Shadowfax
Διάσημο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Εγώ πάλι θέλω να ρωτήσω: Αν έχουμε ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία δύο πλευρών ενός τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της, τότε εκείνα τα δύο σημεία δεν ειναι μέσα των πλευρών;
Ρωτάω γιατί το βιβλίο λέει μόνο το αντίστροφο και δίνει και μια άλλη απόδειξη που ξεκινά με δεδομένο το μέσο μιας πλευράς.:emm:
Γιατί όχι; Aποδεικνύεται και με πολύ όμορφο τρόπο.
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Ε, Κ τυχαία σημεία των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Φέρω το ευθύγραμμο τμήμα ΕΚ και το προεκτείνω κατά τμήμα ΚΔ=ΕΚ. Το τετράπλευρο ΕΔΓΒ είναι παραλληλόγραμμο καθώς: I) ΕΚ//ΒΓ <=> ΕΔ//ΒΓ και ΙΙ) ΕΔ=ΒΓ (ΕΚ=ΒΓ/2 <=> ΕΔ/2=ΒΓ/2 <=> ΕΔ=ΒΓ). Άρα, ΓΔ//ΒΕ <=> ΓΔ//ΒΑ <=> ΓΔ//ΕΑ.
Έπειτα, συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΚΕ, ΔΚΓ. Έχουν: ΕΚ=ΚΔ (κατασκευή), Κ1=Κ2 (κατακορυφήν), Ε1=Δ1 (εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΕΑ, ΓΔ με τέμνουσα την ΕΔ). Άρα από Γ-Π-Γ τα τρίγωνα είναι ίσα. Άρα ΑΚ=ΚΓ ως αντίστοιχες πλευρές. Συνεπώς Κ μέσο της ΑΓ.
Ε και φτάσαμε στο γνωστό θεώρημα, αντίστροφο αυτού που μαθαίνουμε.
![Χαμόγελο :) :)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/smilenew.png)
*επιεικής κριτική για το σχηματάκι παρακαλώ, είναι φτιαγμένο με ms paint και το πρώτο μου σε Η/Υ :xixi:*
edit: το αρχικό τρίγωνο μοιάζει ισοσκελές (και είναι) επειδή δεν υπήρχε άλλου είδους έτοιμο τρίγωνο εκτός από ορθογώνιο. Δεν πειράζει όμως, το θεώρησα σκαληνό. :iagree:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Manthak47
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![Λυπημένος :( :(](https://www.e-steki.gr/images/smilies/frown.gif)
*επιεικής κριτική για το σχηματάκι παρακαλώ, είναι φτιαγμένο με ms paint και το πρώτο μου σε Η/Υ :xixi:*
edit: το αρχικό τρίγωνο μοιάζει ισοσκελές (και είναι) επειδή δεν υπήρχε άλλου είδους έτοιμο τρίγωνο εκτός από ορθογώνιο. Δεν πειράζει όμως, το θεώρησα σκαληνό. :iagree:
Μια χαρά είναι το σχήμα! :no1:
off topic: Αφού λες ότι το έκανες στη ζωγραφική το σχήμα, έχεις Windows 7; Γιατί η ζωγραφική των 7 είναι που έχει τέτοια.
![Κλείνω μάτι ;) ;)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/wink.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Shadowfax
Διάσημο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Εγώ προσπάθησα να το αποδείξω φέρνοντας τις ΔΖ και ΕΖ (Ζ μέσο ΒΓ). Αφού βγαίνει εντάξει, μόνο μη μου κόψει μονάδες επειδή το χρησιμοποίησα χωρίς να το αποδείξω, αφού δεν είναι του βιβλίου...![]()
Χμμ, δε ξέρω. Βασικά για να χρησιμοποιήσεις ο,τιδήποτε στη γεωμετρία χωρίς απόδειξη πρέπει να το έχεις διδαχθεί (ή όχι) ως θεώρημα, κριτήριο, αίτημα (που ούτως ή άλλως δεν αποδεικνύεται). Ό,τι άλλο πεις, και σωστό να είναι, θέλει απόδειξη. Αλλά εντάξει, δε ξέρω αν θα σου το κόψει όλο ή αν δε θα σου κόψει τίποτα. Σημασία έχει πως ισχύει, πως το σκέφτηκες και το κατάλαβες και πως έδωσες σε μένα (και σε άλλους) clue μιας και αν δεν το είχες ρωτήσει δε θα το είχα σκεφτεί (και παρεμπιπτόντως είναι αρκετά χρήσιμο). :iagree:
Μια χαρά είναι το σχήμα! :no1:
off topic: Αφού λες ότι το έκανες στη ζωγραφική το σχήμα, έχεις Windows 7; Γιατί η ζωγραφική των 7 είναι που έχει τέτοια.![]()
Ναι σε ένα μικρό σκληρό. Μου αρέσει κι εμένα το paint τους περισσότερο από τις προηγούμενες εκδόσεις, γι' αυτό και το χρησιμοποιώ.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Iliaso
Περιβόητο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![Γλώσσα :P :P](https://www.e-steki.gr/images/smilies/tongue.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Shadowfax
Διάσημο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Εμείς τελικά είχαμε την απόδειξη ότι η διάμεσος από την ορθή είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.Βασικά έκανα μια σύγκριση που δεν χρειαζόταν στην απόδειξη.Κατά τα άλλα χάλια.
Επιτέλους έπεσε σε κάποιον αυτή η απόδειξη, η πολύ πιο ωραία απόδειξη από το άθροισμα γωνιών τριγώνου.
Χάλια; Γιατί;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Purple sunrise
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
djimmakos
Διάσημο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Επιτέλους έπεσε σε κάποιον αυτή η απόδειξη, η πολύ πιο ωραία απόδειξη από το άθροισμα γωνιών τριγώνου.
Χάλια; Γιατί;
Η πιο ωραία πιστεύω είναι αυτή που λέει ότι τα ύψη του τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο
![Κλείνω μάτι ;) ;)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/wink.gif)
Πάντως, αυτή η απόδειξη με το ορθογώνιο, βγαίνει και σε μια σειρά αν προεκτείνουμε τη διάμεσο κατά ίσο τμήμα. Το σχήμα που προκύπτει είναι παραλληλόγραμμο με μια ορθή γωνία, άρα είναι ορθογώνιο. Άρα έχει ίσες διαγωνίους και άρα τα μισά τους θα είναι ίσα. Τέλος
![Γλώσσα :P :P](https://www.e-steki.gr/images/smilies/tongue.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Manthak47
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
...για να χρησιμοποιήσεις ο,τιδήποτε στη γεωμετρία χωρίς απόδειξη πρέπει να το έχεις διδαχθεί (ή όχι) ως θεώρημα, κριτήριο, αίτημα (που ούτως ή άλλως δεν αποδεικνύεται). Ό,τι άλλο πεις, και σωστό να είναι, θέλει απόδειξη...
Εγώ δεν το απέδειξα διότι το πήρα απλά σαν αντίστροφο από κάτι που είχαμε πει στην τάξη (αν και ξέρω ότι δεν ισχύουν πάντα τα αντίστροφα).
Βασικά η άσκηση που το χρησιμοποίησα ξεκινούσε με τραπέζιο που είχε τη μια βάση διπλάσια της άλλης και σημείο (Ε) τομής των μη παράλληλων πλευρών. Ζητούσε να βρούμε ότι ΕΓ = ΓΒ. Επειδή αργότερα σε όλη την άσκηση βόλευε να πούμε ότι τα Γ, Δ είναι μέσα και η ισότητα ΓΔ = 2ΑΒ μου... άρεσε
![Πολύ χαρούμενος :D :D](https://www.e-steki.gr/images/smilies/biggrin.gif)
Επειδή όμως κάπως λυνόταν η άσκηση φυσικά και γενικώς τα θέματα ήταν πανεύκολα, δεν περίμενα να λυθεί με το λήμμα της σελ. 108 όπως έκαναν μερικοί.
Θα ήταν με το λήμμα σωστό;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Shadowfax
Διάσημο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Εγώ δεν το απέδειξα διότι το πήρα απλά σαν αντίστροφο από κάτι που είχαμε πει στην τάξη (αν και ξέρω ότι δεν ισχύουν πάντα τα αντίστροφα).
Βασικά η άσκηση που το χρησιμοποίησα ξεκινούσε με τραπέζιο που είχε τη μια βάση διπλάσια της άλλης και σημείο (Ε) τομής των μη παράλληλων πλευρών. Ζητούσε να βρούμε ότι ΕΓ = ΓΒ. Επειδή αργότερα σε όλη την άσκηση βόλευε να πούμε ότι τα Γ, Δ είναι μέσα και η ισότητα ΓΔ = 2ΑΒ μου... άρεσε, χρησιμοποίησα αυτό στο μεγάλο τρίγωνο.
Επειδή όμως κάπως λυνόταν η άσκηση φυσικά και γενικώς τα θέματα ήταν πανεύκολα, δεν περίμενα να λυθεί με το λήμμα της σελ. 108 όπως έκαναν μερικοί.
Θα ήταν με το λήμμα σωστό;
Ναι και μάλιστα με πολύ ωραίο τρόπο, πιο μεγάλο βέβαια από αυτόν που ακολούθησες εσύ (χωρίς την απόδειξη).
Θα έπρεπε να δείξεις πως κάθε πλευρά του μεγάλου τριγώνου είναι παράλληλη με την απέναντί της πλευρά του μικρού τριγώνου. Με λίγα λόγια πως όλες οι πλευρές του μεγάλου είναι κατ' αντιστοιχία παράλληλες με αυτές του μικρού. Θα χρησιμοποιούσες το αυθεντικό αντίστροφο του θεωρήματος, δηλαδή : ''Σε ένα τρίγωνο η ευθεία που διέρχεται από το μέσο μιας πλευράς του και είναι παράλληλη προς μια άλλη πλευρά του, διέρχεται και από το μέσο της τρίτης πλευράς''. Όταν λοιπόν θα το έδειχνες, εύκολα θα έλεγες πως οι κορυφές του μικρού είναι τα μέσα των πλευρών του μεγάλου. :iagree:
Πάντως και ο τρόπος που το πήγες εσύ είναι ωραίος. Βέβαια σου είπα, δε ξέρω πως θα πάρει ο καθηγητής την απουσία απόδειξης αλλά δε βαριέσαι, αφού το κατάλαβες λίγο μετράει ο βαθμός.
![Κλείνω μάτι ;) ;)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/wink.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Iliaso
Περιβόητο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Επιτέλους έπεσε σε κάποιον αυτή η απόδειξη, η πολύ πιο ωραία απόδειξη από το άθροισμα γωνιών τριγώνου.
Χάλια; Γιατί;
Δεν έκανα 1 1/2 θέμα
![Λυπημένος :( :(](https://www.e-steki.gr/images/smilies/frown.gif)
![Bye :bye: :bye:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/2018/bye.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Manthak47
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Πάντως και ο τρόπος που το πήγες εσύ είναι ωραίος. Βέβαια σου είπα, δε ξέρω πως θα πάρει ο καθηγητής την απουσία απόδειξης αλλά δε βαριέσαι, αφού το κατάλαβες λίγο μετράει ο βαθμός.![]()
Αφού το κατάλαβα, ε;
![hmmm :hmm: :hmm:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/hmmm.gif)
Θα συμφωνούσα αν δεν υπήρχε παρελθόν σ' όλη την ιστορία.
Ενώ τα μαθηματικά είναι μάθημα που μ' αρέσει πάρα πολύ, το θεωρώ έξυπνο και χρήσιμο, στη Γεωμετρία φέτος του έγραψα 13 και 15
![Λυπημένος :( :(](https://www.e-steki.gr/images/smilies/frown.gif)
![Λυπημένος :( :(](https://www.e-steki.gr/images/smilies/frown.gif)
Και έτσι (από εγωισμό
![Γλώσσα :P :P](https://www.e-steki.gr/images/smilies/tongue.gif)
Τέλος πάντων, επειδή ξέφυγα απ' το θέμα του topic το κόβω εδώ
![Το Θέμα κλείνει :closed: :closed:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/closed-topic.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
alchemia
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Ε, εγω δεν εγραψα την αποδειξη του βιβλιου αλλα μια αλλη και μου λεει η καθηγητρια οτι δεν θα το παρει σωστο :s
Γινεται να το κανει αυτο εφοσον οσα γραφω στεκουν;
![Γλώσσα :P :P](https://www.e-steki.gr/images/smilies/tongue.gif)
![Γλώσσα :P :P](https://www.e-steki.gr/images/smilies/tongue.gif)
![Γλώσσα :P :P](https://www.e-steki.gr/images/smilies/tongue.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Eukleidis
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
alchemia
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Φερουμε τον περιγεγραμμενο κυκλο του ορθογωνιου τριγωνου. Η υποτεινουσα θα ειναι διαμετρος του κυκλου εφοσον η γωνια Α ειναι 90 μοιρες. Οποτε το μεσον της Μ θα ειναι κεντρο του κυκλου.
Αρα συνεπαγεται οτι ΑΜ=ΜΒ=ΜΗ ως ακτινες του ιδιου κυκλου
![Γλώσσα :P :P](https://www.e-steki.gr/images/smilies/tongue.gif)
Και εγω δεν πιστευω οτι μπορει να το παρει λαθος. Αλλα ειναι στριμμενη, εισικα μαζι μου μιας κ της παω συνεχεια κοντρα
![Πολύ χαρούμενος :D :D](https://www.e-steki.gr/images/smilies/biggrin.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Eukleidis
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Οδυσσέας
Διάσημο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Aν είναι σωστό δεν πρέπει να στο πάρει λάθος.Αν στο πάρει ζήτα επανεξέταση.Στην γεωμετρια, μας ζητουσε να αποδειξουμε το θεωρημα στην σελιδα 109 που λεει οτι η διαμεσος ορθογωνιου τριγωνου απο την ορθη γωνια ειναι ιση με το μισο της υποτεινουσας.
Ε, εγω δεν εγραψα την αποδειξη του βιβλιου αλλα μια αλλη και μου λεει η καθηγητρια οτι δεν θα το παρει σωστο :s
Γινεται να το κανει αυτο εφοσον οσα γραφω στεκουν;![]()
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
vimaproto
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
alchemia
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Δεν καταλαβαινω γτ το βιβλιο εχει επιλεξει εκεινον.
Στο σχολειο πρεπει ολα να ναι μια παπαγαλια. Αν ειναι δυνατον!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Nickname
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Manthak47
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![Κλείνω μάτι ;) ;)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/wink.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Χρήστες Βρείτε παρόμοια
-
Τα παρακάτω 0 μέλη και 1 επισκέπτες διαβάζουν μαζί με εσάς αυτό το θέμα:Tα παρακάτω 45 μέλη διάβασαν αυτό το θέμα:
-
Φορτώνει...
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.