Ανώτερα Μαθηματικά

[paganini666]

Όταν 2 σύνολα Α και Β περιέχουν στοιχεία πεπερασμένου πλήθους ίσα σε αριθμό και για τα 2 σύνολα, τότε είναι ισοδύναμα. Αν τα σύνολα Α και Β περιέχουν άπειρα σε πλήθος στοιχεία, αλλά είναι διακεκριμένα και μεμονομένα μεταξύ τους τότε θα πρέπει σε ένα στοιχείο του Α να αντιστοιχεί ένα στοιχείο του Β και αντίστροφα. Για παράδειγμα τα σύνολα Ν και Ζ περιέχουν άπειρο αριθμό στοιχείων αλλά δεν είναι ισοδύναμα. Τα σύνολα των άρτιων και περιττών ακεραίων είναι ισοδύναμα.

Οι φυσικοί μπορεί να είναι διπλάσιοι από τους άρτιους αλλά επειδή σε κάθε φυσικό Ν αντιστοιχεί ένας άρτιος φυσικός και αντίστροφα και επειδή τα στοιχεία και των δύο συνόλων είναι άπειρα σε αριθμό αλλά διακεκριμένα (δηλαδή τα σύνολα είναι αριθμήσιμα, σε σύνολα αριθμών αυτό σημαίνει ότι δεν σχηματίζουν διάστημα) τότε είναι ισοδύναμα.

μα καλα θα μας τρελανεις;
-----------------------------------------

Γίνεται. Τα σύνολα Ν και Z είναι ισοδύναμα.

εεεε;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

μα καλα θα μας τρελανεις;

Ναι, θα σας τρελλάνω όλους, το 'χω βάλει σοπό. Anyway, έκανα λάθος και το διόρθωσα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[amalfi]

(να δωσω μια υποδειξη σε οσους θελουν ν ασχοληθουν)

"οι πραγματικοι ειναι περισσοτεροι απ τους φυσικους!"

εστω οτι καποιος ισχυριζεται οτι εχει φτιαξει μια απειρη λιστα στην οποια αντιστοιχιζει σε καθε φυσικο εναν πραγματικο αριθμο (εναν δεκαδικο με απειρα δεκαδικα ψηφια-ισως και μηδενικα στο τελος- )

λεει οτι ολοι οι πραγματικοι χρησιμοποιηθηκαν!


αρνειται να μας δειξει τη λιστα

μπορειτε να τον πεισετε οτι υπαρχει καποιος πραγματικος που δεν εχει αντιστοιχιστει? (!)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Το σύνολο R δεν είναι αριθμήσιμο γιατί είναι διάστημα (-άπειρο,+άπειρο) ενώ το σύνολο Z είναι αριθμήσιμο. Άρα δεν είναι ισοδύναμα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[amalfi]

Το σύνολο R δεν είναι αριθμήσιμο γιατί είναι διάστημα (-άπειρο,+άπειρο) ενώ το σύνολο Z είναι αριθμήσιμο. Άρα δεν είναι ισοδύναμα.

(ναι! αυτο ειναι μια αναδιατυπωση του ερωτηματος. η ερωτηση ειναι γιατι?
γιατι δεν ειναι αριθμησιμο ενα διαστημα? το R)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

(ναι! αυτο ειναι μια αναδιατυπωση του ερωτηματος. η ερωτηση ειναι γιατι?
γιατι δεν ειναι αριθμησιμο το R?)

Το σύνολο R δεν είναι αριθμήσιμο γιατί είναι διάστημα. Το σύνολο Z αποτελείται μεν από άπειρα σε αριθμό στοιχεία, αλλά είναι μεμονομένα και δεν υπάρχει κανένα διάστημα στο R του οποίου όλα τα στοιχεία να ανήκουν στο Z. Άρα το Z είναι αριθμήσιμο.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[kvgreco]

Παραθέτω από τη Βικιπαίδεια το παρακάτω.
Μπορεί να φαίνεται άσχετο με τη κουβέντα αλλά δεν είναι.Καί λέω το κομάτι πού αφορά τις αντιστοιχίες.
Κυρίως το παραθέτω γιά τους περίεργους όρους που χρησιμοποιεί και γιά να φανεί ότι δεν μιλούν όλοι την ίδια μαθηματική γλώσσα.Ευτυχώς αυτό συμβάνει σπάνια:

• Μία συνάρτηση f : A → B λέγεται ένα προς ένα (1-1) ή αμφιμονότιμη ή αμφιμονοσήμαντη ή ένεση, όταν αντιστοιχίζει κάθε όρισμα σε αποκλειστικά δική του τιμή, δηλαδή όταν διαφορετικά ορίσματα απεικονίζονται σε διαφορετικές τιμές:

αν a ≠ a' τότε f(a) ≠ f(a')

• Μία συνάρτηση f : A → B λέγεται επί (με την έννοια: "το Α απεικονίζεται μέσω της f επί του Β, πάνω στο Β") ή έφεση, όταν δεν υπάρχει στοιχείο στο Β που να μην είναι η εικόνα κάποιου στοιχείου στο Α:

για κάθε b∈B υπάρχει a∈A ώστε b = f(a)

• Μία συνάρτηση ταυτόχρονα αμφιμονότιμη και επί λέγεται αμφίεση.

Από πολλούς μαθηματικούς, ο όρος "αμφιμονότιμη συνάρτηση" δεν χρησιμοποιείται ως συνώνυμο του "ένα προς ένα συνάρτηση" παρά ως συνώνυμο του "αμφίεση". Το δε επίθημα "-εση" (<ίημι) αποδίνει το γαλλικό "-jection" (<λατ. jacere), και έτσι τα "ένεση-έφεση-αμφίεση" αποδίνουν τα "injection-surjection-bijection" αντίστοιχα, τα οποία έχουν επικρατήσει στη δυτική μαθηματική νομενκλατούρα.



Σημείωση kvgreco
Ακούς εκεί ένεση! Καί μετά σου λέει ότι οι γιατροί δεν ξέρουν μαθηματικά
Καί ο γυμνός από μαθηματικές γνώσεις χρειάζεται οπωσδήποτε αμφίεση!
Κάντε καί μιά έφεση γιά αναβαθμολόγηση

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[m3Lt3D]

(να δωσω μια υποδειξη σε οσους θελουν ν ασχοληθουν)

"οι πραγματικοι ειναι περισσοτεροι απ τους φυσικους!"

εστω οτι καποιος ισχυριζεται οτι εχει φτιαξει μια απειρη λιστα στην οποια αντιστοιχιζει σε καθε φυσικο εναν πραγματικο αριθμο (εναν δεκαδικο με απειρα δεκαδικα ψηφια-ισως και μηδενικα στο τελος- )

λεει οτι ολοι οι πραγματικοι χρησιμοποιηθηκαν!


αρνειται να μας δειξει τη λιστα

μπορειτε να τον πεισετε οτι υπαρχει καποιος πραγματικος που δεν εχει αντιστοιχιστει? (!)

Παιρνουμε το πρωτο δεκαδικο ψηφιο του πραγματικου αριθμου που αντιστοιχει στο 1, το δευτερο δεκαδικο ψηφιο του πραγματικου αριθμου που αντιστοιχει στο 2 κ.ο.κ. και φτιαχνουμε εναν αριθμο.Καθε ψηφιο αυτου του αριθμου το αυξανουμε κατα μια μοναδα, και ετσι φτιαχνουμε εναν αριθμο που ΑΠΟΚΛΕΙΕΤΑΙ να υπαρχει στη 'λιστα'.(το γιατι ας μας το πει καποιος που ξερει)

Το διαβασα σε ενα βιβλιο.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[amalfi]

βρε γιατι το προδιδεις? σκεφτονται τα παιδια ακομα!

το ξερεις οτι τωρα θα στερησεις απο καποιους μια απο τις μεγαλυτερες χαρές? αυτη της ανακαλυψης?

(με την ευκαιρια παλεψε το κι εσυ απο δω και περα!)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[m3Lt3D]

Υπηρχε περιπτωση να το σκεφτοταν κανεις μονος του;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[djimmakos]

Θέλω επειγόντως μια εξήγηση για την παρακάτω παρατήση

Όταν πάρουμε ένα διψήφιο τέλειο τετράγωνο και βάλουμε στο τέλος ακόμα μια φορά το τελευταίο ψηφίο, ο αριθμός αυτός αν διαιρεθεί με τη τετραγωνική ρίζα του αρχικού διψήφιου αριθμού, δίνει πηλικό που αρχίζει από τη ρίζα
Πχ.

Η τετραγωνική ρίζα του 64 είναι το 8
Το 644 διαιρούμενο με το 8 δίνει πηλίκο που αρχίζει από 8
(Ισχυεί και για το 9,16,25,36,49,64,81)

Αny ideas;

Υποθετώ πως θα έχει σχέση με τη θεωρία αριθμών και τον τύπο της ευκλείδιας διαίρεσης.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[amalfi]

Θέλω επειγόντως μια εξήγηση για την παρακάτω παρατήρηση

γιατι τοση βιαση?




(εχει σημασια το τριτο ψηφιο να ειναι επιλεγμενο οπως λες? νομιζω πως οχι -στα προχειρα που το ειδα. οποιο και να ειναι το τελευταιο ψηφιο που θα βαλουμε πρεπει να ισχυει (?) )

(νομιζω δε χρειαζεται ιδιαιτερες γνωσεις θεωριας αριθμων. η α γυμνασιου πρεπει να φτανει!)
-----------------------------------------

Υπηρχε περιπτωση να το σκεφτοταν κανεις μονος του;

ναι αμε!


(κατασκευασε τον αριθμο που λες ["θεωρητικα"]

υπαρχει περιπτωση ο αριθμος αυτος να ταυτιζεται με τον πραγματικο που αντιστοιχει στον φυσικο 2009 ?)



(απορια μου: αν ειναι 9 το ψηφιο τι θα γινει? 0 ?)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[djimmakos]

γιατι τοση βιαση?




(εχει σημασια το τριτο ψηφιο να ειναι επιλεγμενο οπως λες? νομιζω πως οχι -στα προχειρα που το ειδα. οποιο και να ειναι το τελευταιο ψηφιο που θα βαλουμε πρεπει να ισχυει (?) )

(νομιζω δε χρειαζεται ιδιαιτερες γνωσεις θεωριας αριθμων. η α γυμνασιου πρεπει να φτανει!)

To θέμα είναι ότι το ήθελα για έναν φίλο μου ο οποίος ισχυριζόταν ότι έκανε ανακάλυψη.
Τώρα που το κοίταξα με ηρεμία κατάλαβα ότι πάντα ισχύει, αφού αρχικά διαρούμε το τετράγωνο με τη ρίζα του, και βγαίνει η ρίζα σαν το πρώτο ψηφίο του πηλίκου.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[statakos]

Αν και ειπώθηκαν πιό πάνω ας τα αναφέρω πιό λεπτομερή για να υπάρχουν

• Με |Χ| συμβολίζουμε τον αριθμό των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου Χ, π.χ. |{a,b,c}|=3.

• Λέμε ότι δύο σύνολα Χ και Υ είναι ισοδύναμα και γράφουμε Χ~Υ όταν υπάρχει μία αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία (post kvgreco) μεταξύ των στοιχείων Χ και Υ, δηλαδή όταν υπάρχει f:X-->Y η οποία είναι "1-1" και "επί".

• Προφανώς αν Α,Β πεπερασμένα : Α~Β <=> |Α|=|Β|

• Έτσι η συνάρτηση που ορίζεται f(x)=2x για x ανήκει στο Ν, είναι μία f:N-->{2x|x ανήκει στο Ν} η οποία είναι "1-1" και "επί". Άρα το σύνολο των Ν και των άρτιων φυσικών είναι ισοδύναμα.

• Το σύνολο (-π/2,π/2) και το R είναι ισοδύναμα επειδή έχουμε f( -π/2,π/2)-->R "1-1" και "επί" : f(x)=εφx

Ισχύουν επίσης και οι παρακάτω ιδιότητες :

• Χ~Χ
• Χ~Υ =>Υ~Χ
• Χ~Υ και Υ~Ζ => Χ~Ζ

--------------

• Έστω Νκ={1,2,...,κ} για κ ανήκει στο Ν και κ>0. Τα σύνολα Νκ είναι αρχικά του συνόλου των φυσικών. Ένα σύνολο λέγεται πεπερασμένο όταν είναι ισοδύναμο με κάποιο από τα Νκ. Έτσι Χ~Νκ => |Χ|=κ.

• Το σύνολο των φυσικών δεν είναι πεπερασμένο. Τα σύνολα που δεν έιναι πεπερασμένα τα λέμε άπειρα. Μεταξύ των άπειρων ξεχωρίζουμε αυτά που μπορούμε να "αριθμήσουμε" με τη βοήθεια των φυσικών. Ένα σύνολο λέγεται αριθμήσιμο όταν Χ~Ν. Όλα τα άπειρα σύνολα δεν είναι αριθμήσιμα.

• Το Ν είναι αριθμήσιμο, όπως και το σύνολο των περιττών φυσικών.
• Η συνάρτηση f:N-->Z που ορίζεται ώς (δίκλαδη) f(x)={k αν x=2k, -k αν x=2κ-1} είναι "1-1" και "επί". Άρα Ν~Ζ.
• Το Q είναι αριθμήσιμο.
• Το (0,1) δεν είναι αριθμήσιμο.

-------------

Ερώτηση : Μπορεί να υπάρχει σύνολο Χ : Χ~Ρ(Χ) (όπου Ρ(Χ) το δυναμοσύνολο του Χ δηλ. το σύνολο των υποσυνόλων του) ;

P.S: Δεν ξέρω latex (τουλάχιστον όχι ακόμα).

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[galois01]

Κοιτάζοντας κατι ασκήσεις γραμμικής αλγεβρας μου δημιουργήθηκε η εξής απορία,όταν γράφει οι πίνακες τι σημαίνει?
Μήπως ότι είναι τετραγωνικοί πίνακες??

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[statakos]

Μήπως είναι κάποιο σύνολο που δηλώνει το μέγεθος των δύο πινάκων ;

Αν λέει πουθενά n x n ή αναφέρει ορίζουσα για τους δύο πίνακες, τότε είναι τετραγωνικοί.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[galois01]

Μήπως είναι κάποιο σύνολο που δηλώνει το μέγεθος των δύο πινάκων ;

Αν λέει πουθενά n x n ή αναφέρει ορίζουσα για τους δύο πίνακες, τότε είναι τετραγωνικοί.

Δεν αναφέρει τίποτα τέτοιο. Παραθέτω την άσκηση όπως ακριβώς την βρήκα

Αν οι πίνακες ικανοποιούν τις σχέσεις , και να αποδειχθεί ότι

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[statakos]

Δεν αναφέρει τίποτα τέτοιο. Παραθέτω την άσκηση όπως ακριβώς την βρήκα

Αν οι πίνακες ικανοποιούν τις σχέσεις , και να αποδειχθεί ότι

Μάλλον εννοεί ότι είναι του ίδιου μεγέθους, γιατί τους προσθέτει και βρίσκει το τετράγωνό τους.

hint : Δεν ισχύει για δύο πίνακες Α,Β πάντα Α*Β=Β*Α. Όπως επίσης και η γνωστή ταυτότητα...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[galois01]

Μάλλον εννοεί ότι είναι του ίδιου μεγέθους, γιατί τους προσθέτει και βρίσκει το τετράγωνό τους.

o.k

hint : Δεν ισχύει για δύο πίνακες Α,Β πάντα Α*Β=Β*Α. Όπως επίσης και η γνωστή ταυτότητα...

Ναι το γνωρίζω αυτό δεν ισχύει η αντιμεταθετικότητα στους πίνακες

Ευχαριστώ

Κώστας

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[nPb]

Έστω η καμπύλη C που ορίζεται από τις παραμετρικές εξισώσεις x=f(t) και y=g(t). Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν ολοκληρώσιμες παραγώγους στο διάστημα [α,β] τότε:

Το μήκος του τόξου S της καμπύλης C που ορίζεται από τα σημεία και υπολογίζεται από την σχέση:

έχεις δει ποτέ σου την απόδειξη της σχέσης του μήκους τόξου καμπύλης στον IR3 που να ορίζεται από τις παραμετρικές εξισώσεις;


Θα ήθελα σε αυτό το topic να γράψουμε πολλά θεωρήματα και αποδείξεις από πολλούς κλάδους ανώτερων μαθηματικών (όπως τοπολογία, θεωρία τελεστών, διαφορική γεωμετρία, θεωρία ομάδων, μαθηματική φυσική, αριθμητική ανάλυση,...κτλ). Πολύ καλή δουλειά έχεις κάνει Civilara, όπως πολύ καλή δουλειά κάνετε όλοι υπόλοιποι...Σύντομα, θα παραθέσω και γω ένα κομματάκι από τις γνώσεις μου, με σκοπό την σωστή μελέτη των ανώτερων μαθηματικών...
-----------------------------------------

Κάνω μια λεπτομερή διατύπωση κάποιων εννοιών, όπως πολύ σωστά παρέθεσε ο συνάδελφος statakos.



1.Οι σχέσεις:
Έστω , δυο μη κενά σύνολα. Κάθε υποσύνολο του λέγεται διμελής σχέση ή σχέση από το στο . Μια διμελής σχέση από το στο λέγεται σχέση επί του . Αν τότε γράφουμε και διαβάζουμε: «το πληρεί την σχέση με το ».

2.Οι ποιοτικές ιδιότητες μιας σχέσης:
Μια σχέση επί του συνόλου λέγεται:

• αυτοπαθητική ή ανακλαστική, αν για κάθε
• συμμετρική, αν , για κάθε
• μεταβατική, αν , , για κάθε
• αντισυμμετρική, αν , , για κάθε

3.H Σχέση Ισοδυναμίας:
Μια σχέση επί ενός συνόλου Α λέγεται σχέση ισοδυναμίας, αν είναι αυτοπαθητική, συμμετρική και μεταβατική. Χρησιμοποιούμε το σύμβολο "". Συνεπώς:

• 
• 
• ,

4. H Kλάση Σχέσης Ισοδυναμίας:
Έστω ένα σύνολο και μια σχέση ισοδυναμίας επί του Α. Κλάση ενός στοιχείου ως προς την σχέση ισοδυναμίας λέγεται το σύνολο ={: }. Η κλάση ισοδυναμίας στην οποία ανήκει ένα σύνολο λέγεται πληθάριθμος ή πληθικός αριθμός του και γράφουμε συμβολικά, Card ή .

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.