Βοήθεια άσκηση ανάλυσης

MaryMagn · 10-02-15

Καλημέρα, είμαι φοιτήτρια εφαρμοσμένης πληροφορικής στην Ιταλία, δυστυχώς στο λύκειο ήμουν στην θεωρητική και έχω απίστευτα κενά στα μαθηματικά και τώρα δυσκολεύομαι, υπάρχει κάποιος που μπορεί να μου λύσει αυτή την άσκηση αναλυτικά για να καταλάβω τη μέθοδο και να μπορέσω να λύσω και τις υπόλοιπες παρόμοιες; Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

*Η άσκηση
Να βρεθεί η μέγιστη τιμή και το διπλό ολοκλήρωμα της συνάρτησης: f(x,y)= y^2 -y√x + x^2
σε πεδίο του καρτεσιανού επιπέδου ορισμένο από τις ανισώσεις: 1/2 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ √x

rebel · 11 Φεβρουαρίου 2015

Αρχική Δημοσίευση από MaryMagn:
Καλημέρα, είμαι φοιτήτρια εφαρμοσμένης πληροφορικής στην Ιταλία, δυστυχώς στο λύκειο ήμουν στην θεωρητική και έχω απίστευτα κενά στα μαθηματικά και τώρα δυσκολεύομαι, υπάρχει κάποιος που μπορεί να μου λύσει αυτή την άσκηση αναλυτικά για να καταλάβω τη μέθοδο και να μπορέσω να λύσω και τις υπόλοιπες παρόμοιες; Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

*Η άσκηση
Να βρεθεί η μέγιστη τιμή και το διπλό ολοκλήρωμα της συνάρτησης: f(x,y)= y^2 -y√x + x^2
σε πεδίο του καρτεσιανού επιπέδου ορισμένο από τις ανισώσεις: 1/2 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ √x

Για την μέγιστη τιμή ακολουθώντας τον τρόπο που αναφέρεται στο παράδειγμα εδώ σελ 30...
Η συνάρτηση $f(x,y)$ είναι ορισμένη και διαφορίσιμη (υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι της f ως προς x και y και είναι συνεχείς) στο χωρίο ABΓΔ του παρακάτω σχήματος, που περικλείεται από τις ευθείες $x=1/2,x=1,y=0$ και την γραμμή με εξίσωση $y=\sqrt{x}$

Το μέγιστο της f στο χωρίο αυτό θα αναζητηθεί ανάμεσα στα
Ι) Κρίσιμα σημεία (εσωτερικά σημεία της f στο χωρίο ΑΒΓΔ, που οι μερικές παράγωγοι μηδενίζονται)
ΙΙ) Συνοριακά σημεία - που βρίσκονται πάνω στα τμήματα ΑΒ,ΒΓ,ΓΔ,ΔΑ. Υπολογίζω το μέγιστο και το ελάχιστο της f σε καθένα απ' αυτά τα τμήματα.
Στο τέλος συγκρίνω τις τιμές της f στα σημεία Ι) και ΙΙ) και επιλέγω την μέγιστη ( αν ήθελα την ελάχιστη τιμή της f θα επέλεγα την ελάχιστη απ' τις παραπάνω τιμές). Εκεί η f παρουσιάζει μέγιστο.
Ι) Οι μερικές παράγωγοι ( κρατάω τη μία μεταβλητή σταθερή και παραγωγίζω ως προς την άλλη μεταβλητή) είναι $f_x(x,y)=2x-\frac{y}{2\sqrt{x}},\,\,f_y(x,y)=2y-\sqrt{x}$ οπότε λύνοντας το σύστημα
$\begin{cases}f_x(x,y)=0\\f_y(x,y)=0\end{cases}$
προκύπτει $(x,y)=\left(\frac{1}{8},\frac{1}{4\sqrt{2}}\right)$ που όμως βρίσκεται εκτός του χωρίου ΑΒΓΔ. Άρα δεν έχω κανένα κρίσιμο σημείο οπότε αναζητώ το μέγιστο στην περίπτωση ΙΙ αμέσως παρακάτω.

II) Στο τμήμα ΑΒ είναι $y=0$ οπότε η συνάρτηση γίνεται $f(x,0)=x^2$ . Η τελευταία είναι μία συνάρτηση του $x$ ορισμένη για $\frac{1}{2} \leq x \leq 1$ . Το ελάχιστο αυτής παρουσιάζεται για $x=\frac{1}{2}$ και είναι $f\left(\frac{1}{2},0\right)=\frac{1}{4}\,\,(1)$ και το μέγιστο παρουσιάζεται για $x=1$ και είναι $f\left(1,0\right)=1\,\,(2)$

Στο τμήμα ΒΓ είναι $x=1$ οπότε η συνάρτηση γίνεται $f(1,y)=y^2-y+1$ . Η τελευταία είναι μία συνάρτηση του $y$ ορισμένη για $0 \leq y \leq 1$ ( το y πάει μέχρι 1 γιατί η τεταγμένη του σημείου Γ είναι 1 ). Το ελάχιστο αυτής παρουσιάζεται για $y=\frac{1}{2}$ και είναι $f\left(1,\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}\,\,(3)$ και το μέγιστο παρουσιάζεται για $y=0$ και $y=1$ και είναι $f\left(1,0\right)=f\left(1,1\right)=1\,\,(4).$

Στο τμήμα ΓΔ είναι $y=\sqrt{x}$ οπότε η συνάρτηση γίνεται $f\left(x,\sqrt{x}\right)=x^2$ . Η τελευταία είναι μία συνάρτηση του $x$ ορισμένη για $\frac{1}{2} \leq x \leq 1$ . Το ελάχιστο αυτής παρουσιάζεται για $x=\frac{1}{2}$ και είναι $f\left(\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{4}\,\,(5)$ και το μέγιστο παρουσιάζεται για $x=1$ και είναι $f\left(1,1\right)=1\,\,(6)$ .

Στο τμήμα ΑΔ είναι $x=\frac{1}{2}$ οπότε η συνάρτηση γίνεται $f\left(\frac{1}{2},y\right)=y^2-\frac{y}{\sqrt{2}}+\frac{1}{4}$ . Η τελευταία είναι μία συνάρτηση του $y$ ορισμένη για $0 \leq y \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$ ( το y πάει μέχρι $\frac{1}{\sqrt{2}}$ γιατί η τεταγμένη του σημείου Δ είναι $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ). Το ελάχιστο αυτής παρουσιάζεται για $y=\frac{1}{2\sqrt{2}}$ και είναι $f\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{8}\,\,\,( 7 )$ και το μέγιστο παρουσιάζεται για $y=0$ και $y=\frac{1}{\sqrt{2}}$ και είναι $f\left(\frac{1}{2},0\right)=f\left(\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{4}\,\,( 8 ).$

Από τις τιμές (1) έως ( 8 ) της f επιλέγω την μεγαλύτερη. Έτσι παρατηρούμε ότι το μέγιστο της f στο χωρίο ΑΒΓΔ είναι $1$ το οποίο επιτυγχάνεται στα σημεία $(1,0),(1,1)$

$\clubsuit$ Να κι ένας συντομότερος τρόπος με ύλη λυκείου, χωρίς όμως να εφαρμόζεται το ίδιο απλά για κάθε άσκηση αυτού του είδους:

Η συνάρτηση γράφεται $f(x,y)=\left(y-\frac{\sqrt{x}}{2}\right)^2+x^2-\frac{x}{4}.$ Από τους περιορισμούς για τα x,y έχουμε:
$0 \leq y \leq \sqrt{x} \Rightarrow -\frac{\sqrt{x}}{2} \leq y -\frac{\sqrt{x}}{2} \leq \frac{\sqrt{x}}{2} \Rightarrow \left|y -\frac{\sqrt{x}}{2}\right| \leq \frac{\sqrt{x}}{2} \Rightarrow \left(y -\frac{\sqrt{x}}{2}\right)^2 \leq \frac{x}{4}$
οπότε
$f(x,y) \leq x^2 \leq 1.$
Η ισότητα επιτυγχάνεται για
$\begin{cases} x=1 \\ \left(y -\frac{\sqrt{x}}{2}\right)^2 =\frac{x}{4}\end{cases} \Leftrightarrow (x,y)=(1,0),(1,1)$
$\rule{17cm}{1.5pt}$
Τα παραπάνω ίσως φαίνονται δύσκολα αλλά είναι επέκταση της αντίστοιχης μεθοδολογίας εύρεσης μεγίστων και ελαχίστων για συναρτήσεις μίας μεταβλητής. Επομένως θα σε συμβούλευα κατ' αρχάς να διαβάσεις ότι χρειάζεται από δω, ενδεχομένως και προηγούμενα κεφάλαια. Αυτά βρίσκουν εφαρμογή και στην συγκεκριμένη άσκηση γιατί σε κάθε περίπτωση ανάγεσαι σε συναρτήσεις μίας μεταβλητής (πχ το ελάχιστο και το μέγιστο του τριωνύμου $y^2-y+1$ . Αυτό μπορείς να το βρεις ακόμα και στην άλγεβρα της Α' Λυκείου σαν μέθοδο). Μετά μπορείς να πας και στο πανεπιστημιακό σου βιβλίο ή σε κάποιο αντίστοιχο ελληνικό ( όπως στο link που παραθέτω στην αρχή ) για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών και να παλέψεις την αντίστοιχη θεωρία και παραδείγματα. Α επίσης δεν προσπάθησα καθόλου το ολοκλήρωμα, ίσως αύριο μεθαύριο αν δεν ασχοληθεί βέβαια κάποιος άλλος.

eyb0ss · 11 Φεβρουαρίου 2015

Το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι το $\int_{1/2}^1\int_0^{\sqrt{x}}f(x,y)dydx$
Υπολογίζουμε πρώτα το εσωτερικό ολοκλήρωμα:
$\int_0^{\sqrt{x}}f(x,y)dy=\int_0^{\sqrt{x}}(y^2-yx^{1/2}+x^2)dy=\int_0^{\sqrt{x}}y^2dy-x^{1/2}\int_0^{\sqrt{x}}ydy+x^2\int_0^{\sqrt{x}}1dy=\frac{x^{3/2}}{3}-\frac{x^{3/2}}{2}+x^{5/2}=-\frac{x^{3/2}}{6}+x^{5/2}$

Άρα αρκεί να βρούμε το ολοκλήρωμα $\int_{1/2}^1\left(-\frac{x^{3/2}}{6}+x^{5/2}\right)dx$
$\int_{1/2}^1\left(-\frac{x^{3/2}}{6}+x^{5/2}\right)dx=-\frac{1}{6}\int_{1/2}^1x^{3/2}dx+\int_{1/2}^1x^{5/2}dx=-\frac{1}{6}\int_{1/2}^1\left(\frac{2x^{5/2}}{5}\right)'dx+\int_{1/2}^1\left(\frac{2x^{7/2}}{7}\right)'dx=\frac{1-2\sqrt{2}}{30\sqrt{2}}+\frac{8\sqrt{2}-1}{28\sqrt{2}}\approx 0,206$
Άρα
$\int_{1/2}^1\int_0^{\sqrt{x}}f(x,y)dydx\approx 0,206$

Ιδιότητες που χρησιμοποιήθηκαν:
1) Μια παράγουσα της $x^n$ είναι η $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ με $n\neq -1$
2) Αν $F$ μια παράγουσα της $f$ (δηλαδή ισχύει ότι $F'=f$ ) τότε $\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$
3) $\int_a^b\left(\kappa f(x)+\lambda g(x)\right)dx=\kappa\int_a^bf(x)dx+\lambda\int_a^bg(x)dx$

MaryMagn · 11-02-15

Χίλια ευχαριστώ παιδιά, με σώζετε! :clapup:

Βοήθεια άσκηση ανάλυσης

MaryMagn

Νεοφερμένο μέλος

rebel

Πολύ δραστήριο μέλος

eyb0ss

Δραστήριο μέλος

MaryMagn

Νεοφερμένο μέλος

Χρήστες Βρείτε παρόμοια

Λοιπές Σελίδες