
10-06-09

10:55
Εγώ πάλι θέλω να ρωτήσω: Αν έχουμε ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία δύο πλευρών ενός τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της, τότε εκείνα τα δύο σημεία δεν ειναι μέσα των πλευρών;
Ρωτάω γιατί το βιβλίο λέει μόνο το αντίστροφο και δίνει και μια άλλη απόδειξη που ξεκινά με δεδομένο το μέσο μιας πλευράς.:emm:
Γιατί όχι; Aποδεικνύεται και με πολύ όμορφο τρόπο.
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Ε, Κ τυχαία σημεία των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Φέρω το ευθύγραμμο τμήμα ΕΚ και το προεκτείνω κατά τμήμα ΚΔ=ΕΚ. Το τετράπλευρο ΕΔΓΒ είναι παραλληλόγραμμο καθώς: I) ΕΚ//ΒΓ <=> ΕΔ//ΒΓ και ΙΙ) ΕΔ=ΒΓ (ΕΚ=ΒΓ/2 <=> ΕΔ/2=ΒΓ/2 <=> ΕΔ=ΒΓ). Άρα, ΓΔ//ΒΕ <=> ΓΔ//ΒΑ <=> ΓΔ//ΕΑ.
Έπειτα, συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΚΕ, ΔΚΓ. Έχουν: ΕΚ=ΚΔ (κατασκευή), Κ1=Κ2 (κατακορυφήν), Ε1=Δ1 (εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΕΑ, ΓΔ με τέμνουσα την ΕΔ). Άρα από Γ-Π-Γ τα τρίγωνα είναι ίσα. Άρα ΑΚ=ΚΓ ως αντίστοιχες πλευρές. Συνεπώς Κ μέσο της ΑΓ.
Ε και φτάσαμε στο γνωστό θεώρημα, αντίστροφο αυτού που μαθαίνουμε.

*επιεικής κριτική για το σχηματάκι παρακαλώ, είναι φτιαγμένο με ms paint και το πρώτο μου σε Η/Υ :xixi:*
edit: το αρχικό τρίγωνο μοιάζει ισοσκελές (και είναι) επειδή δεν υπήρχε άλλου είδους έτοιμο τρίγωνο εκτός από ορθογώνιο. Δεν πειράζει όμως, το θεώρησα σκαληνό. :iagree:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.