m3Lt3D
Πολύ δραστήριο μέλος
Άλλη άσκηση από τον καθηγητή μου.Μάλλον εύκολη αλλά κάπου σκαλώνω.
Να δειχθεί γιά κάθε μιγαδικό z ότι |1+z|< = |1+z|^2 +|z|.
Άμα δεν με βοηθήσετε καί τώρα δεν ξαναρωτάω
αν |z+1|>1 τοτε προφανως ισχυει.
αν (1) τοτε,
συμφωνα με την τριγωνικη ανισωτητα ισχυει: (2)
απο (1),(2) παιρνουμε οτι
Αν βαλουμε στην σχεση προς αποδειξη οπου z=0 τοτε:
ισχυει.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lostG
Εκκολαπτόμενο μέλος
Η δοσμένη όμως σχέση ισχύει καί π.χ γιά z=-1/2 καί δεν τον περιέλαβες αυτόν καί όλους τούς εσωτερικούς τού κυκλικού δίσκου |z+1|<1 καί η άσκηση λέει γιά κάθε μιγαδικό.
αν |z+1|>1 τοτε προφανως ισχυει.
αν (1) τοτε,
συμφωνα με την τριγωνικη ανισωτητα ισχυει: (2)
απο (1),(2) παιρνουμε οτι
Αν βαλουμε στην σχεση προς αποδειξη οπου z=0 τοτε:
ισχυει.
Προσοχή στην εφαρμογή της τριγωνικής ανισότητας γιατι κρύβει παγίδες.Ειδικά κατά τον χειρισμό ακροτάτων τιμών.
Σκέφτηκες πότε μπορείς να πείς με βεβαιότητα ποιά είναι η μέγιστη τιμή τού |z1+z2| ?
Μα φυσικά όταν οι μιγαδικοί διατηρούν σταθερά τα μέτρα τους καί αλλάζει μόνο ο προσανατολισμός των διανυσμάτων θέσης τους καί βέβαια το μέγιστο προκύπτει όταν η μεταξύ τους γωνία γίνει μηδέν.(ομόρροπα)
Φαντάσου τώρα να άλλαζαν καί τα μέτρα ή μόνο τα μέτρα απεριόριστα.Δεν υπάρχει τότε μέγιστο.
Τα λέω αυτά αν καί δεν σχετίζονται τόσο με την άσκηση γιά να προσέχουν τα παιδιά καί να μην χρησιμοποιούν απερίσκεπτα την τριγωνική.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
m3Lt3D
Πολύ δραστήριο μέλος
Η δοσμένη όμως σχέση ισχύει καί π.χ γιά z=-1/2 καί δεν τον περιέλαβες αυτόν καί όλους τούς εσωτερικούς τού κυκλικού δίσκου |z+1|<1 καί η άσκηση λέει γιά κάθε μιγαδικό.
Προσοχή στην εφαρμογή της τριγωνικής ανισότητας γιατι κρύβει παγίδες.Ειδικά κατά τον χειρισμό ακροτάτων τιμών.
Σκέφτηκες πότε μπορείς να πείς με βεβαιότητα ποιά είναι η μέγιστη τιμή τού |z1+z2| ?
Μα φυσικά όταν οι μιγαδικοί διατηρούν σταθερά τα μέτρα τους καί αλλάζει μόνο ο προσανατολισμός των διανυσμάτων θέσης τους καί βέβαια το μέγιστο προκύπτει όταν η μεταξύ τους γωνία γίνει μηδέν.(ομόρροπα)
Φαντάσου τώρα να άλλαζαν καί τα μέτρα ή μόνο τα μέτρα απεριόριστα.Δεν υπάρχει τότε μέγιστο.
Τα λέω αυτά αν καί δεν σχετίζονται τόσο με την άσκηση γιά να προσέχουν τα παιδιά καί να μην χρησιμοποιούν απερίσκεπτα την τριγωνική.
Βασικα, το λαθος μου ειναι σε μια ιδιοτητα διαταξης που θεωρησα πως ισχυει: (α<β+γ,α<β<=>γ<0) που προφανως ειναι λαθος.:xixi:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lostG
Εκκολαπτόμενο μέλος
Να δειχθεί γιά κάθε μιγαδικό z ότι |1+z|< = |1+z|^2 +|z| (αντιγραφή από kvgreco)
Έχουμε ότι,
Αφού η τελευταία παρένθεση παίρνει ελάχιστη τιμή το 0 όταν π.χ z=0 καί όχι μόνο γι' αυτόν.Αυτό μπορείς να το δείξεις καί γεωμετρικά αν δείς το άθροισμα των αποστάσεων τού τυχαίου z από τις εικόνες τού -1 καί του 0.
(Δεν έχω μεγάλη άνεση στο LaTex.Ένα... μεροκάματο μού πήρε να το φτειάξω.Παρεμπιπτόντως πήγα να βάλω έντονους χαρακτήρες γιά να τονίσω ακριβώς την σχέση μέσα στο κείμενο ώστε να φανεί πού ακριβώς αποδεικνύεται αλλά δεν μπήκαν bold γιατί ρε παιδιά?)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
m3Lt3D
Πολύ δραστήριο μέλος
:no1:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
kvgreco
Εκκολαπτόμενο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
kvgreco
Εκκολαπτόμενο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
zidane4ever
Νεοφερμένος
Εαν Ζ1 κινειται στον μοναδιαιο κυκλο
η εικονα του Ζ2 κινειται στον χ^2+υ^2=25 και Ζ3=[[(-ριζα3) / (δια) 2] + [ i / (δια) 2]]^4
τοτε νβ η μεγιστη τιμη του l 2Z1 - 3Z2 + 5Z3 l
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Hurr
Εκκολαπτόμενο μέλος
Γεια σας παιδια ειμαι καινουρια στο forum.
Εχω να υποβαλλω μια ασκηση που ομολογουμενως με δυσκολεψε..!!!
Αν μπορουσατε να βοηθησετε......
Αν για τους μιγαδικούς z1,z2, … ,zν (ν ≥ 2) ισχύουν z1 + z2 + … + zν = 0 (1) και |z1| = |z2| = … = |zν| = 1 να δείξετε ότι ισχύει :
|z – z1| + |z – z2| + … + |z – zν| ≥ ν, z ? C
για κάθε (1)
κανοντας χρηση της (1)
Ας ονομασουμε την τελευταια αυτή σχεση (2)
Χρησιμοποιησαμε την τριγωνική ανισοτητα και τη (2)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Hurr
Εκκολαπτόμενο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
manos66
Εκκολαπτόμενο μέλος
Εαν Ζ1 κινειται στον μοναδιαιο κυκλο
η εικονα του Ζ2 κινειται στον χ^2+υ^2=25 και Ζ3=[[(-ριζα3) / (δια) 2] + [ i / (δια) 2]]^4
τοτε νβ η μεγιστη τιμη του l 2Z1 - 3Z2 + 5Z3 l
β) Να βρεθούν οι παραπάνω z1, z2, z3 ώστε η τιμή του l 2Z1 - 3Z2 + 5Z3 l να γίνεται μέγιστη.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Hurr
Εκκολαπτόμενο μέλος
Μια παλιά ωραία και σχετικά εύκολη ανισότητα:
με τα a,b,c να ανηκουν στο σύνολο των μιγαδικών
α)Προσπαθήστε να την αποδειξετε
β)Πότε ισχύει η ισότητα?(Συγνώμη διότι ειναι πολύ γενικό αυτο που ρωτάω. Απαντήστε στο α προς το παρον και θα τη διορθώσω την ερώτηση αργότερα)
γ)Απο γεωμετρική αποψη σας θυμίζει τπτ?
Σημείωση: Στο γ δεν μπορουν να απαντήσουν οσοι διαβάζουν αυστηρά
μόνο για το σχολείο.
Εκτός αν ζητηθεί δεν postarw λύσεις αν δεν υπάρχει τρόπος να μην τις βλέπουν όσοι θέλουν να προσπαθήσουν
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
zidane4ever
Νεοφερμένος
ανισότητα:
με τα a,b,c να ανηκουν στο σύνολο των μιγαδικών
α)Προσπαθήστε να την αποδειξετε
β)Πότε ισχύει η ισότητα?
γ)Απο γεωμετρική αποψη σας θυμίζει τπτ?
με την τριγωνικη ανισωτητα βγαινει?
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
peri
Νεοφερμένος
Απλα θα ηθελα να σε ρωτησω κατι..
δεν καταλαβα την τελευταια σειρα της επιλυσης ακριβως...
Σε ευχαριστω πολυ εσενα και το παλικαρι που θυμηθηκε την ασκηση μου πιο πανω..
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Οπότε αρκεί ν.δ.ό:
Η ισότητα ισχύει όταν το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, σύμφωνα με το 1ο θεώρημα του Πτολεμαίου.
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lostG
Εκκολαπτόμενο μέλος
https://clubs.pathfinder.gr/MATHEMATICA/17063?read=558&forum=56996
Συγνωμη μπορει καποιος να μου πει πως γινεται να ανοίγει η λύση με link ?
Τι ακριβώς εννοείς?
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
manos66
Εκκολαπτόμενο μέλος
Για α,b,c όχι 0 τότε
που ισχύει
Η ισότητα ισχύει όταν το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο,
(1ο θεώρημα του Πτολεμαίου - Σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας Α-Β΄ Λυκείου σελ.179 ασκ.Γ6).
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Hurr
Εκκολαπτόμενο μέλος
Αν δε κάνει λάθος η χαρτοπετσέτα (όπως λέει και ο φίλος Sil):
Οπότε αρκεί ν.δ.ό:
Η ισότητα ισχύει όταν το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, σύμφωνα με το 1ο θεώρημα του Πτολεμαίου.
Στέλιος
Σωστή μου φαινεται η λυση σου Στέλιο.
Και πολυ σωστη η παρατήρηση για το θ. Πτολεμαιου.
Αυτη ειναι ουσιαστικα η ανισοτητα του αν θεωρήσουμε
οτι το a ειναι το διανυσμα για το A, το b για το Β , το c για το Γ
και το 0 για το Δ
Το Θ Πτολεμαιου ειχα στην αρχη στο μυαλο μου οταν ζητησα ισοτητα
Μια λιγο συντομοτερη λυση ειναι η εξής
και τριγωνικη
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Hurr
Εκκολαπτόμενο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σωστή μου φαινεται η λυση σου Στέλιο.
Και πολυ σωστη η παρατήρηση για το θ. Πτολεμαιου.
Αυτη ειναι ουσιαστικα η ανισοτητα του αν θεωρήσουμε
οτι το a ειναι το διανυσμα για το A, το b για το Β , το c για το Γ
και το 0 για το Δ
Το Θ Πτολεμαιου ειχα στην αρχη στο μυαλο μου οταν ζητησα ισοτητα
Μια λιγο συντομοτερη λυση ειναι η εξής
και τριγωνικη
Είναι συμπαθητική άσκηση, απλώς αν την έβαζες π.χ. στο σχολείο θα έτρωγες άπειρο κράξιμο
Καλά έκανες πάντως και την έβαλες, για να με (μας) κρατάς σε μια επαφή με την πανέμορφη ευκλείδια γεωμετρία, την οποία δυστυχώς έχω παρατήσει από τότε που έδωσα τελευταία φορά εξετάσεις σε μαθηματικούς διαγωνισμούς.
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Χρήστες Βρείτε παρόμοια
-
Τα παρακάτω 0 μέλη και 0 επισκέπτες διαβάζουν μαζί με εσάς αυτό το θέμα:Tα παρακάτω 1 μέλη διάβασαν αυτό το θέμα:
-
Φορτώνει...
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.