Ασκήσεις προς επίλυση στους Μιγαδικούς

maltanous · 04-09-08

Καλά ντε απλώς ρωτάω

Λοιπόν,είναι 2 ασκήσεις που μοιάζουν πολύ:
${(5z-1)}^{5}={(z-5)}^{5}. |5z-1|=|z-5|<br /> {(4-z)}^{10}={z}^{10} |4-z|=|z|$
Τα πρώτα μέρη είναι Έστω και τα δεύτερα είναι Δείξτε ότι

Hurr · 07-09-08

Η λυση της ασκησης

Να λυθεί το συστημα των εξισώσεων:
$|{z}_{1}|=|{z}_{2}|=|{z}_{3}|=1$
${z}_{1}+{z}_{2}+{z}_{3}=1$
${z}_{1}{z}_{2}{z}_{3}=1$

1η λυση:

Στην σελιδα 3 του θεματος λυθηκε η παρακατω ασκηση

Αρχική Δημοσίευση από giannis:
Παραθέτω μια αγαπημένη μου άσκηση στους μιγαδικούς και πιστεύω αξίζει να ασχοληθείται!!!

Έστω οι μιγαδικοί ${z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}$ ώστε να ικανοποιούν τις σχέσεις
$|{z}_{1}|=|{z}_{2}|=|{z}_{3}|=1$ και ${z}_{1}+{z}_{2}+{z}_{3}=1$
Να δείξεται ότι
${z}_{1}=1$ ή ${z}_2=1$ ή ${z}_{3}=1$

Αφου η λυση της ασκησης μας ειναι γνωστη μπορουμε να την χρησιμοποιησουμε

Επειδη ολες οι σχεσεις μας ειναι συμμετρικες χωρις βλαβη της γενικοτητας θεωρουμε οτι ${z}_{1}=1$
Αρα εχουμε οτι ${z}_{2}{z}_{3}=1$ και
${z}_{2}+ {z}_{3}=0$
Το συστημα αυτο λυνεται ευκολα και δινει ${z}_{3}=\pm i$
και ${z}_{2}=\mp i$

Αρα τελικα ${z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}\epsilon$ {1,i,-i}
με την προυποθεση οτι τα ${z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}$ ειναι διαφορα ανα δυο

Hurr · 07-09-08

2η λυση

$|{z}_{k}|=1\Leftrightarrow \bar{z}_{k}=\frac{1}{{{z}_{k}}}$
$k\epsilon$ {1,2,3}

${z}_{1}+{z}_{2}+{z}_{3}=1\Leftrightarrow \bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}+\bar{z}_{3}=1 \Leftrightarrow \frac{1}{{z}_{1}} +\frac{1}{{z}_{2}}+ \frac{1}{{z}_{3}}=1 \Leftrightarrow {z}_{3}{z}_{2}+{z}_{1}{z}_{3}+{z}_{1}{z}_{2}={z}_{1}{z}_{2}{z}_{3}\Leftrightarrow {z}_{3}{z}_{2}+{z}_{1}{z}_{3}+{z}_{1}{z}_{2}=1$

Ισχύει οτι
$\left(z-{z}_{1} \right)\left(z-{z}_{2} \right)\left(z-{z}_{3} \right)= {z}^{3}-\left({z}_{1}+ {z}_{2}+{z}_{3}\right){z}^{2}+\left({z}_{1}{z}_{2}+ {z}_{2}{z}_{3}+{z}_{3}{z}_{1}\right)z -{z}_{1}{z}_{2}{z}_{3}= {z}^{3}-{z}^{2}+z-1=\left(z-1 \right)\left({z}^{2}+1 \right)=\left(z-1 \right)\left(z-i \right)\left(z+i \right)$

Αρα $\left(z-{z}_{1} \right)\left(z-{z}_{2} \right)\left(z-{z}_{3} \right)=\left(z-1 \right)\left(z-i \right)\left(z+i \right)$
για $z={z}_{1}$
$\left({z}_{1}-1 \right)\left({z}_{1}-i \right)\left({z}_{1}+i \right)=0$ Αρα ${z}_{1}\epsilon$ {1,i,-i}
Ομοια και τα ${z}_{2},{z}_{3}$ πρεπει να ανηκουν στο ιδιο συνολο. Οι τρεις ριζες πρεπει να ειναι διαφορετικες μεταξυ τους

tirovlaxos · 07-09-08

Η αγαπημένη μου άσκηση!:xixi:

Για τους μιγαδικούς z,w ισχύουν: ${z}^{n}$ =3+4i και ${w}^{n}$ =4+3i, n $\varepsilon$ N - {0}.

Να δείξετε ότι:

α) $\frac{z}{w}$ δεν ανήκει στο R

β) $\frac{z+w}{z-w}$ είναι φανταστικός.

trilo · 09-09-08

Αρχική Δημοσίευση από tirovlaxos:
Η αγαπημένη μου άσκηση!:xixi:

Για τους μιγαδικούς z,w ισχύουν: ${z}^{n}$ =3+4i και ${w}^{n}$ =4+3i, n $varepsilon$ N - {0}.

Να δείξετε ότι:

α) $frac{z}{w}$ δεν ανήκει στο R

β) $frac{z+w}{z-w}$ είναι φανταστικός.

a)Ισχύει $|z|^v=|w|^v$ τότε $|z|=|w|$ άρα και $|z|^2=|w|^2 <--> z\bar{z}=w\bar{w}<-->z/w=\bar{w}/\bar{z}$ άρα ο z/w δεν ανήκει στο R γιατί για να ανήκει πρέπει z/w= $\bar{z}/\bar{w}$
b)αν ν=1 τοτε με πράξεις αποδεικνυεται ότι z+w/z-w=-7ι άρα άφου το Re(w)=0 o weC

tirovlaxos · 09-09-08

δεν ξέρω αν είναι σωστή η λύση σου... και εγώ μαθητής είμαι... η δική μου απάντηση στο α ερώτημα είναι με εις άτοπο απαγωγή. και το β με μέτρα!

Hurr · 09-09-08

Αρχική Δημοσίευση από trilo:
a)Ισχύει $|z|^v=|w|^v$ τότε $|z|=|w|$ άρα και $|z|^2=|w|^2 <--> zbar{z}=wbar{w}<-->z/w=bar{w}/bar{z}$ άρα ο z/w δεν ανήκει στο R γιατί για να ανήκει πρέπει z/w= $bar{z}/bar{w}$
b)αν ν=1 τοτε με πράξεις αποδεικνυεται ότι z+w/z-w=-7ι άρα άφου το Re(w)=0 o weC

1) Στο α) δεν ειναι ολοκληρωμενη η αποδειξη
2) Αν ο ν δεν ειναι 1?

trilo · 09-09-08

Αρχική Δημοσίευση από tirovlaxos:
δεν ξέρω αν είναι σωστή η λύση σου... και εγώ μαθητής είμαι... η δική μου απάντηση στο α ερώτημα είναι με εις άτοπο απαγωγή. και το β με μέτρα!

Μπορείς να μου πείς πως το βρίσκεις με μέτρα;

Αρχική Δημοσίευση από Hurr:
1) Στο α) δεν ειναι ολοκληρωμενη η αποδειξη
2) Αν ο ν δεν ειναι 1?

Στο α γιατι δεν είναι ολοκληρωμένη η απάντηση; το β το ξέρω είναι λάθος

Hurr · 09-09-08

a)Ισχύει $|z|^v=|w|^v$ τότε $|z|=|w|$ άρα και $|z|^2=|w|^2 <--> zbar{z}=wbar{w}<-->z/w=bar{w}/bar{z}$ άρα ο z/w δεν ανήκει στο R γιατί για να ανήκει πρέπει z/w= $bar{z}/bar{w}$

πχ
Απεδειξες οτι $z/w=\bar{w}/\bar{z}$ αλλα δεν ειπες γιατι δεν μπορει ταυτοχρονα να ισχυει z/w= $\bar{z}/\bar{w}$ .
Να εισαι αναλυτικος και μην ξεχνας περιορισμους

kvgreco · 09-09-08

α) Αν z/w είναι πραγματικός τότε καί (z/w)^n θα είναι επίσης πραγματικός.Όμως αν κάνουμε πράξεις βλέπουμε ότι ο τελευταίος δεν είναι πραγματικός γιατί ισούται με (24/25)+(7/25)i.

β) (z+w)/(z-w) ανήκει στο Ι <----- (z+w)/(z-w) =-[(z+w)/(z-w)]*<---- (z+w)(z-w)* = -(z-w)(z+w)* <----- zz*-zw*+wz*-ww*= -zz*-zw*+wz*+ww* <----- 2(zz* -ww*)=0 <------|z|^2=|w|^2<-----|z|=|w|.

Παιδιά συγγνώμη που ξεκίνησα με το δεδομένο από το τέλος και πορεία προς την αρχή.
z* σημαίνει συζυγής (το έχουν συμβολίσει και άλλοι έτσι) και βέβαια εύκολα βλέπουμε ότι |z|=|w|=νιοστή ρίζα του 5.

Hurr · 09-09-08

Σωστα μου φαινονται.
Αν μπορεις προσπαθησε να τα γραφεις σε latex

peri · 10-09-08

μια ακομη ωραια ασκησουλα που με παιδεψε αρκετα..δεν ξερω ομως αν την εχω σωστη για δειτε την λιγο κ εσεις..
δινονται οι μιγαδικοι z1=α+βi και z2=(2-z1*)\(2+z1*)οπου α,β ε R με β διαφορο του 0.δινεται επισης οτι z2-z1 ε R.
α)να αποδειξετε οτι z2-z1=1
β)να βρειτε το γεωμετρικο τοπο των εικονων του z1
γ)αν ο αριθμος z1^2 ειναι φανταστικος και αβ>0 να υπολογισετε το z1 και να δειξετε οτι (z1+1+i)^20-(z1*+1-i)^20=0

οπου z1* o συζυγης του z1.

paganini666 · 13-12-08

Ασκηση του Mostel στη σελιδα 2

με

και

α) Να αποδείξετε ότι:

β) Αν

είναι ρίζα του πολυωνύμου

, τότε

.

Παραθετω τη λυση μου που ειναι αρκετα κομψη

:
το α ερωτημα δεν εχει καποια δυσκολια:κανουμε επιμεριστικα πραξεις και με διαδοχικες τριγωνικες ανισοτητες προκυπτει το ζητουμενο
β)θεωρώ το πολυωνυμο K(x)=

παρατηρω οτι εχει ριζα το 1!!!!!!!!!

Αρα αν εφαρμοσουμε σχημα Horner γραφεται Κ(χ)=

σχέση (1)
Άρα
K(z)=

για χ=|z| στη (1)προκυπτει
Κ(z)=

Αρα απτο (α) ισχυει |(z-1)Ρ(z)|

σχέση (2)
στη (2) για

προκυπτει 0

η 2η παρενθεση ειναι θετικός ώς αθροισμα θετικών.Άρα προκύπτει
0

αρα

Πείτε μου πώς αυτο δεν ήταν κομψο???? :bye:

mostel · 14-12-08

Ωραία λύση

coheNakatos · 19-08-09

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Βάζω μία ακόμη άσκηση, αφιερωμένη στον Γιώργο !

Putnam contest, 1959

Αν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών $z_1, z_2$ , είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου, τότε η τρίτη κορυφή αυτού του τριγώνου θα είναι η εικόνα του μιγαδικού αριθμού $-wz_1-w^2z_2$ , όπου w είναι μη πραγματική ρίζα της εξίσωσης $x^3=1$ .

Αρχικα ,
${x}^{3}-1=0 \Rightarrow (x-1)({x}^{2}+x+1)=0 , x\neq 1$ Αρα $w=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$

Αν $w=-\frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}i$

Αρκει νδο $|z1+wz1+{w}^{2}z2|=|z2+wz1+{w}^{2}z2|=|z1-z2|$

με πραξεις αν παρω την $|z1+wz1+{w}^{2}z2|$
εχω : $|w||z1-z2|$ αλλα $|w|=1$ αρα $|z1+wz1+{w}^{2}z2|=|z1-z2|$ Ομοιως και για την $|z2+wz1+{w}^{2}z2|=|z1-z2|$

Αν Αν $w=-\frac{1}{2}- \frac{\sqrt{3}}{2}i$ ομοιως ισχυει

johnnynoisemaker · 19-08-09

παιδια βοηθεια!!!μου δινει σε ασκηση εναν μιγαδικο z=χ^2-χ-9i και λεει βρειτε τον z!!!τ εννοει??

swimmer · 19-08-09

πως λυνεται ρε μεγαλε?

Boom · 19-08-09

μονο αυτο λεει?:!:
δωσε ολη την εκφωνηση.....

hale · 19-08-09

Αρχική Δημοσίευση από johnnynoisemaker:
παιδια βοηθεια!!!μου δινει σε ασκηση εναν μιγαδικο z=χ^2-χ-9i και λεει βρειτε τον z!!!τ εννοει??

Λογικά θα πρέπει να δίνει κάτι ωστε να μπορούμε να βρούμε το χ για να υπολογίσουμε το μιγαδικό z

Boom · 19-08-09

σωστος Δημητρη!
μηπως λεει ο z να ειναι ο μηδενικος ?

Ασκήσεις προς επίλυση στους Μιγαδικούς

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

johnnynoisemaker

Επισκέπτης

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος

Δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος