1-1"?

mixas!! · 02-02-10

Να μελετησετε και να παραστησετε γραφικα τη συναρτηση f(x)=xlnx

Τα βηματα τα ξερω απλα εχω καποια ''μικρο'' κενα
Λύση

Π.Ο: Χ>0
Συνεχής ςω πολλαπλασιασμος πολυωνυμικων
Πως εξεταζουμε αν είναι άρτια ή περιττή?δεν μας το ειπε..
f(-x)=(-x)ln(-x)=-xln(-x)

$\lim_{+00}(xlnx)=\lim_{+00}(x)'(lnx)'=\lim_{+00}\frac{1}{x}=0<img src=$ Oρια:
στο +00 = 0
στο -00 = 0

f'(x)=lnx+1->πως το μηδενίζω
f''=1/x=> πινακας προσημων???
πφφφφφφφφφφ....μπλιζ ας με κατατοπισει καποιος!!πλιζ" />" />

exc · 02-02-10

Π.Ο: Χ>0
Συνεχής ςω πολλαπλασιασμος πολυωνυμικων
Πως εξεταζουμε αν είναι άρτια ή περιττή?δεν μας το ειπε..

Σωστό το π.ο.
Είναι συνεχής ως γινόμενο συνεχών, αλλά η ln(x) δεν είνα πολυωνυμική.
Εξ' ορισμού:
Άρτια λέμε τη συνάρτηση που έχει άξονα συμμετρίας τον y'y και ισχύει δηλαδή f(-x)=f(x)
Περιττή λέμε τη συνάρτηση που έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων και δηλαδή ισχύει f(-x)=-f(x)
Για να εξετάσεις αν είναι άρτια η περιττή, βάζεις όπου έχεις χ το -χ και κάνεις πράξεις μέχρι να φτάσεις σε κάποιο από τα παραπάνω αποτελέσματα.
Μία συνάρτηση δεν είναι κατ' ανάγκην άρτια ή περιττή.

$\lim_{+00}(xlnx)=\lim_{+00}(x)'(lnx)'=\lim_{+00}\frac{1}{x}=0$
Oρια:
στο +00 = 0
στο -00 = 0

Πώς είναι δυνατόν να βρίσκεις όριο στο -άπειρο, εφόσον η συνάρτηση ορίζεται μόνο για θετικά χ;

f'(x)=lnx+1->πως το μηδενίζω;

$lnx=-1\Leftrightarrow e^{lnx}=e^{-1} \Leftrightarrow x=e^{-1}$

f''=1/x=> πινακας προσημων???

Ε, προφανώς στο π.ο. της f η f'' είναι πάντα θετική, άρα η f έχει σε όλο το π.ο. τα κοίλα άνω.
Από τον μηδενισμό της f' στο e^-1 δεδομένου ότι έχουμε συνεχώς τα κοίλα άνω μας δείχνει ότι εκεί εμφανίζεται ένα ελάχιστο.
Αν πάρεις το όριο της f στο 0 θα το βρεις 0.

Άρα: Η f ξεκινά από το (0,0), κατεβαίνει με τα κοίλα άνω μέχρι το ελάχιστο στο χ=e^-1 όπου f(x)=-e^-1 και μετά αυξάνεται με τα κοίλα άνω μέχρι το +άπειρο.

agiostimotheos · 02-02-10

Έστω συνεχής συνάρτηση f:R->R για την οποία ισχύει
f^2(x)-2f(x)ημχ=(ημχ)^4 + (ημχ)^2 + 1 για κάθε χΕR με f(π/2)=3
α) ν.α.ο. η εφ διατηρεί σταθερό πρόσιμο το οποίο και να βρείτε
β) Να βρείτε το f(0)
γ) ν.α.ο. η g(x)= f(x)-ημχ διατηρεί σταθερό πρόσιμο τα οποίο και να βρείτε
δ) να υπολογίσεται το όριο Α=limf(x)/x x-->+apeiro

την μισοέλλυσα αλλά δεν είμαι καθόλου σίγουρος

ύλη μέχρι πριν τις παραγώγους!!

exc · 3 Φεβρουαρίου 2010

Αρχική Δημοσίευση από agiostimotheos:
Έστω συνεχής συνάρτηση f:R->R για την οποία ισχύει
f^2(x)-2f(x)ημχ=(ημχ)^4 + (ημχ)^2 + 1 για κάθε χΕR με f(π/2)=3
α) ν.α.ο. η εφ διατηρεί σταθερό πρόσιμο το οποίο και να βρείτε
β) Να βρείτε το f(0)
γ) ν.α.ο. η g(x)= f(x)-ημχ διατηρεί σταθερό πρόσιμο τα οποίο και να βρείτε
δ) να υπολογίσεται το όριο Α=limf(x)/x x-->+apeiro

την μισοέλλυσα αλλά δεν είμαι καθόλου σίγουρος

ύλη μέχρι πριν τις παραγώγους!!

Λύση
Αρχικά δες το γράφημα, ίσως σε βοηθήσει σε αυτά που θα σου πω στη συνέχεια:

α)Νομίζω ότι οι παραγοντοποιήσεις των δύο μελών της εξίσωσης είναι προφανείς.
Καταλήγουμε σε δύο ανεξάρτητους κλάδους για την f.
f(x)=(sinx+1)^2-sinx
και f(x)=-(sinx-1)^2-sinx.
Μετά από μικρή διερεύνηση βλέπουμε ότι η πρώτη είναι συνεχώς θετική, ενώ η δεύτερη συνεχώς αρνητική.
Η "μικρή διερεύνηση" πιο αναλυτικά: Καμία από τις δύο f δεν μηδενίζεται (f(x)=0 δεν έχει ρίζες για κανέναν από τους δύο τύπους της f) και επειδή είναι συνεχείς, διατηρούν πρόσημο. Παίρνουμε μία τυχαία τιμή για την πρώτη και βλέπουμε ότι μας βγάζει θετικό αποτέλεσμα και μία τιμή για τη δεύτερη και βλέπουμε ότι μας βγάζει αρνητικό αποτέλεσμα.
Όμως, μας έχει δοθεί ότι f(π/2)=3, επομένως η f είναι η πρώτη: f(x)=(sinx+1)^2-sinx.
Ήδη εξήγησα ότι διατηρεί πρόσημο και για ποιο λόγο.

β)f(0)=(sin0+1)^2-sin0=1

γ)g(x)=f(x)-sinx=f(x)=(sinx+1)^2-2sinx=(sinx)^2+1>=1>0

δ)Αυτό δεν ξέρω πώς να στο πω με τρόπο που σίγουρα θα καταλάβεις.
Εν πάσει περιτώσει θα σου πω και αν δεν καταλάβεις το λες και ίσως βοηθήσει κανένας άλλος.
f(x)/x=((sinx+1)^2-sinx)/x=((sinx)^2+sinx+1)/x.
Ο αριθμητής είναι μία φραγμένη συνάρτηση, δηλαδή έχει ένα μέγιστο και ένα ελάχιστο.
Όταν μία φραγμένη συνάρτηση πολλαπλασιάζεται με μία μηδενική, δηλαδή μία που τείνει στο 0, όπως εδώ η 1/χ, τότε το αποτέλεσμα είναι μία νέα μηδενική συνάρτηση. Επομένως το ζητούμενο όριο είναι 0.
Δες την f(x)/x:

agiostimotheos · 03-02-10

ναι ρε συ όμως δεν είναι και τόσο προφανείς οι παραγοντοποιήσεις
τον τρόπο τον ξέρω και τα συμπερ'ασματα που πρέπει να βγάλω
δες που φτάνω εγώ

δημιουργώ αναπτύγματα τετραγώνων και στα δυο μέλη προσθέτωντας το (ημχ)^2
και έχω (f(x)-sinx)^2= [(sinx)^2+1]^2
μετά τι συμπαιρένω και τι διερεύνηση κάνω?

για το όριο οι πεφραγμένες είναι εκτός ύλης, εγώ πως πρέπει να απαντήσω σε αυτό το σκέλος?

exc · 03-02-10

Αρχική Δημοσίευση από agiostimotheos:
ναι ρε συ όμως δεν είναι και τόσο προφανείς οι παραγοντοποιήσεις
τον τρόπο τον ξέρω και τα συμπερ'ασματα που πρέπει να βγάλω
δες που φτάνω εγώ

δημιουργώ αναπτύγματα τετραγώνων και στα δυο μέλη προσθέτωντας το (ημχ)^2
και έχω (f(x)-sinx)^2= [(sinx)^2+1]^2
μετά τι συμπαιρένω και τι διερεύνηση κάνω?

για το όριο οι πεφραγμένες είναι εκτός ύλης, εγώ πως πρέπει να απαντήσω σε αυτό το σκέλος?

Αφού την έχεις κάνει και μόνος σου την παραγοντοποίση, γιατί λες ότι δεν είναι προφανής;
Από εκεί που έφτασες παίρνεις τις ρίζες και στα δύο μέλη, φεύγουν τα τετράγωνα και βάζεις απόλυτα.
|f(x)-sinx)|= |(sinx)^2+1|. Άρα f(x)-sinx= (sinx)^2+1 ή f(x)-sinx)= -(sinx)^2-1και εάν κάνεις μερικές πράξεις φτάνεις και στις σχέσεις που σου έγραψα προηγουμένως (δες ότι είναι πράγματι ίδιες):
f(x)=(sinx+1)^2-sinx
και f(x)=-(sinx-1)^2-sinx.
Από εκεί και πέρα σου έγραψα αναλυτικά γιατί η f διατηρεί πρόσημο και γιατί αυτό είναι θετικό.
"Συνέχεια" έχεις κάνει έτσι δεν είναι;
Πες μου τι ακριβώς δεν κατάλβες, για να γίνω πιο συγκεκριμένος.

Τώρα όσον αφορά στο όριο που χρησιμοποίησα τη φραγμένη συνάρτηση.
Γιατί λες ότι δεν το κάνετε; Το θεώρημα "σάντουιτς" έχει βγει από την ύλη;
Όχι, από όσο ξέρω. Επομένως έχεις ότι f(x)=(sinx)^2+sinx+1, όπως σου εξήγησα ήδη. Αφού έχεις ημίτονα που παίρνουν τιμές από -1 έως 1 είναι προφανές ότι η f έχει μία μέγιστη Μ και μία ελάχιστη τιμή m. Έχουμε λοιπόν: m=<f(x)=<M και διαιρώντας με το χ έχουμε: m/x=<f(x)/x=<M/x, παίρνοντας το όριο για χ->άπειρο, έχεις m/x->0 και M/x->0, επομένως δεν μπορεί παρά να είναι f(x)/x->0 το ζητούμενο όριο.

coheNakatos · 03-02-10

Αρχική Δημοσίευση από serfaon:
ναι αλλα το οτι f'(x)=f(x)/x ισχυει μονο για το γ και το Χο..οχι για το διαστημα που εχεις θεσει..και εγω το ιδιο διαγωνισμα εγραφα στο φροντιστηριο που πας..δεν παιζει να λυνεται με rolle και ατοπο..και εγω αυτο εκανα αλλα μαλλον ειναι λαθος

Για μενα ειναι σωστη η κοπελα , το λαθος θα την να παραγωγισεις ετσι οπως ειναι γιατι ΔΕΝ εχεις τυπο αλλα εξισωση !

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος