Βοήθεια/Απορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού - Ασκήσεις

Γατόπαρδος. · 23-02-15

Να βρειτε την εξισωση του κυκλου οταν διερχεται απο το Α(1,-2) και εφαπτεται στους αξονες χ'χ και y'y
Καμια βοηθεια?

eyb0ss · 23-02-15

Έστω $K(x_0,y_0)$ το κέντρο του κύκλου και $r$ η ακτίνα του. Επειδή εφάπτεται και στους δύο άξονες θα ισχύουν δυο πράγματα: 1) $|x_0|=|y_0|=r$ και
2) Ο κύκλος θα περιέχεται σε ένα τεταρτημόριο και μόνο (αν υπήρχαν σημεία του κύκλου που βρίσκονταν σε άλλο τεταρτημόριο τότε θα έτεμνε κάποιον άξονα).
Επειδή η τετμημένη του σημείου Α είναι θετική και η τεταγμένη αρνητική έχουμε ότι $x_0=-y_0=r$ .
Δηλαδή η εξίσωσή του είναι $(x-r)^2+(y+r)^2=r^2$ . Αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του σημείου A:
$(1-r)^2+(-2+r)^2=r^2 \Leftrightarrow r^2-6r+5=0 \Leftrightarrow r=1\cup r=5$
Δηλαδή έχουμε δύο κύκλους: $C_1: (x-1)^2+(y+1)^2=1, C_2: (x-5)^2+(y+5)^2=5^2$

Γατόπαρδος. · 08-03-15

Στα μαθηματικά κατεύθυνσης πόσο ''εύκολα'' γράφεις ένα 17-18?
Για να γράψεις 20 τι χρειάζεται?

PiDefiner · 08-03-15

Αρχική Δημοσίευση από Γατόπαρδος.:
Στα μαθηματικά κατεύθυνσης πόσο ''εύκολα'' γράφεις ένα 17-18?
Για να γράψεις 20 τι χρειάζεται?

Η γνώμη μου είναι πως πρέπει να χειρίζεσαι άριστα τα μαθηματικά, όχι απλώς σε επίπεδο "ύλης", αλλά και πολύ γενικότερα. Να αντιλαμβάνεσαι κάθε τι που κάνεις σε μια άσκηση στην ουσία του, γιατί και πως το κάνεις (και όχι επειδή "έτσι είναι η μεθοδολογία") και να είσαι σίγουρος για την ορθότητα αυτών που γράφεις (δηλαδή αν πας να γράψεις κάτι που εσένα σου φαίνεται λογικό από την εμπειρία σου στις ασκήσεις, μπορεί να είναι λάθος στην πραγματικότητα επειδή δεν πρόσεξες/διασφάλησες κάτι). Αν σκεφτείς ότι το 18 είναι 90% (δηλαδή έχασες μόνο 10 μόρια), πιστεύω ότι για να γράψεις τόσο μάλλον πήγαινες για 20 και απλά έκανες μερικά λαθάκια. Το 20 για να το πιάσεις, με αυτά που πέφτουν, θα πρέπει να είσαι τσάκαλος για να μην σου ξεφύγει τίποτα. Φυσικά εξαρτάται και αν θα πέσουν πράγματα που έτυχε να ξέρεις καλύτερα από άλλα που δεν έπεσαν.
Εμένα πάντως με έχουν τρομοκρατίσει τα μαθηματικά. Βρίσκω πολύ χαοτικό το γεγονός ότι μπορεί να πέσει κυριολεκτικά οτιδήποτε, και μπορεί να μην σου περάσει καν από το μυαλό η λύση ενός ερωτήματος εκείνη την ώρα και μετά να τραβάς τα μαλλιά σου. Με ένα 15 θα είμαι ευχαριστημένος :/:

Γατόπαρδος. · 08-03-15

Η ύλη στα μαθηματικά βγαίνει αν ξεκινήσω το καλοκαίρι?
Επειδή πολλοί ξεκινούν από τη Β λυκειου

PiDefiner · 08-03-15

Αρχική Δημοσίευση από Γατόπαρδος.:
Η ύλη στα μαθηματικά βγαίνει αν ξεκινήσω το καλοκαίρι?
Επειδή πολλοί ξεκινούν από τη Β λυκειου

Φυσικά και βγαίνει, το θέμα δεν είναι η ύλη, είναι οι ασκήσεις. Τώρα, αν εσύ έχεις την όρεξη και τη δυνατότητα να αρχίσεις από πιο νωρίς, δεν θα σου κάνει κακό, αλλά σε κάθε περίπτωση, και Αύγουστο να αρχίζεις βγαίνει άνετα.

Mitsocc · 10 Μαρτίου 2015

1)απο το σημειο Α(1, -8 ) φερνουμε τις εφαπτομενες ε1 και ε2 προς την παραβολη με εξισωση x^2 -2x - 3
Να βρειτε τις εξισωσεις των ε1 και ε2

1)Δινεται η παραβολη x^2=4y Να βρειτε τις εξισωσεις των εφαπτομενων της παραβολης που αγονται απο το σημειο Κ(-2,-3)

Θα ηθελα απαντησεις και στις δυο ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΤΑΤΑ σας παρακαλω ειναι μεγαλη αναγκη σας ευχαριστω

eyb0ss · 10-03-15

Αρχική Δημοσίευση από Mitsocc:
1)απο το σημειο Α(1, -8 ) φερνουμε τις εφαπτομενες ε1 και ε2 προς την παραβολη με εξισωση x^2 -2x - 3
Να βρειτε τις εξισωσεις των ε1 και ε2

2)Δινεται η παραβολη x^2=4y Να βρειτε τις εξισωσεις των εφαπτομενων της παραβολης που αγονται απο το σημειο Κ(-2,-3)

Θα ηθελα απαντησεις και στις δυο ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΤΑΤΑ σας παρακαλω ειναι μεγαλη αναγκη σας ευχαριστω

1) $x^2-2x-3=x^2-2x+1-4=(x-1)^2-4\geq -4$ Δηλαδή η παραβολή έχει κορυφή το σημείο $(1,-4)$
Μετατοπίζουμε τους άξονες σύμφωνα με τις σχέσεις $Y=y+4,X=x-1$ οπότε τώρα η κορυφή βρίσκεται στο $(0,0)$
Το σημείο Α μετατοπίζεται στο Α' με συντεταγμένες $Y=y+4=-8+4=-4,X=x-1=1-1=0$ άρα αρκεί να βρούμε τις εφαπτομένες της παραβολής που άγονται από το Α'.
$y=(x-1)^2-4 \Leftrightarrow y+4=(x-1)^2 \Leftrightarrow Y=X^2 \Leftrightarrow X^2=2\frac{1}{2}Y$ άρα $p=\frac{1}{2}$ . Η παραβολή είναι της μορφής $x^2=2py$ άρα η εφαπτομένη σε ένα τυχαίο σημείο $M(x_0,y_0)$ θα είναι:
$Xx_0=p(Y+y_0)$ . Οι συντεταγμένες του Α θα την ικανοποιούν την εξίσωση της εφαπτομένης οπότε:
$0*x_0=\frac{1}{2}(-4+y_0) \Leftrightarrow y_0=4 \Leftrightarrow x_0^2=4 \Leftrightarrow x_0=2\cup x_0=-2$
Για $x_0=2,x_0=-2$ παίρνουμε $y_0=4$ άρα έχουμε τις εφαπτομένες:
$Xx_0=p(Y+y_0) \Leftrightarrow 2X=\frac{1}{2}(Y+4) \Leftrightarrow 4X=Y+4 \Leftrightarrow \epsilon_1: Y=4X-4$
Με το παλιό σύστημα συντεταγμένων: $Y=4X-4 \Leftrightarrow y+4=4(x-1)-4 \Leftrightarrow \epsilon_1:y=4x-12$
και
$Xx_0=p(Y+y_0) \Leftrightarrow -2X=\frac{1}{2}(Y+4) \Leftrightarrow -4X=Y+4 \Leftrightarrow Y=-4X-4$
με το παλιό σύστημα $y+4=-4(x-1)-4 \Leftrightarrow \epsilon_2: y=-4x-4$

2)Είναι της μορφής $x^2=2py$ με $p=2$ άρα η εφαπτομένη στο τυχαίο σημείο $M(x_0,y_0)$ έχει εξίσωση $xx_0=p(y+y_0)$ . Βάζουμε τις συντεταγμένες του σημείου Κ:
$-2x_0=2(-3+y_0) \Leftrightarrow -2x_0=-6+2y_0 \Leftrightarrow -x_0=-3+y_0 \Leftrightarrow \frac{x_0^2}{4}+x_0-3=0 \Leftrightarrow x_0^2+4x_0-12=0 \Leftrightarrow x_0^2+4x+4=16 \Leftrightarrow \Leftrightarrow (x_0+2)^2=4^2 \Leftrightarrow |x_0+2|=4 \Leftrightarrow x_0+2=4\cup x_0+2=-4 \Leftrightarrow x_0=2\cup x_0=-6$
Τα αντίστοιχα $y_0$ είναι: $y_0=x_0^2/4 \Leftrightarrow y_0=2^2/4\cup y_0=(-6)^2/4 \Leftrightarrow y_0=1\cup y_0=9$ .
'Αρα οι εφαπτομένες είναι:
1) $xx_0=p(y+y_0) \Leftrightarrow 2x=2(y+1) \Leftrightarrow y=x-1$
2) $xx_0=p(y+y_0) \Leftrightarrow -6x=2(y+9) \Leftrightarrow y=-3x-9$

Όπου $\cup$ θα βάζεις "ή".
Αυτά.

Γατόπαρδος. · 19-05-15

Παιδιά ο τύπος του εμβαδού τριγώνου (ΑΒΓ)=1/2|det(AB,AΓ)| ισχύει και για τα ορθογώνια τρίγωνα?

eyb0ss · 19-05-15

Αρχική Δημοσίευση από Γατόπαρδος.:
Παιδιά ο τύπος του εμβαδού τριγώνου (ΑΒΓ)=1/2|det(AB,AΓ)| ισχύει και για τα ορθογώνια τρίγωνα?

Για κάθε τρίγωνο ισχύει.
Αν και το εμβαδό ορθογωνίου τριγώνου υπολογίζεται πιο εύκολα.

Γατόπαρδος. · 19-05-15

Ευχαριστώ να ρωτήσω και κάτι άλλο .Γράφαμε σήμερα εξετάσεις και σ'ένα ερώτημα έλεγε να βρούμε την εφαπτόμενη του κύκλου που είναι παράλληλη στην ε:y=x+1 και εγώ βρήκα δύο εκ των οποίων μία ταυτίζεται με την ε αλλά ξέχασα να την απορρίψω .Πόσο θα μου κόψει? το ερώτημα έπιανε 10 μονάδες

eyb0ss · 19-05-15

Αρχική Δημοσίευση από Γατόπαρδος.:
Ευχαριστώ να ρωτήσω και κάτι άλλο .Γράφαμε σήμερα εξετάσεις και σ'ένα ερώτημα έλεγε να βρούμε την εφαπτόμενη του κύκλου που είναι παράλληλη στην ε:y=x+1 και εγώ βρήκα δύο εκ των οποίων μία ταυτίζεται με την ε αλλά ξέχασα να την απορρίψω .Πόσο θα μου κόψει? το ερώτημα έπιανε 10 μονάδες

Γιατί να την απορρίψεις; Αφού για κάθε εφαπτομένη του κύκλου υπάρχει άλλη μια παράλληλη εφαπτομένη που εφάπτεται του κύκλου στο αντιδιαμετρικό σημείο του άλλου σημείου επαφής. Αν είναι διεστραμμένος ίσως σου κόψει στη χειρότερη των χειροτέρων 2-3 μονάδες.

*Δεν εγγυώμαι τίποτα

Γατόπαρδος. · 19-05-15

ο μπάρλας την απορρίπτει γι'αυτό ρωτάω....

eyb0ss · 19-05-15

Αρχική Δημοσίευση από Γατόπαρδος.:
ο μπάρλας την απορρίπτει γι'αυτό ρωτάω....

Αν δυο ευθείες συμπίπτουν θεωρούνται παράλληλες και αυτές.
Μην το σκέφτεσαι πολύ.

Γατόπαρδος. · 19-05-15

Οκ.Ας το πάρει όπως θέλει ο καθηγητής
Ευχαριστώ φίλε μου

panspil · 12-10-15

παιδια...σε μια συνάρτηση f(x)=ax+β γνωρίζοντας οτι φ(χ)=y...... τι εκφραζουν τα α ,α χ, ψ....;;; αν μπορει καποιος να μου εξηγησει ή να μου παραθέσει ενα λινκ με την θεωρία....γιατι πρεπει να τα κανω επαναληψη...μιας κ δεν θυμαμαι τπτ......ευχαριστω( παω β')

manolis_98 · 12 Οκτωβρίου 2015

Αρχική Δημοσίευση από panspil:
παιδια...σε μια συνάρτηση f(x)=ax+β γνωρίζοντας οτι φ(χ)=y...... τι εκφραζουν τα α ,α χ, ψ....;;; αν μπορει καποιος να μου εξηγησει ή να μου παραθέσει ενα λινκ με την θεωρία....γιατι πρεπει να τα κανω επαναληψη...μιας κ δεν θυμαμαι τπτ......ευχαριστω( παω β')

y=ax+b ή f(x)=ax+b {το ίδιο, εφόσον f(x)=y}με a≠0 παριστάνει μια ευθεία {για b≠0} που δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο(0,0)
το a είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας
{αν a>0 τότε η ευθεία έχει κλίση θετική,δηλαδή /
αν a<0 τότε η ευθεία έχει κλίση αρνητική,δηλαδή \}

Αν α=0 τότε έχουμε ότι y=b(b≠0),δηλαδή μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα x'x
Αν b=0 τότε έχουμε ότι y=ax ( a≠0),δηλαδή μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων

panspil · 12-10-15

Μανώλη σε ευχαριστω...το β όμως ειναι σημειο οπως λεμε πχ β(2,5);;;

Guest 019112 · 12-10-15

Αρχική Δημοσίευση από panspil:
Μανώλη σε ευχαριστω...το β όμως ειναι σημειο οπως λεμε πχ β(2,5);;;

Απ'την ΑΛΓΕΒΡΑ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ:

_____________________________________________________________________________________________________

Η εξίσωση αx + βy = γ
Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με τη βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση
αx + βy = γ, με α ≠ 0 ή β ≠ 0 ,
που λέγεται γραμμική εξίσωση, παριστάνει ευθεία γραμμή. Στη συνέχεια θα αποδείξουμε το συμπέρασμα αυτό ως εξής :

Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις :
• Αν , β ≠0 , τότε η εξίσωση γράφεται :

Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης

και τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο

Ειδικότερα :

✔ Αν α ≠ 0 , τότε η ευθεία τέμνει και τους δύο άξονες (Σχ. α΄), ενώ
✔ Αν α = 0 , τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή y =

και επομένως παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα x'x και τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο

(Σχ. β΄).

• Αν β = 0 (οπότε α ≠ 0), τότε η εξίσωση γράφεται

Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα y'y και τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο

Για παράδειγμα :

✔ Η εξίσωση x − 2y = 2 παίρνει τη μορφή y = 1/2x − 1 η οποία παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 1/2 και τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο −1 .

✔ Η εξίσωση y=2 παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα x'x και τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο 2 .

✔ Η εξίσωση x=2 παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα y'y και τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο 2.

_________________________________________________________________________________________

Επιπλέον, απ'τα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ, είναι γνωστός και ο τύπος:
y - y1 = λ (χ - χ1), με λ = y1 - y2 / x1 - x2 τον συντελεστή διεύθυνσης και Α(χ1,y1), B(x2,y2) οποιαδήποτε σημεία του επιπέδου.

Αν σου δίνονται δύο σημεία που ανήκουν σε μία ευθεία, π.χ. : Α(4,3) και Β(3,2)
τότε λ = 4 -3 / 3 - 2 άρα λ = 1 και αν αντικαταστήσεις στον τύπο με λ και Α : y - 3 = x - 4 ή y = x - 1
Aντίστοιχα αν αντικαταστήσεις με Β : y - 2 = x - 3 ή y= x-1

Ελπίζω να βοήθησα! Τα βιβλία μπορεις να τα βρεις και online αναζητώντας "Διαδραστικά Σχολικά Βιβλία".

panspil · 12-10-15

εγινε σε ευχαριστω....απλα μπερδεύω τις μεταβλητες α,β με τα Α β Β του συστ. συντεταγμένων....

Βοήθεια/Απορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού - Ασκήσεις

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Guest 019112

Επισκέπτης

Νεοφερμένος