Άσκηση στα μαθηματικά κατεύθυνσης

[eukleidhs1821]

Δινεται συναρτηση f με πεδιο ορισμου το R,παραγωγίσιμη με f'(x) διαφορο του μηδενος για καθε χ στο R.Nα δειξετε οτι η f ειναι 1-1.

 

[Athens2002]

Δινεται συναρτηση f με πεδιο ορισμου το R,παραγωγίσιμη με f'(x) διαφορο του μηδενος για καθε χ στο R.Nα δειξετε οτι η f δεν ειναι 1-1.

Μήπως είναι;

 

[eukleidhs1821]

Μήπως είναι;

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 23 Απριλίου 2020

Δεν θελω να απαντησει ο μαρκος ο βασιλης να αφησει τους υπολοιπους να δουμε αν θα το βρουνε

 

[Athens2002]

Έστω η f δεν είναι 1-1.
Τότε υπάρχουν Χ1<Χ2 με f (x1)=f (x2)
Η f συνεχής στο [χ1,χ2] και παραγωγισιμη στο ( χ1,χ2)
Επομένως απο θεώρημα Rolle υπάρχει η τ.ω f'(ξ)=0 άτοπο απο υπόθεση.
Άρα η f είναι 1-1
Χανω καποιο σημείο;

 

[eukleidhs1821]

Έστω η f δεν είναι 1-1.
Τότε υπάρχουν Χ1<Χ2 με f (x1)=f (x2)
Η f συνεχής στο [χ1,χ2] και παραγωγισιμη στο ( χ1,χ2)
Επομένως απο θεώρημα Rolle υπάρχει η τ.ω f'(ξ)=0 άτοπο απο υπόθεση.
Άρα η f είναι 1-1
Χανω καποιο σημείο;

εχεις δικιο.εκανα εγω λαθος.σωστοτατο αυτο ακριβως επρεπε να γραψεις

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 23 Απριλίου 2020

Mια παραλλαγη της για να τη λυσουν ολοι θα ηταν και η f' συνεχης ετσι θα την ελυναν παρα πολλοι

 

[Μάρκος Βασίλης]

Σε ανάλογο κλίμα, μπορούμε να δούμε την ακόλουθη:

Έστω

μία παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε

. Να δείξετε ότι η f' διατηρεί πρόσημο.

Έτσι, πρακτικά, μία συνάρτηση σαν την παραπάνω δεν είναι απλά «1-1» αλλά και γνησίως μονότονη.

Προφανώς, δεν μπορείτε να υποθέσετε ότι η f' είναι συνεχής.

 

[eukleidhs1821]

δεν νομιζω φιλε μου οτι μπορεις να αποδειξεις οτι η παραγωγος διατηρει προσημο χωρις την υποθεση της συνεχειας.Για πλακα μπορω να ζωγραφισω συναρτηση που αλλαζει προσημο ενω ειναι διαφορη του μηδενος σε καθε σημειο του πεδιου ορισμου της και φυσικα χωρις να ειναι συνεχης σε ενα σημειο.

 

[Μάρκος Βασίλης]

δεν νομιζω φιλε μου οτι μπορεις να αποδειξεις οτι η παραγωγος διατηρει προσημο χωρις την υποθεση της συνεχειας.Για πλακα μπορω να ζωγραφισω συναρτηση που αλλαζει προσημο ενω ειναι διαφορη του μηδενος σε καθε σημειο του πεδιου ορισμου της και φυσικα χωρις να ειναι συνεχης σε ενα σημειο.

Χεχεχε! Κι εγώ και όλα τα παιδιά εδώ μέσα μπορούν να ζωγραφίσουν συνάρτηση που δε διατηρεί πρόσημο και είναι ασυνεχής. Το θέμα είναι ότι όποια τέτοια συνάρτηση και να ζωγραφίσουμε, δε θα είναι η παράγωγος κάποιας συνάρτησης - με άλλα λόγια, δε θα έχει παράγουσα.

Είναι θεώρημα αυτό του απειροστικού, αλλά δε θέλω να πω όνομα ακόμα, μήπως και κάποιο παιδί ασχοληθεί.

 

[eukleidhs1821]

Χεχεχε! Κι εγώ και όλα τα παιδιά εδώ μέσα μπορούν να ζωγραφίσουν συνάρτηση που δε διατηρεί πρόσημο και είναι ασυνεχής. Το θέμα είναι ότι όποια τέτοια συνάρτηση και να ζωγραφίσουμε, δε θα είναι η παράγωγος κάποιας συνάρτησης - με άλλα λόγια, δε θα έχει παράγουσα.

Είναι θεώρημα αυτό του απειροστικού, αλλά δε θέλω να πω όνομα ακόμα, μήπως και κάποιο παιδί ασχοληθεί.

ok μην το πεις να σκεφτω λιγο

 

[Athens2002]

Έστω οτι f'(x)>0 σε ενα διάστημα (α,xo) και f'(x)<0 σε ενα διαστημα (χο,β). Άρα η f γνησιως αύξουσα στο (ά,χο) και γνησιως φθίνουσα στο (χο,β) , επομένως παρουσιάζει ακρότατο στο χο άτοπο Αφού το χο είναι εσωτερικό σημείο του R στο οποίο η f παραγωγιζεται και η παραγωγός δεν μηδενιζεται. Επομένως η f'(x) διατηρεί πρόσημο.

 

[eukleidhs1821]

Έστω οτι f'(x)>0 σε ενα διάστημα (α,xo) και f'(x)<0 σε ενα διαστημα (χο,β). Άρα η f γνησιως αύξουσα στο (ά,χο) και γνησιως φθίνουσα στο (χο,β) , επομένως παρουσιάζει ακρότατο στο χο άτοπο Αφού το χο είναι εσωτερικό σημείο του R στο οποίο η f παραγωγιζεται και η παραγωγός δεν μηδενιζεται. Επομένως η f'(x) διατηρεί πρόσημο.

οκ το πας με φερματ.απλα η αρνηση ομως του ορισμου για να το πας με ατοπο ειναι με 2 σημεια συγκεκριμενα και οχι με διαστηματα.δηλαδη πχ μπορει να ειναι θετικη η παραγωγος σε ολο το διαστημα πλην ενος σημειου αρα εκει δεν εχεις ακροτατο.αλλιως βγαινει

 

[Μάρκος Βασίλης]

Έστω οτι f'(x)>0 σε ενα διάστημα (α,xo) και f'(x)<0 σε ενα διαστημα (χο,β). Άρα η f γνησιως αύξουσα στο (ά,χο) και γνησιως φθίνουσα στο (χο,β) , επομένως παρουσιάζει ακρότατο στο χο άτοπο Αφού το χο είναι εσωτερικό σημείο του R στο οποίο η f παραγωγιζεται και η παραγωγός δεν μηδενιζεται. Επομένως η f'(x) διατηρεί πρόσημο.

Δεν είναι κακό, αλλά έχει ένα πρόβλημα. Εσύ τώρα μας έδειξες ότι η f' δε γίνεται να είναι θετική σε ένα ολόκληρο διάστημα και αρνητική σε ένα άλλο - αυτό είναι η άρνηση του «Έστω οτι f'(x)>0 σε ενα διάστημα (α,xo) και f'(x)<0 σε ενα διαστημα (χο,β).» Αυτό, ωστόσο, δεν αποκλείει η f' να αλλάζει πρόσημο σε ένα μόνο σημείο. Είσαι, ωστόσο, σε σωστή κατεύθυνση, κάπου θέλει έναν Fermat.

Εμείς θέλουμε να δείξουμε ότι η f' διατηρεί πρόσημο, δηλαδή ότι:

Επομένως, αν πάμε με άτοπο - που είναι καλή ιδέα - θα πρέπει να υποθέσουμε ότι:

(θα ήταν μικρότερο ή ίσο, αλλά εξ υποθέσεως το ίσο φεύγει)

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 23 Απριλίου 2020

οκ το πας με φερματ.απλα η αρνηση ομως του ορισμου για να το πας με ατοπο ειναι με 2 σημεια συγκεκριμενα και οχι με διαστηματα.δηλαδη πχ μπορει να ειναι θετικη η παραγωγος σε ολο το διαστημα πλην ενος σημειου αρα εκει δεν εχεις ακροτατο.αλλιως βγαινει

Αυτό ακριβώς - έγραφα παράλληλα και δεν το είδα. :Ρ

 

[eukleidhs1821]

Aν κανεις 2 θμτ σε 2 διαστηματα [α,β],[γ,δ]

 

[Athens2002]

Αν δείξουμε οτι η f είναι γνησιως μονότονη περίπου με τον παραπάνω τρόπο ( έστω οτ ι αλλάζει μονοτονία κ.τλ.π). Και μετά πάρουμε δύο Θ.Μ.Τ στα [χ1,χ2] και [χ2,χ3] και θα βρούμε οτι υπάρχουν ξ1 και ξ2 που σε κάθε περίπτωση τα f'( ξ1)*f'(ξ2)>0 ;

 

[Μάρκος Βασίλης]

Aν κανεις 2 θμτ σε 2 διαστηματα [α,β],[γ,δ]

Και μετά, πώς συνεχίζεις;

Αν δείξουμε οτι η f είναι γνησιως μονότονη περίπου με τον παραπάνω τρόπο ( έστω οτ ι αλλάζει μονοτονία κ.τλ.π). Και μετά πάρουμε δύο Θ.Μ.Τ στα [χ1,χ2] και [χ2,χ3] και θα βρούμε οτι υπάρχουν ξ1 και ξ2 που σε κάθε περίπτωση τα f'( ξ1)*f'(ξ2)>0 ;

Ναι, αλλά που ξέρεις ότι αυτά τα

διατρέχουν όλες τις πιθανές τιμές και δεν αφήνεις κάποιους αριθμούς απ' έξω;

Για να βοηθήσω, ας δώσω μία λανθασμένη απόδειξη, για να μπούμε στο κλίμα - την παραθέτω ως screenshot από ένα φύλλο εργασίας που έχω εύκαιρο:

 

[eukleidhs1821]

Και μετά, πώς συνεχίζεις;



Ναι, αλλά που ξέρεις ότι αυτά τα

διατρέχουν όλες τις πιθανές τιμές και δεν αφήνεις κάποιους αριθμούς απ' έξω;

Για να βοηθήσω, ας δώσω μία λανθασμένη απόδειξη, για να μπούμε στο κλίμα - την παραθέτω ως screenshot από ένα φύλλο εργασίας που έχω εύκαιρο:

View attachment 69269

οντως λαθος.αποδειξη οπως τον βολευει.το γεγονος οτι εχουν αλλα προσημα η παραγωγος στο χ1 και στο χ2 δεν επεται το ατοπο που βγαζει μετα.

 

[Μάρκος Βασίλης]

οντως λαθος.αποδειξη οπως τον βολευει.το γεγονος οτι εχουν αλλα προσημα η παραγωγος στο χ1 και στο χ2 δεν επεται το ατοπο που βγαζει μετα.

Δεν κατάλαβα την ένστασή σου, αλλά το λάθος είναι σε λεπτό σημείο, όχι στην αρχική υπόθεση - αυτή γίνεται όντως χωρίς βλάβη της γενικότητας.

 

[Athens2002]

Βασικά νομίζω στο διάστημα που παίρνει, το y1 μπορεί να είναι άκρο οπότε δεν μπορεί να εφαρμόσει Fermat.

 

[eukleidhs1821]

Αν παρεις τον ορισμο της παραγωγου στο χ1 απο δεξια και στο χ2 απο δεξια βλεπεις κοντα στο χ1 f(x)>f(x1) και κοντα στο χ2 f(x)<f(x2) και αρα δημιουργειται f(x1)<f(x)<f(x2).Η f συνεχης στο [χ1,χ2] αρα απο μεγιστη και ελαχιστη τιμη εχει σε αυτο το διαστημα μεγιστη και ελαχιστη τιμη που ομως δεν μπορει να ειναι στα ακρα οπως αποδειξαμε.Αρα φερματ η παραγωγος μηδεν σε αυτο το σημειο ατοπο

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 23 Απριλίου 2020

Η πονηραδα ηταν να απορριψεις οτι δεν μπορει να εχει μεγιστο και ελαχιστο στα ακρα μεσω του οριου απο τον ορισμο της παραγωγου και μετα με μεγιστο και ελαχιστη τιμη να βγαλεις το ατοπο απο φερματ.πολυ πολυ δυσκολη ασκηση

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 23 Απριλίου 2020

Ενταξει δεν το χω πολυγραψει σωστα.Πρεπει να παρεις περιπτωσεις τεσπα να απορριψεις οτι δεν εχει ελαχιστο και μεγιστο στα ακρα μεσω του ορισμου της παραγωγους.Και εκμεταλλευομενοι οτι ενα ενα οριο ειναι θετικο κοντα στο χ0 ειναι θετικη η συναρτηση

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 23 Απριλίου 2020

Kατι δεν μου αρεσει παλι γτ εγω εξασφαλιζω κοντα στα χ1 και χ2 τι γινεται πιο περα ομως πως το βγαζω οτι δεν ειναι στα ακρα

 

[Athens2002]

Αν παρεις τον ορισμο της παραγωγου στο χ1 απο δεξια και στο χ2 απο δεξια βλεπεις κοντα στο χ1 f(x)>f(x1) και κοντα στο χ2 f(x)<f(x2) και αρα δημιουργειται f(x1)<f(x)<f(x2).Η f συνεχης στο [χ1,χ2] αρα απο μεγιστη και ελαχιστη τιμη εχει σε αυτο το διαστημα μεγιστη και ελαχιστη τιμη που ομως δεν μπορει να ειναι στα ακρα οπως αποδειξαμε.Αρα φερματ η παραγωγος μηδεν σε αυτο το σημειο ατοπο

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 23 Απριλίου 2020

Η πονηραδα ηταν να απορριψεις οτι δεν μπορει να εχει μεγιστο και ελαχιστο στα ακρα μεσω του οριου απο τον ορισμο της παραγωγου και μετα με μεγιστο και ελαχιστη τιμη να βγαλεις το ατοπο απο φερματ.πολυ πολυ δυσκολη ασκηση

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 23 Απριλίου 2020

Ενταξει δεν το χω πολυγραψει σωστα.Πρεπει να παρεις περιπτωσεις τεσπα να απορριψεις οτι δεν εχει ελαχιστο και μεγιστο στα ακρα μεσω του ορισμου της παραγωγους.Και εκμεταλλευομενοι οτι ενα ενα οριο ειναι θετικο κοντα στο χ0 ειναι θετικη η συναρτηση

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 23 Απριλίου 2020

Kατι δεν μου αρεσει παλι γτ εγω εξασφαλιζω κοντα στα χ1 και χ2 τι γινεται πιο περα ομως πως το βγαζω οτι δεν ειναι στα ακρα

Νομιζω καλως απορρίπτεις τα άκρα. Το Χ είναι εσωτερικό σημείο του διαστήματος που πήρες.