Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

rebel · 01-01-15

Επειδή $\epsilon \phi \left( \frac{x-2\pi}{2} \right)=\epsilon\phi \left( \frac{x}{2} \right)=\epsilon \phi \left( \frac{x+2\pi}{2} \right)\Rightarrow f(x-2\pi)=f(x)=f(x+2\pi)$ , η περίοδος της $f(x)=\epsilon\phi \left( \frac{x}{2} \right)$ είναι $T=2\pi$ σύμφωνα με τον ορισμό της περιοδικής συνάρτησης. Όσο για το διάστημα $(-\pi,\pi )$ σκέψου ότι αν είχες την $g(x)=\epsilon\phi x$ , το $x$ θα εκινείτο στο διάστημα $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ . Άρα για την $f(x)$ πρέπει το ίδιο να συμβαίνει για το $\frac{x}{2}$ . Δηλαδή $-\frac{\pi}{2}<\frac{x}{2}<\frac{\pi}{2}$ οπότε πολλαπλασιάζοντας με 2 παίρνουμε $-\pi<x<\pi.$

DumeNuke · 02-01-15

Αρχική Δημοσίευση από Γατόπαρδος.:
1. Γιατι ισχυει αυτο?
2. Πως αποδεικνυουμε την περιοδο μιας συναρτησης;

1. Γενικά, θες ένα διάστημα που η συνάρτηση σου να είναι συνεχής. Για παράδειγμα, ναι, μπορείς να μελετήσεις τη συνάρτηση f(x)=εφχ στο διάστημα [0,π] και να βγάλεις τα ίδια συμπεράσματα με το να την εξετάσεις στο διάστημα (-π/2,π/2). Η συνάρτηση είναι περιοδική, με περίοδο π, και, από την στιγμή που την εξετάζεις σε διάστημα της μορφής [(κ,κ+π)], έχεις τελειώσει.
Απλώς, είναι πιο βολικό να μην έχεις τα σημεία ασυνέχεια μέσα στο πεδίο που εξετάζεις.
Κατόπιν, από τα διαστήματα που ικανοποιούν το παραπάνω, επιλέγεις εκείνο που είναι πιο κοντά στο 0. Συνήθως, μικρότεροι αριθμοί σημαίνουν λιγότερες/ευκολότερες πράξεις.
Δεν επιβάλλει κανείς να διαλέξεις αυτό το διάστημα, απλώς είναι κάτι που συνηθίζεται.

2. Γενικά, ακολουθείς την διαδικασία που σου έδειξε ο styt, ώστε να καταλήξεις σε μια σχέση της μορφής:
f(x)=f(x+ω), όπου ω η περίοδος της συνάρτησης f.
Ειδικά για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, οι περίοδοι τους θεωρούνται γνωστοί και δεδομένοι από την Τριγωνομετρία της Β' Λυκείου. Δεν χρειάζεται να αποδείξεις ότι το συνχ είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο 2π....

Γατόπαρδος. · 02-01-15

Ωραια καταλαβα ευχαριστω και τους δυο

Γατόπαρδος. · 2 Ιανουαρίου 2015

1)Στην εξισωση συνχ=-1 γιατι λυση ειναι μονο η χ=2κπ +π και οχι η χ=2κπ -π ;

2)την εξισωση 3συνχ=-ριζα3ημχ γιατι δεν γινεται να την υψωσουμε στο τετραγωνο και να αντικαταστησουμε το ημ(τετραγωνο)χ

filomathis · 02-01-15

Νομιζω επειδη στο τριγωνομετρικο κυκλο πας με φορα αντιθετη του ρολογιου.
Και αν το δουλεψεις και στην φυσικη και σου λεει για 1η φορα μετα την t=0 στην η χ=2κπ +π θα πεις για κ=0 χ=π 1η φορα
ενω εδω χ=2κπ -π θα πεις 1η φορα για κ=1 γιατι για κ=0 εχεις αρνητικη γωνια ισως και για αυτο.Δεν ξερω αν σε βοηθησα :p

eyb0ss · 2 Ιανουαρίου 2015

Αρχική Δημοσίευση από Γατόπαρδος.:
Στην εξισωση συνχ=-1 γιατι λυση ειναι μονο η χ=2κπ +π και οχι η χ=2κπ -π ;

Διότι $2\kappa\pi+\pi=(2\kappa+1)\pi$ και $2\kappa\pi-\pi=(2\kappa-1)\pi$ .
Όμως $2\kappa-1=2(\kappa-1)+1=2\lambda+1$ όπου $\lambda\in \mathbb{Z}$
οπότε το $2\kappa\pi+\pi$ είναι επαρκές για να περιγράψει τη λύση της εξίσωσης.
Απλά σκέψου ότι τα πολλαπλάσια της μορφής $2\kappa+1$ του $\pi$ αποτελούν λύσεις της εκάστοτε εξίσωσης.

Αρχική Δημοσίευση από Γατόπαρδος.:
την εξισωση 3συνχ=-ριζα3ημχ γιατι δεν γινεται να την υψωσουμε στο τετραγωνο και να αντικαταστησουμε το ημ(τετραγωνο)χ

Γίνεται... ΑΛΛΆ πρέπει το ημίτονο των λύσεων που βρήκες να είναι αρνητικό, (μηδέν δεν γίνεται γιατί δεν βγάζει αληθή ισότητα) $\sqrt{-3\eta \mu x$ δεν έχεις γράψει στο δεξί μέλος της εξίσωσης; Επίσης θα χρειαστεί να επαληθεύσεις τις λύσεις.

Γατόπαρδος. · 02-01-15

Ωραια θελω μια βοηθεια σε αυτην
εφ(2χ+π/3)=σφ(χ+π/3)

rebel · 2 Ιανουαρίου 2015

Αρχική Δημοσίευση από Γατόπαρδος.:
1)Στην εξισωση συνχ=-1 γιατι λυση ειναι μονο η χ=2κπ +π και οχι η χ=2κπ -π ;

Στην πραγματικότητα πρόκειται για τα ίδια σύνολα λύσεων οπότε μπορείς να γράψεις ή το ένα ή το άλλο. Και αυτό φαίνεται απ' το γεγονός ότι κάθε λύση απ' το πρώτο σύνολο λύσεων μπορεί να γραφεί σαν λύση από το δεύτερο σύνολο λύσεων και αντίστροφα. Δηλαδή
$x=2\kappa \pi+\pi \Leftrightarrow x=2(\kappa+1)\pi-\pi \stackrel{\lambda=\kappa+1}{\Leftrightarrow} x=2 \lambda \pi-\pi,\,\,\kappa,\lambda \in \mathbb{Z}$

Αρχική Δημοσίευση από Γατόπαρδος.:
2)την εξισωση 3συνχ=-ριζα3ημχ γιατι δεν γινεται να την υψωσουμε στο τετραγωνο και να αντικαταστησουμε το ημ(τετραγωνο)χ

Μπορείς να το κάνεις, απλά πριν υψώσεις στο τετράγωνο θα πρέπει να πάρεις περιορισμό για το x ώστε τα δύο μέλη να είναι ομόσημα. Δηλαδή $\sigma \upsilon \nu x$ και $-\eta \mu x$ ομόσημα, δηλαδή $\sigma \upsilon \nu x$ και $\eta \mu x$ ετερόσημα. Αυτό, αν πας στον τριγωνομετρικό κύκλο συμβαίνει στο 2ο και 4ο τεταρτημόριο. Αν τώρα υψώσεις στο τετράγωνο παίρνεις αν δεν κάνω λάθος
$\sigma \upsilon \nu^2x=\frac{1}{4} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x=\frac{1}{2} \,\, \acute{\eta}\,\, \sigma \upsilon \nu x=-\frac{1}{2}$
Λύνοντας την πρώτη εξίσωση παίρνουμε τις λύσεις
$x=2\kappa \pi+\frac{\pi}{3}\,\, \acute{\eta}\,\,x=2\kappa \pi-\frac{\pi}{3}$
από τις οποίες κρατάμε μόνο το δεύτερο σύνολο
$x=2\kappa \pi-\frac{\pi}{3},\,\,\kappa \in \mathbb{Z}$
γιατί μόνο αυτά τα x πέφτουν στο 4ο τεταρτημόριο και συνεπώς συμφωνούν με τον περιορισμό που θέσαμε. Λύνοντας την δεύτερη εξίσωση παίρνουμε τις λύσεις
$x=2\kappa \pi+\frac{2\pi}{3}\,\, \acute{\eta}\,\,x=2\kappa \pi-\frac{2\pi}{3}$
από τις οποίες κρατάμε μόνο το πρώτο σύνολο
$x=2\kappa \pi+\frac{2\pi}{3},\,\,\kappa \in \mathbb{Z}$
γιατί μόνο αυτά τα x πέφτουν στο 2ο τεταρτημόριο και συνεπώς συμφωνούν με τον περιορισμό που θέσαμε.

Υ.Γ.: Να σημειώσω ότι θεώρησα πως η εξίσωση είναι $3 \sigma \upsilon \nu x= - \sqrt{3} \eta \mu x$ αλλιώς γράψτε λάθος.

Αρχική Δημοσίευση από Γατόπαρδος.:
Ωραια θελω μια βοηθεια σε αυτην
εφ(2χ+π/3)=σφ(χ+π/3)

Θυμήσου ότι γενικά
$\sigma \phi x = \epsilon \phi \left(\frac{\pi}{2}-x\right)$

Γατόπαρδος. · 16-01-15

ποιά είναι η περίοδος της συνάρτησης f(x)=ημ(χ-π/6)?

eyb0ss · 16-01-15

Αρχική Δημοσίευση από Γατόπαρδος.:
ποιά είναι η περίοδος της συνάρτησης f(x)=ημ(χ-π/6)?

$f(x-2\pi)=\eta \mu (x-\frac{\pi}{6}-2\pi)=\eta \mu (x-\frac{\pi}{6}), f(x)=\eta \mu (x-\frac{\pi}{6}), f(x+2\pi)=\eta \mu (x-\frac{\pi}{6}+2\pi)=\eta \mu (x-\frac{\pi}{6})$ . Άρα $f(x-2\pi)=f(x)=f(x+2\pi)$ δηλαδή η $f$ είναι περιοδική με περίοδο $2\pi$ . Η συνάρτηση $\eta \mu (x-\frac{\pi}{6})$ έχει την ίδια περίοδο με την συνάρτηση $\eta \mu x$ επειδή η πρώτη είναι απλά μια μετατόπιση της δεύτερης κατά $\frac{\pi}{6}$ προς τα δεξιά.

Γατόπαρδος. · 07-03-15

πώς κάνω άθροισμα τετραγώνων αυτό 4x²-xy-18y² ?

eyb0ss · 8 Μαρτίου 2015

Αρχική Δημοσίευση από Γατόπαρδος.:
πώς κάνω άθροισμα τετραγώνων αυτό 4x²-xy-18y² ?

Έστω ότι γράφεται ως άθροισμα τετραγώνων. Τότε $4x^2-xy-18y^2\geq 0$
Για $(x,y)=(0,1)$ έχουμε $4x^2-xy-18y^2=-18\geq 0$ άτοπο. Άρα δεν μπορεί να γραφεί ως άθροισμα τετραγώνων. Τουλάχιστον παραγοντοποιείται ως
$4x^2-xy-18y^2=4\left(x-\frac{y-17|y|}{8}\right)\left(x-\frac{y+17|y|}{8}\right)$

Γατόπαρδος. · 08-03-15

άρα έχω κάνει λάθος εγώ μήπως μπορείς να βοηθήσεις?
6^x + 6^x+1 =2^x + 2^x+1 + 2^x+2

eyb0ss · 8 Μαρτίου 2015

Αρχική Δημοσίευση από Γατόπαρδος.:
άρα έχω κάνει λάθος εγώ μήπως μπορείς να βοηθήσεις?
6^x + 6^x+1 =2^x + 2^x+1 + 2^x+2

Δεν μπορείς να σπάσεις τα εκθετικά έτσι. Για x=0 δεν ισχύει. Μήπως εννοείς $6^x+6^{x+1}=2^x+2^{x+1}+2^{x+2}$ ; Βάζε παρενθέσεις στις δυνάμεις. Θα το εξετάσω και θα επιστρέψω με μία απάντηση.

Γατόπαρδος. · 08-03-15

Ναι αυτό εννοώ

eyb0ss · 8 Μαρτίου 2015

Αρχική Δημοσίευση από Γατόπαρδος.:
Ναι αυτό εννοώ

$6^x+6^{x+1}=2^x+2^{x+1}+2^{x+2} \Leftrightarrow 6^x+6*6^x=2^x+2*2^x+4*2^x \Leftrightarrow 7*6^x=7*2^x \Leftrightarrow 6^x=2^x$ Προσπάθησε μόνος σου τώρα. Η λύση σε spoiler.

$6^x=2^x \Leftrightarrow \left(\frac{6}{2}\right)^x=1 \Leftrightarrow 3^x=1\Leftrightarrow 3^x=3^0 \Leftrightarrow x=0$

Και ένας δεύτερος τρόπος που ίσως βολεύει περισσότερο όταν έχουμε περισσότερους όρους.
Και στα δυο μέλη έχουμε αθροίσματα όρων γεωμετρικής προόδου. Στο αριστερό μέλος έχουμε 2 όρους και λόγο 6 ενώ στο δεξί 3 όρους και λόγο 2. Οπότε
$6^x+6^{x+1}=2^x+2^{x+1}+2^{x+2} \Leftrightarrow 6^x\frac{6^2-1}{6-1}=2^x\frac{2^3-1}{2-1} \Leftrightarrow 6^x(6+1)=2^x(2^2+1*2+1) \Leftrightarrow 7*6^x=7*2^x...$
Πώς δεν το σκέφτηκα νωρίτερα με ξεπερνάει.

Γατόπαρδος. · 08-03-15

καμια βοήθεια σε αυτή?την προσπάθησα αρκετά
${2}^{2x+2}-{6}^{x}=2*{3}^{2x+2}$

eyb0ss · 09-03-15

Αρχική Δημοσίευση από Γατόπαρδος.:
καμια βοήθεια σε αυτή?την προσπάθησα αρκετά
${2}^{2x+2}-{6}^{x}=2*{3}^{2x+2}$

Έστω $u=2^x>0, v=3^x>0$ . Τότε
$2^{2x+2}-6^x=2*3^{2x+2} \Leftrightarrow 4*2^{2x}-2^x3^x=2*9*3^{2x} \Leftrightarrow 4u^2-uv=18v^2$ άρα
$4u^2-uv-18v^2=0$ .
Αυτή την τετραγωνική μορφή μορφή την παραγοντοποίησα προηγουμένως ως
$4u^2-uv-18v^2=4\left(u-\frac{v-17|v|}{8}\right)\left(u-\frac{v+17|v|}{8}\right)$ και επειδή $v>0$ θα είναι
$4u^2-uv-18v^2=4(u+2v)(u-\frac{9}{4}v)$ άρα
$4u^2-uv-18v^2=0 \Leftrightarrow 4(u+2v)(u-\frac{9}{4}v)=0 \Leftrightarrow u=\frac{9}{4}v \Leftrightarrow 4u=9v$
άρα
$2^22^x=3^23^x \Leftrightarrow 2^{x+2}=3^{x+2} \Leftrightarrow \left(\frac{3}{2}\right)^{x+2}=1 \Leftrightarrow x+2=0 \Leftrightarrow x=-2$ .
Πιστεύω πως υπάρχει πιο εύκολος εναλλακτικός δρόμος, αν τον βρω τον ποστάρω εδώ.

rebel · 09-03-15

Αρχική Δημοσίευση από Γατόπαρδος.:
καμια βοήθεια σε αυτή?την προσπάθησα αρκετά
${2}^{2x+2}-{6}^{x}=2*{3}^{2x+2}$

Άλλη μία λύση
$2^{2x+2}-6^x=2 \cdot 3^{2x+2} \Leftrightarrow$
$\frac{2^{2x+2}}{6^x}-1=\frac{2 \cdot 3^{2x+2}}{6^x} \Leftrightarrow$
$\frac{\left(2^x\right)^2 2^2}{2^x 3^x}-1=\frac{2\left(3^x\right)^2 3^2}{2^x 3^x} \Leftrightarrow$
$4 \left(\frac{2}{3}\right)^x-1=18 \left(\frac{3}{2}\right)^x \stackrel{u= \left(\frac{3}{2}\right)^x}{\Leftrightarrow}$
$\frac{4}{u}-1=18u \Leftrightarrow 18u^2+u-4=0 \stackrel{u>0}{\Leftrightarrow} u=\frac{4}{9} \Leftrightarrow \left(\frac{3}{2}\right)^x= \left(\frac{3}{2}\right)^{-2} \Leftrightarrow x=-2$

Vagosman · 24-05-15

Μπορει καποιος να με βοηθησει στην λυση της εξισωσης: √3ημχ + συνχ = 1

Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος