Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

Chris1993 · 07-01-09

K=3|α-2|-5|α-7|+4|α-9|-2|α-1
αφου α=5 <=> Κ = 9 - 5 | -2 | + 4 | - 4 | - 8
<=> Κ = 9 - 10 + 16 - 8 = 25 - 18 = 7

α) |3χ-1| < 5 ... περνουμε δυο περιπτωσεις :

i) 3χ - 1 > 0 <=> 3χ > 1 <=> χ > 1/3 .. Σε αυτη τη περιπτωση η εξισωση γινεται :
3χ-1 < 5 <=> 3χ < 5 + 1 <=> 3χ < 6 <=> χ < 2

ii) 3χ - 1 < 0 <=> 3χ < 1 <=> χ < 1/3 .. Σε αυτη τη περιπτωση η εξισωση γινεται :
-3χ + 1 < 5 <=> -3χ < 5 - 1 <=> -3χ < 4 <=> χ > - 4/3

Η απλά κανεις την ιδιοτητα -5 < α < 5 δλδ αν εχεις α<5 βαζεις αριστερα απο τον αλφα τον αντιθετο του αριθμου δεξια του αλφα .

* Δν μπορω να ανοιξω το αρχειο σου γιαυτο αντεγραψα αυτες τις 2 ασκησεις απο τη Ρανια. Ελπιζω να σε βοηθησα...αντε και Καλη Επιτυχια !

mary_angel · 07-01-09

ευχαριστώ πάρα πολύ παιδιά! με βοηθήσατε πολύ! θα ήθελα αν μπορούσατε να λύσετε την ανίσωση (η) απο τη φωτοτυπία που έστειλα,και τις εξιώσεις ιβ και ιγ αν μπορείτε! και πάλι ευχαριστώ!

vavlas · 07-01-09

X^2+Y^2-10X+4Y=-29
X^2+Y^2-10X+4Y+29=0
X^2+Y^2-10X+4Y+25+4=0
(X^2-10X+5^2)+(Y^2+4Y+2^2)=0
(X-5)^2+(Y+2)^2=O=>
(X-5)^2=0 K (Y+2)^2=0=>
x=5 k y=-2:thanks:

Dreamkiller · 10-01-09

Μια που 'ναι ο Ευκλείδης σε μια βδομάδα.

Έστω $a, b, c$ διαφορετικοί μεταξύ τους πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι το παρακάτω δεν ισχύει.

$\sqrt[3]{a-b} + \sqrt[3]{b-c} + \sqrt[3]{c-a} = 0$

(από το βιβλίο του Titu Andreescu - Mathematical Olympiad Treasures)

Dr. N · 10-01-09

Δεν είμαι σίγουρος για αυτήν την τελευταία αλλά ίσως λύνεται έτσι :

Αφού $\sqrt[3]{α-b} = 0 \rightarrow a-b=0 \rightarrow a=b$
και $\sqrt[3]{b-c} = 0 \rightarrow b-c=0 \rightarrow b=c$
και $\sqrt[3]{c-a} = 0 \rightarrow c-a=0 \rightarrow c=a$
κάτι το οποίο δεν ισχύει γιατί μας δίνει ότι είναι 3 διαφορετικοί αριθμοί
-----------------------------------------
lol έλεος sry για τις βλακείες που γράφει το μνμ αλλά δεν ξέρω απ'οτι φαίνετα να use latex

-----------------------------------------
επιτέλους τα κατάφερα xD

Dreamkiller · 10-01-09

Dr. N, τα ριζικά μπορεί να είναι κάλλιστα αρνητικοί αριθμοί. Έτσι κι αλλιώς, οι περριτής τάξης ρίζες αρνητικού αριθμού μια χαρά ορίζονται.

Dr. N · 10-01-09

Αρχική Δημοσίευση από Dreamkiller:
Dr. N, τα ριζικά μπορεί να είναι κάλλιστα αρνητικοί αριθμοί. Έτσι κι αλλιώς, οι περριτής τάξης ρίζες αρνητικού αριθμού μια χαρά ορίζονται.

ωχ, δίκιο έχεις τα μπέρδεψα με τα απόλυτα... Η δύναμη της συνήθειας βλέπεις...

thewatcher · 10-01-09

Έχω βρει τη λύση, αλλά η απόδειξη είναι μεγάλη και δεν το μπορώ το latex

Θα περιγράψω τι έκανα:
παίρνουμε όλες τις περιπτώσεις για κάθε ρίζα (αν θα είναι θετική ή αρνητική), βρίσκουμε μία ισότητα, υψώνουμε στην 3η και τα 2 μέλη και βγαίνει άτοπο.

melinazzzz · 10-01-09

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
Το topic αυτό το άνοιξα για να παραθέτουμε έξυπνες ασκήσεις, να ρωτάμε τα "μεγαλύτερα" παιδιά για ότι απορία έχουμε και γενικά να είναι όλα σε ένα θέμα για να μην ανοίγουμε συνέχεια καινούργια threads και γίνεται μπάχαλο

Τεσπα, κάνω την αρχή:

AΣΚΗΣΗ 1

Να βρείτε τα $a,bin R$ ώστε να ισχύει η σχέση:

$a^{2}+b^{2}+5-2a+4b=0$

ΥΓ: H άσκηση αυτή είναι καθαρά ύλη πρώτης Λυκείου παρόλο που παρόμοια της ή ιδία (δε θυμόταν ο μαθηματικός μου) είχε πέσει στις Πανελλήνιες και έκαψε πολλά παιδιά..

Όποιος θέλει τη λύση, pm

Απάντηση:
a2+b2+5-2a+4b=0
a2-2a+1+b2+4b+4=0
(a-1)2+(b+2)2=0

(a-1)2=0
a-1=0
a=1

(b+2)2=0
b+2=0
b=-2

πάω γ γυμνασίου αλλά δν μ φάνηκε κ τόσο δύσκολο
μπορεί κάποιος ν μ πει αν τ έλυσα σωστά;;;;;;;

Dr. N · 11-01-09

Αρχική Δημοσίευση από Dreamkiller:
Μια που 'ναι ο Ευκλείδης σε μια βδομάδα.

Έστω $a, b, c$ διαφορετικοί μεταξύ τους πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι το παρακάτω δεν ισχύει.

$sqrt[3]{a-b} + sqrt[3]{b-c} + sqrt[3]{c-a} = 0$

(από το βιβλίο του Titu Andreescu - Mathematical Olympiad Treasures)

Για τη λύση χρησιμοποίησα euler :

Αφού $\sqrt[3]{\alpha -\beta } +\sqrt[3]{\beta -\alpha } +\sqrt[3]{\gamma -\alpha } =0$ τότε
${\sqrt[3]{(\alpha-\beta) }}^{3} + {\sqrt[3]{(\beta-\gamma) }}^{3} + {\sqrt[3]{(\gamma-\alpha) }}^{3} = 3\sqrt[3]{(\alpha-\beta) }\sqrt[3]{(\beta-\gamma) }\sqrt[3]{(\gamma-\alpha) } \rightarrow 0 = 27(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)$ Άρα θα πρέπει $(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) = 0 \rightarrow (\alpha-\beta)=0 \Leftrightarrow \alpha =\beta$ ή $(\beta-\gamma)=0 \Leftrightarrow \beta=\gamma$ ή $(\gamma-\alpha)=0 \Leftrightarrow \gamma=\alpha$
Έτσι για να ισχύει αυτό θα πρέπει 2 αριθμοί να είναι ίσοι κάτι το οποίο είναι άτοπο λόγω της υπόθεσης άρα $\sqrt[3]{\alpha -\beta } +\sqrt[3]{\beta -\alpha } +\sqrt[3]{\gamma -\alpha } \neq 0$

:thanks:

who · 11-01-09

Αρχική Δημοσίευση από melinazzzz:
Απάντηση:
a2+b2+5-2a+4b=0
a2-2a+1+b2+4b+4=0
(a-1)2+(b+2)2=0

(a-1)2=0
a-1=0
a=1

(b+2)2=0
b+2=0
b=-2

πάω γ γυμνασίου αλλά δν μ φάνηκε κ τόσο δύσκολο
μπορεί κάποιος ν μ πει αν τ έλυσα σωστά;;;;;;;

Μια χαρά

Valandil · 11-01-09

Αρχική Δημοσίευση από melinazzzz:
Απάντηση:
(a-1)2=0
a-1=0
a=1

(b+2)2=0
b+2=0
b=-2

Αυτό γιατί το κάνεις;Αφού ενδιάμεσα υπάρχει πρόσθεση,όχι πολλαπλασιασμός.

Shadowfax · 11-01-09

Αρχική Δημοσίευση από Valandil:
Αυτό γιατί το κάνεις;Αφού ενδιάμεσα υπάρχει πρόσθεση,όχι πολλαπλασιασμός.

Γιατί απλά όταν το άθροισμα δύο μη αρνητικών αριθμών α,β είναι 0 τότε α=0 και β=0.

${(\alpha -1)}^{2}+{(\beta +2)}^{2}=0$

εφόσον ${(\alpha -1)}^{2}\geq 0$ και ${(\beta +2)}^{2}\geq 0$ τότε υποχρεωτικά ${(\alpha -1)}^{2}=0$
και (που είναι πολύ σημαντικό και κακώς το ξεχνάμε συχνά) ${(\beta +2)}^{2}=0$ .

Βασικά κι εγώ μπερδεύτηκα στην αρχή. Έτσι όπως το έχει γραμμένο είναι σαν $2{(\beta +2)}^{2}$ και $2{(\alpha -1)}^{2}$ . :bye:

Dreamkiller · 11-01-09

Η λύση του dr. n στην άσκηση είναι σωστή

Βάζω δυο γεωμετρικές ανισότητες τώρα.

1) Αν το ABCD είναι ένα κυρτό τετράπλευρο και M, N τα μέσα των πλευρών AD και BC αντίστοιχα να αποδείξετε ότι: $MN = \frac{AB + CD}{2}$

2) Αν το D είναι το μέσον της πλευράς BC ενός τριγώνουν ABC, να αποδείξετε ότι: $AD < \frac{AB + AC}{2}$

Dr. N · 11-01-09

Αρχική Δημοσίευση από Dreamkiller:
2) Αν το D είναι το μέσον της πλευράς BC ενός τριγώνουν ABC, να αποδείξετε ότι: $AD < frac{AB + AC}{2}$

Έχουμε και λέμε
$AD<\frac{AB+AC}{2} \Leftrightarrow AB-BD < AD < \frac{AB+AC}{2} \Leftrightarrow AB-BD < \frac{AB+AC}{2} \Leftrightarrow 2AB - 2BD < AB + AC \Leftrightarrow AB - BC < AC$ που ισχύει σύμφωνα με την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ABC άρα πράγματι $AD<\frac{AB+AC}{2}$

Ελπίζω να είναι σωστή

X-FILER · 11-01-09

a)χ=?οριζεται
β)να απλοποιηθει
γ)Α

αν δε μπορεσετε το γ δε με πειραζει,αλλα πλζ βοηθεια στα αλλα 2!!!

Φιλιον_Τερας · 11-01-09

Α)πρεπει $\left|Χ \right|-2\neq 0\Leftrightarrow \left|Χ \right|\neq 2\Leftrightarrow Χ\neq 2 \eta Χ\neq -2)$

Β)για χ>2
$\frac{\left( Χ-2\right)\left(Χ+2 \right)}{Χ-2}\ = Χ+2$

Για χ<2

$\frac{\left( Χ-2\right)\left(Χ+2 \right)}{-Χ-2}\ = -\frac{\left( Χ-2\right)\left(Χ+2 \right)}{Χ+2} = 2-Χ)$

Γ)για $<3$ \Rightarrow Χ+2

\Rightarrow Χ<1" /> (ατοπο)

για $<3$ \Rightarrow 2-Χ

\Rightarrow Χ>-1" /> αρα
$-1<X<2$

με την ελπιδα οτι δν εχω κανει λαθη
το LaTex μου εβγαλε την πιστη

Iliaso · 11-01-09

Φανη το βοηθημα του λατεξ π ειναι? δν μπορω να γραψω τπτ αν και ηξερα την ασκηση...

X-FILER · 11-01-09

thnx a lot φανννννηηηη!!!!

Φιλιον_Τερας · 11-01-09

πατα επεξεργαστη κειμενου και μετα συνταξη latex
δν βρηκα βοηθεια απλα εκανα δοκιμες
ειναι σωστη η ασκηση η εχω κανει λαθοσ?

Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος