Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

djimmakos · 13-08-09

Nαι, οι τύποι είναι τύποι, τέλειωσε. Μπορούσες κάλλιστα να με ρωτήσεις για τη σχέση του ακρότατου με την παράγωγο

Boom · 13-08-09

πφφφ

ξαροπ · 16-08-09

Αρχική Δημοσίευση από Giorgos127:
Ας πούμε οτι έχουμε το παρακάτω σύστημα
Οι δύο άγνωστοι x,y η καθε γραμμικη εξισωση με διαφορετικο χρώμα

$color{red}{5x^x^y-3y=22}<br /> , <br /> color{blue}{2 x-3y^x=34-10x}/$

Πώς ακριβώς λύνεται?? Δηλαδή τι γίνεται όταν στον εκθέτη υπάρχει ένας ή και οι δύο άγνωστοι?

Sorry για το latex αλλα ειναι η πρωτη φορα που το χρησιμοποιω και δεν το ξερω καλα..

(1) Η άλγεβρα συνήθως δίνει την σκυτάλη στη Θεωρία Αριθμών (για εκθετικές συναρτήσεις κτλ. δεν ξέρω δεν μιλάω), από όπου μπορούμε να δούμε αν όντως υπάρχει ένα ζευγάρι που να ικανοποιεί τις ισότητες

(2) Δεν υπάρχει λύση. Για τις τριτοβάθμιες υπάρχει ο τύπος του Cardano (όμως ουκ ολίγες φορές έρχονται αρνητικές ρίζες και δεν υπάρχει λύση στο R) ενώ για μια ν-βάθμια ένας Νορβηγός (?) απέδειξε ότι δεν υπάρχει συγκεκριμένη τακτική (ή δεν λύνεται), όπως πχ. η Διακρίνουσα στις δευτεροβάθμιες.

ξαροπ · 17-08-09

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Θέμα προετοιμασίας για όσους δώσουν μαθηματική εταιρία...

Άσκηση by me:

Αν $a,b,c>0$ και ισχύει:

$a+b+c=3$ ,

Να δειχθεί ότι:

$frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}geq 3$

Λοιπόν φίλε mostel, όσο πήγαινα πίσω κι έβλεπα ασκήσεις έπεσα και σε αυτήν εδώ χτες. Έχω να προτείνω δύο λύσεις, μια με Andreescu και μία από εμένα τον loser, όταν κατάφερα να γράψω λάθος την Andreescu (!) και αναγκάστηκα να πάρω τον μακρύ δρόμο. (την ανισότητα την κοίταξα μετά και την ξαναέλυσα με αυτήν)

Με Andreescu:

$\frac{1^2}{a} + \frac{1^2}{b} + \frac{1^2}{c} \geq \frac{(1+1+1)^2}{a+b+c} = \frac{9}{3} = 3$ (τόσο απλά!)

Με την αρχική μου λύση:

Ισχύει από ΑΜ-ΓΜ ότι $\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} \Leftrightarrow 1 \geq \sqrt[3]{abc} \Leftrightarrow 1 \geq abc$ * (1).

Η αρχική ανισότητα γράφεται: $\frac{ca +cb + ab}{abc} \geq 3 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \frac{ab + cb + ca}{3} \geq abc$ .

Όμως πάλι από ΑΜ-ΓΜ $\frac{ab+cb + ca}{3} \geq \sqrt[3]{a^2b^2c^2}$ άρα αρκεί ν.δ.ο. $\sqrt[3]{(abc)^2} \geq abc \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow (abc)^2 \geq (abc)^3 \Leftrightarrow 1 \geq abc$ που ισχύει από (1), οπότε η ανισότητα αποδείχτηκε.

* Είναι σωστό να υψώσω τη σχέση στον κύβο εκεί? (αφού a,b,c > 0 δεν νομίζω να μην μπορούσα)

Α, αν έχω κάνει λάθος παρακαλώ να μου το πείτε και πού, γιατί όταν δεν ξέρει κάποιος ανισότητες είναι το πλέον αναμενόμενο...

Boom · 19-08-09

αν a,b,g θετικοι πραγματικοι αριθμοι, και ισχυει οτι a+b+g=1 να δειξετε οτι $i)({1-a})^{2}>4bg ii)(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{g}-1)\geq 8$

Eukleidis · 19-08-09

i)Με αντικατστασγ του α απο την ισότητα προκύπτει βασική ανισοτητα γεια σας
ιι)ομωνυμα αντικατσταση βγήκε

djimmakos · 19-08-09

i)

Ισχύει

$\alpha +\beta +\gamma =1\Leftrightarrow \alpha =1-\beta -\gamma (1)$

Έτσι η ανίσωση γίνεται

$(1-\alpha)^2\geq 4\beta \gamma\Leftrightarrow [1-(1-\beta -\gamma )]\geq 4\beta \gamma \Leftrightarrow (\beta +\gamma )^2\geq 4\beta \gamma \Leftrightarrow \beta ^2+2\beta \gamma +\gamma ^2\geq 4\beta \gamma \Leftrightarrow \beta ^2-2\beta \gamma +\gamma ^2\geq 0\Leftrightarrow (\beta -\gamma )^2\geq 0$

που ισχύει

ii)

$(\frac{1}{\alpha }-1)(\frac{1}{\beta }-1)(\frac{1}{\gamma }-1)\geq 8\Leftrightarrow (\frac{1-\alpha }{\alpha })(\frac{1-\beta }{\beta })(\frac{1-\gamma }{\gamma })\geq 8\Leftrightarrow (1-\alpha )(1-\beta )(1-\gamma )\geq 8\alpha \beta \gamma (2)$

Όμως από το i ερώτημα ισχύει

$(1-\alpha )^2\geq 4\beta \gamma \Leftrightarrow 1-\alpha \geq 2\sqrt{\beta \gamma }$

Oμοίως

$(1-\beta )^2\geq 4\alpha \gamma \Leftrightarrow 1-\beta \geq 2\sqrt{\alpha \gamma$

και

$(1-\gamma )^2\geq 4\alpha \beta \Leftrightarrow 1-\gamma \geq 2\sqrt{\alpha \beta }$

Πολλαπλασιάζοντας αυτές τις ανισότητες κατά μέλη (αφού είναι όλα θετικά) έχουμε

$(1-\alpha )(1-\beta )(1-\gamma )\geq 8\sqrt{\alpha^2 \beta^2 \gamma^2 }=8\sqrt{(\alpha \beta \gamma )^2}\Leftrightarrow (1-\alpha )(1-\beta )(1-\gamma )\geq 8\alpha \beta \gamma (3)$

Aπό (2) και (3) ισχύει η προς απόδειξη ζητούμενη ανισότητα
-----------------------------------------
Ας βάλω και εγώ μια ευκολούτσικη κάπως. Χρειάζεται κάτι που έχει διδαχθεί στο γυμνάσιο. Ντάξει, κάποια παιδιά που δεν έχουν διδαχθεί τον τριγωνομετρικό κύκλο θα πούνε ότι θ=τόσες μοίρες (σε νούμερο), ενώ θέλει κάτι άλλο. Δεν πειράζει, και η μια λύση καλή είναι

Να λυθεί η εξίσωση

$\eta \mu \theta \cdot \sigma \upsilon \nu \theta =\frac{1}{2}$

Boom · 19-08-09

η τριγωνομετρια δεν διδασκεται στη Α' λυκειου....

djimmakos · 19-08-09

Πίστεψέ με, χρειάζεται ελάχιστες γνώσεις από τριγωνομετρία :iagree:

Eukleidis · 19-08-09

θ=45

djimmakos · 19-08-09

Λάθος

Βασικά, βρήκες μια από τις άπειρες λύσεις

Eukleidis · 19-08-09

λαθος???

είναι της μορφής θ=(360*κ+45)

13diagoras · 19-08-09

45 +λ*360???

Boom · 19-08-09

Αρχική Δημοσίευση από Eukleidis:
λαθος???

ημ45=1
συν 45=1
1*1=1

djimmakos · 19-08-09

Καλά, επειδή μάλλον κάνεις από την Α' λυκείου δεν το ξέρει, η λύση είναι

$\theta =2\kappa \pi +45$

όπου

$\kappa \in Z$

Δώρα το ημίτονο και το συνημίτονο του 45 είναι ριζα δυο δεύτερα

Eukleidis · 19-08-09

Θεοδωρα αστα, ημ45=συν45=(ριζα2)/2

Σε ορ==προλαβα τζιμακο δες απο πάνω

Boom · 19-08-09

ε αφου ειναι υλη β λυκειου,στο ειπα:p
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από Eukleidis:
Θεοδωρα αστα, ημ45=συν45=(ριζα2)/2

Σε ορ==προλαβα τζιμακο δες απο πάνω

το αφηνω φιλε

djimmakos · 19-08-09

Επειδή έχουμε σκληρά καρύδια στο forum

Aν $\varepsilon \varphi x=\kappa$

να αποδείξετε ότι

$2\sigma \upsilon \nu ^2x+\eta \mu ^2x-3\eta \mu x\sigma \upsilon \nu x=\frac{(k-1)(k-2)}{k^2+1}$

Boom · 19-08-09

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
Καλά, επειδή μάλλον κάνεις από την Α' λυκείου δεν το ξέρει, η λύση είναι

$theta =2kappa pi +45$

όπου

$kappa in Z$

Δώρα το ημίτονο και το συνημίτονο του 45 είναι ριζα δυο δεύτερα

μην βαρατε ντε, μου το ειπε και ο ευκλειδης

Eukleidis · 19-08-09

Παίρνουμε το
α' μέλος:

Παραγοντοποούμε--->(ημχ-συνχ)(ημχ-2συνχ)

2ο μέλος---->εφ=ημ/συν πράξεις προκύπτει--->(ημχ-συνχ)(ημχ-2συνχ)

Αρα ισχύει

Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

Διάσημο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος