Μήπως δίνει και κάποιο άλλο στοιχείο η άσκηση; Π.Χ. f συνεχής στο (0,1);Έκανα μια σκέψη αλλά πήρα ως δεδομένο τη συνέχεια της f στο (0,1).
θεωρώ συνάρτηση h(x)=f(x) - 1/2
έχω: h(1) = f(1) -1/2
h(0) = f(0)-1/2
άρα h(1) + h(0) = f(1) + f(0) - 1 = 0
άρα h(1) = -h(0) επομένως h(1) * h(0) < 0 και h συνεχής στο (0,1).
Από Bolzano έχω χ1 στο (0,1) τέτοιο ώστε h(x1) = 0 => f(x1) = 1/2
Στο [0,1] η f θα παρουσιάζει ένα ολικό μέγιστο. Έστω ότι αυτό είναι το f(x1).
Τότε: f(0) < 1/2, f(1) < 1/2 και συνεπώς f(0) + f(1) < 1 το οποίο είναι άτοπο
Άρα υπάρχει χ2 στο (0,1) τέτοιο ώστε f(x2) > f(x1) => f(x2) > 1/2
Έχω: f(x1) = 1/2 => 2f(x1) = 1
και f(x2) > 1/2 => -f(x2) < -1/2
Άρα 2f(x1) - f(x2) < 1/2
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.